1. Définitions des suites numériques
Une suite numérique est une application \[ u : \mathbb{N} \to \mathbb{R},\quad n \longmapsto u_n. \] On note la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) ou simplement \((u_n)\).
- Définition explicite : il existe une fonction \(f : \mathbb{N}\to\mathbb{R}\) telle que \(u_n = f(n)\).
- Définition par récurrence : on donne un terme initial (\(u_0\) ou \(u_1\)) et une relation du type \[ u_{n+1} = g(n,u_n)\quad\text{ou}\quad u_{n+1} = g(u_n). \]
2. Suites arithmétiques
Une suite \((u_n)\) est dite arithmétique s’il existe un réel \(r\) tel que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \[ u_{n+1} = u_n + r. \] On dit que \(r\) est la raison de la suite.
2.1. Formule explicite
Si \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\) et de premier terme \(u_0\), alors pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \[ u_n = u_0 + nr. \]
2.2. Somme des premiers termes
On pose \[ S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n. \] Pour une suite arithmétique, on a \[ S_n = \frac{n+1}{2}(u_0 + u_n). \]
3. Suites géométriques
Une suite \((v_n)\) est dite géométrique s’il existe un réel \(q\) tel que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \[ v_{n+1} = qv_n. \] On dit que \(q\) est la raison de la suite géométrique.
3.1. Formule explicite
Si \((v_n)\) est géométrique de raison \(q\) et de premier terme \(v_0\), alors \[ v_n = v_0 q^n. \]
3.2. Somme des premiers termes
Pour \((v_n)\) géométrique de raison \(q\neq 1\), \[ S_n = v_0 + v_1 + \cdots + v_n = v_0 \frac{1-q^{n+1}}{1-q}. \]
4. Variations, bornes et convergence
On dit que la suite \((u_n)\) est :
- croissante si \(u_{n+1} \ge u_n\) pour tout \(n\),
- décroissante si \(u_{n+1} \le u_n\),
- monotone si elle est croissante ou décroissante.
Une suite est majorée s’il existe \(M\) tel que \(u_n \le M\) pour tout \(n\), minorée s’il existe \(m\) tel que \(u_n \ge m\), et bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Si une suite est croissante et majorée, alors elle converge. Si une suite est décroissante et minorée, alors elle converge.
5. Limite de suites usuelles
- \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n} = 0\).
- \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} q^n = 0\) si \(|q|<1\).
- \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} n^k = +\infty\) pour tout entier \(k\ge 1\).
- Si \(a>1\), alors \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} a^n = +\infty\) (croissance plus rapide que toute puissance).
6. Principe de récurrence
Soit \(P(n)\) une propriété dépendant d’un entier \(n\). Pour prouver que \(P(n)\) est vraie pour tout \(n \ge n_0\), on utilise :
- Initialisation : montrer que \(P(n_0)\) est vraie.
- Hérédité : montrer que pour tout \(k\ge n_0\), \(P(k)\) vraie \(\Rightarrow\) \(P(k+1)\) vraie.
On conclut alors que \(P(n)\) est vraie pour tout \(n\ge n_0\). On parle de raisonnement par récurrence.
7. Suites linéaires \(u_{n+1} = a u_n + b\)
On considère une suite \((u_n)\) définie par \[ u_{n+1} = a u_n + b, \] avec \(a\) et \(b\) réels, \(a\neq 1\).
- Si \((u_n)\) converge vers une limite \(\ell\), en passant à la limite dans la relation de récurrence, on obtient \[ \ell = a\ell + b \quad\Rightarrow\quad \ell = \frac{b}{1-a}. \]
- On pose alors \(v_n = u_n - \ell\). On vérifie que \[ v_{n+1} = a v_n, \] donc \((v_n)\) est géométrique : \(v_n = v_0 a^n\).
- D’où la formule générale : \[ u_n = a^n(u_0 - \ell) + \ell. \] Si \(|a|<1\), alors \(a^n\to 0\) et \(u_n\to \ell\).