1) Repère de l’espace et coordonnées
On travaille dans un repère orthonormé \( (O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}) \). Tout point \(M\) est repéré par ses coordonnées \(M(x_M,y_M,z_M)\).
Pour \(A(x_A,y_A,z_A)\) et \(B(x_B,y_B,z_B)\) : \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A,\; y_B - y_A,\; z_B - z_A). \]
Un vecteur \(\vec{u}(a,b,c)\) s’écrit \[ \vec{u} = a\vec{i} + b\vec{j} + c\vec{k}. \]
Norme, distance, milieu
- Norme de \(\vec{u}(a,b,c)\) : \[ \|\vec{u}\| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}. \]
- Distance entre deux points : \[ AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}. \]
- Milieu de \([AB]\) : \[ I\Big(\tfrac{x_A+x_B}{2},\tfrac{y_A+y_B}{2},\tfrac{z_A+z_B}{2}\Big). \]
2) Vecteurs, translation, colinéarité
a) Translation
La translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\) envoie tout point \(M(x,y,z)\) sur \(M'(x',y',z')\) tel que \[ \overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}. \] Si \(\overrightarrow{AB}=(a,b,c)\), alors \[ M'(x+a,\;y+b,\;z+c). \]
b) Opérations sur les vecteurs
- Somme : si \(\vec{u}(a,b,c)\) et \(\vec{v}(a',b',c')\), \[ \vec{u}+\vec{v} = (a+a',\, b+b',\, c+c'). \]
- Opposé : \(-\vec{u} = (-a,-b,-c)\).
- Produit par un réel \(\lambda\) : \[ \lambda\vec{u} = (\lambda a,\lambda b,\lambda c). \]
c) Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}(a,b,c)\) et \(\vec{v}(a',b',c')\) sont colinéaires s’il existe \(\lambda\in\mathbb{R}\) tel que \[ (a',b',c') = (\lambda a,\lambda b,\lambda c). \]
3) Coplanarité, indépendance et base de l’espace
a) Vecteurs coplanaires
Trois vecteurs \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\) sont coplanaires s’ils sont contenus dans un même plan, c’est-à-dire si l’un est combinaison linéaire des deux autres : \[ \vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}. \]
b) Vecteurs linéairement indépendants
Trois vecteurs \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\) sont linéairement indépendants si \[ \alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w} = \vec{0} \implies \alpha=\beta=\gamma=0. \]
c) Base de \(\mathbb{R}^3\)
Dans l’espace, une famille de 3 vecteurs linéairement indépendants forme une base. Tout vecteur \(\vec{u}\) s’écrit alors de façon unique comme combinaison linéaire de cette base.
Exemple : \((\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) est une base de l’espace et \(\vec{u}(a,b,c) = a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}\).
4) Droites de l’espace
a) Représentation paramétrique
Une droite \(d\) est déterminée par un point \(A(x_A,y_A,z_A)\) et un vecteur directeur \(\vec{u}(a,b,c)\neq\vec{0}\). On a : \[ d:\quad \begin{cases} x = x_A + at\\ y = y_A + bt\\ z = z_A + ct \end{cases} \quad (t\in\mathbb{R}). \]
On peut aussi écrire \(\overrightarrow{AM}=t\,\vec{u}\).
b) Positions relatives de deux droites
- Sécantes : 1 point commun.
- Parallèles : vecteurs directeurs colinéaires, aucun point commun (ou toutes les deux confondues).
- Gauches : ni sécantes ni parallèles, non coplanaires.
5) Plans de l’espace
a) Définition par point et deux vecteurs
Un plan \(P\) peut être défini par un point \(A\) et deux vecteurs non colinéaires \(\vec{u},\vec{v}\). Tout point \(M\) de \(P\) vérifie : \[ \overrightarrow{AM} = \lambda\vec{u} + \mu\vec{v},\quad \lambda,\mu\in\mathbb{R}. \]
b) Vecteur normal et équation cartésienne
Si \(\vec{n}(a,b,c)\) est un vecteur normal à un plan \(P\), alors une équation cartésienne de \(P\) est : \[ ax + by + cz + d = 0. \] Un point \(M(x_M,y_M,z_M)\) appartient à \(P\) ssi \[ a x_M + b y_M + c z_M + d = 0. \]
6) Positions relatives : droite / plan, plan / plan
a) Droite et plan
- Soit \(d\) de vecteur directeur \(\vec{u}\) et \(P\) de vecteur normal \(\vec{n}\).
- Si \(\vec{u}\) est orthogonal à \(\vec{n}\), alors \(d\) est parallèle au plan \(P\) (ou inclus dans \(P\)).
- Sinon, \(d\) est sécante à \(P\) (un point d’intersection).
b) Deux plans
- Si leurs vecteurs normaux sont colinéaires : plans parallèles ou confondus.
- Sinon : plans sécants, leur intersection est une droite.