Fiche de révision — Suites numériques et récurrence
1. Vocabulaire et notations
- Suite numérique : \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\), \(u : \mathbb{N}\to\mathbb{R}\).
- Définition explicite : \(u_n = f(n)\).
- Définition par récurrence : \(u_0\) (ou \(u_1\)) et relation \(u_{n+1} = g(n,u_n)\) ou \(g(u_n)\).
2. Suites arithmétiques
- \((u_n)\) arithmétique de raison \(r\) : \(u_{n+1} = u_n + r\).
- Formule explicite : \[ u_n = u_0 + nr. \]
- Somme des \(n+1\) premiers termes : \[ S_n = u_0 + \cdots + u_n = \frac{n+1}{2}(u_0+u_n). \]
3. Suites géométriques
- \((v_n)\) géométrique de raison \(q\) : \(v_{n+1} = q v_n\).
- Formule explicite : \[ v_n = v_0 q^n. \]
- Somme : \[ S_n = v_0 + \cdots + v_n = v_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q},\quad (q\neq 1). \]
- Si \(|q|<1\), alors \(v_n\to 0\).
4. Variations et convergence
- Croissante : \(u_{n+1}\ge u_n\) ; décroissante : \(u_{n+1}\le u_n\).
- Majorée : \(\exists M\) tel que \(u_n\le M\). Minorée : \(\exists m\) tel que \(u_n\ge m\).
- Bornée : majorée et minorée.
- Théorème : suite croissante et majorée \(\Rightarrow\) convergente. Suite décroissante et minorée \(\Rightarrow\) convergente.
5. Limites usuelles
- \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n} = 0\).
- \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} q^n = 0\) si \(|q|<1\).
- \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} n^k = +\infty\) pour \(k\ge 1\).
- \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} a^n = +\infty\) si \(a>1\).
6. Principe de récurrence
- Étape 1 : montrer \(P(n_0)\) (initialisation).
- Étape 2 : montrer \(P(k)\Rightarrow P(k+1)\) (hérédité).
- Conclusion : \(P(n)\) vraie pour tout \(n\ge n_0\).
- Très utilisé pour : formules de sommes, inégalités, propriétés de suites…
7. Suites linéaires \(u_{n+1} = a u_n + b\)
- Si la suite converge vers \(\ell\) et \(a\neq 1\), \[ \ell = a\ell + b \quad\Rightarrow\quad \ell = \frac{b}{1-a}. \]
- On pose \(v_n = u_n - \ell\) : alors \(v_{n+1} = a v_n\) (suite géométrique).
- Formule : \[ u_n = a^n(u_0 - \ell) + \ell. \]
- Si \(|a|<1\), alors \(u_n\to \ell\).