Exercice 1 — Colinéarité et alignement
Dans le repère \( (O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}) \), on considère \(A(1,2,-1)\), \(B(3,-1,2)\) et \(C(5,-4,5)\).
- Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
- Montrer que \(A,B,C\) sont alignés.
Correction
\[ \overrightarrow{AB} = (2,-3,3),\quad \overrightarrow{AC} = (4,-6,6) = 2\,\overrightarrow{AB}. \] Les deux vecteurs sont colinéaires non nuls, donc \(A,B,C\) sont alignés.
Exercice 2 — Appartenance à une droite
On considère la droite \[ d:\quad \begin{cases} x = 1 + 2t\\ y = -1 + t\\ z = 3 - t \end{cases} \quad (t\in\mathbb{R}). \]
- Donner un point \(A\) de \(d\).
- Donner un vecteur directeur \(\vec{u}\) de \(d\).
- Vérifier que le point \(M(3,1,1)\) n’appartient pas à \(d\).
Correction
Pour \(t=0\), on obtient \(A(1,-1,3)\in d\).
Le vecteur directeur est \(\vec{u}(2,1,-1)\).
Pour \(M(3,1,1)\), on doit avoir
\[
3=1+2t,\quad 1=-1+t,\quad 1=3-t.
\]
On obtient \(t=1\), \(t=2\) et \(t=2\) : aucun \(t\) commun aux trois équations,
donc \(M\notin d\).
Exercice 3 — Plan et équation cartésienne
Le plan \(P\) a pour équation \(x - 2y + z + 1 = 0\).
- Donner un vecteur normal \(\vec{n}\) à \(P\).
- Vérifier que \(A(1,0,-2)\) appartient à \(P\).
- Vérifier que \(B(2,1,1)\) n’appartient pas à \(P\).
Correction
Un vecteur normal est \(\vec{n}(1,-2,1)\).
Pour \(A(1,0,-2)\) :
\[
1 - 2\times 0 + (-2) + 1 = 0,
\]
donc \(A\in P\).
Pour \(B(2,1,1)\) :
\[
2 - 2\times 1 + 1 + 1 = 2 \neq 0,
\]
donc \(B\notin P\).
Exercice 4 — Deux plans parallèles ou non
Soient \(P : 2x+3y-z-1=0\) et \(Q : 4x+6y-2z+3=0\).
- Donner un vecteur normal à chacun des plans.
- Déterminer leur position relative.
Correction
\(P\) a pour vecteur normal \(\vec{n}_1(2,3,-1)\),
\(Q\) a pour vecteur normal \(\vec{n}_2(4,6,-2)=2\,\vec{n}_1\).
Les normaux sont colinéaires : plans parallèles ou confondus.
On teste par exemple \(M(1,0,1)\) :
\[
2\times1+3\times0-1-1=0 \Rightarrow M\in P.
\]
Pour \(Q\) :
\[
4\times1+6\times0-2\times1+3=5\neq 0 \Rightarrow M\notin Q.
\]
Donc les plans sont strictement parallèles.
Exercice 5 — Coplanarité et base
On considère \[ \vec{u}(1,0,1),\quad \vec{v}(0,1,1),\quad \vec{w}(1,1,0). \]
- Montrer que \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires.
- Montrer que \(\vec{w}\) n’est pas combinaison linéaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).
- En déduire que \((\vec{u},\vec{v},\vec{w})\) est une base de l’espace.
Correction
\(\vec{u}(1,0,1)\) et \(\vec{v}(0,1,1)\) ne sont pas multiples l’un de l’autre
(rapports de coordonnées différents), donc ils ne sont pas colinéaires.
Supposons \(\vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}\). Alors
\[
(1,1,0) = (\alpha,\beta,\alpha+\beta),
\]
d’où \(\alpha=1\), \(\beta=1\) et \(\alpha+\beta=0\), soit \(2=0\), impossible.
Il n’existe donc pas de tels \(\alpha,\beta\).
Par conséquent, les trois vecteurs ne vérifient aucune relation linéaire
non triviale : ils sont linéairement indépendants et forment une base de l’espace.