Ch. 2 — Vecteurs, droites et plans de l’espace

1) Repère de l'espace et coordonnées

• Repère orthonormé \( (O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}) \).
• Un point \(M\) a pour coordonnées \(M(x_M,y_M,z_M)\).
• \(\displaystyle \overrightarrow{AB} = (x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A)\).
• \(\displaystyle \vec{u}(a,b,c) = a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}\).

2) Norme, distance, milieu

• \(\displaystyle \|\vec{u}(a,b,c)\| = \sqrt{a^2+b^2+c^2}\).
• \(\displaystyle AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\).
• \(\displaystyle I\Big(\tfrac{x_A+x_B}{2},\tfrac{y_A+y_B}{2},\tfrac{z_A+z_B}{2}\Big)\).

3) Vecteurs, translation, colinéarité

Translation

• La translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}=(a,b,c)\) envoie \(M(x,y,z)\) sur \(M'(x+a,y+b,z+c)\).

Colinéarité

• \(\vec{u}(a,b,c)\) et \(\vec{v}(a',b',c')\) sont colinéaires ssi \((a',b',c')=(\lambda a,\lambda b,\lambda c)\) pour un réel \(\lambda\).

4) Coplanaires, indépendance, base

• Trois vecteurs sont coplanaires si l’un est combinaison linéaire des deux autres.
• Ils sont linéairement indépendants si \(\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}=\vec{0}\) implique \(\alpha=\beta=\gamma=0\).
• Une base de l’espace est une famille de 3 vecteurs linéairement indépendants (ex : \((\vec{i},\vec{j},\vec{k})\)).

5) Droites de l’espace

• Une droite \(d\) est définie par un point \(A(x_A,y_A,z_A)\) et un vecteur directeur \(\vec{u}(a,b,c)\neq\vec{0}\).
• Représentation paramétrique : \[ d:\quad \begin{cases} x = x_A + at\\ y = y_A + bt\\ z = z_A + ct \end{cases} \quad (t\in\mathbb{R}). \]
• Positions relatives de deux droites :
  — parallèles : vecteurs directeurs colinéaires, aucun point commun (ou confondues) ;
  — sécantes : un point commun ;
  — gauches : ni sécantes, ni parallèles, non coplanaires.

6) Plans

• Un plan \(P\) peut être défini par un point \(A\) et deux vecteurs non colinéaires \(\vec{u},\vec{v}\), avec \(\overrightarrow{AM}=\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}\).
• Avec un vecteur normal \(\vec{n}(a,b,c)\), une équation cartésienne de \(P\) est \[ ax+by+cz+d=0. \]
• Deux plans : parallèles/confondus si leurs vecteurs normaux sont colinéaires, sinon sécants (intersection = une droite).