Exercice 1 — Suite arithmétique
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout \(n\in\mathbb{N}\) par \[ u_0 = -1,\quad u_{n+1} = u_n + 3. \]
- Montrer que \((u_n)\) est une suite arithmétique et préciser sa raison.
- Donner l’expression explicite de \(u_n\) en fonction de \(n\).
- Calculer la somme \(S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n\).
Correction
On a \(u_{n+1} - u_n = 3\) pour tout \(n\), donc \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r = 3\).
Formule explicite : \[ u_n = u_0 + nr = -1 + 3n. \]
Somme : \[ S_n = \frac{n+1}{2}(u_0+u_n) = \frac{n+1}{2}\bigl(-1 + (-1+3n)\bigr) = \frac{n+1}{2}(3n-2). \]
Exercice 2 — Suite géométrique
La suite \((v_n)\) est définie par \(v_0 = 5\) et pour tout \(n\), \[ v_{n+1} = \frac12 v_n. \]
- Montrer que \((v_n)\) est géométrique et préciser sa raison.
- Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).
- Étudier la limite de \((v_n)\) lorsque \(n\to+\infty\).
Correction
On a \(v_{n+1} = \frac12 v_n\). La suite est géométrique de raison \(q = \tfrac12\).
Formule explicite : \[ v_n = 5\left(\frac12\right)^n. \]
Comme \(0< q < 1\), on sait que \(q^n\to 0\). Donc \(v_n\to 0\).
Exercice 3 — Variations et limite
Pour tout \(n\ge 1\), on définit \[ u_n = \frac{3n+1}{n+2}. \]
- Étudier le sens de variation de \((u_n)\).
- Déterminer la limite de \((u_n)\) lorsque \(n\to+\infty\).
Correction
On considère la fonction \[ f(x) = \frac{3x+1}{x+2} \] définie sur \([1,+\infty[\). On calcule \[ f'(x) = \frac{3(x+2) - (3x+1)}{(x+2)^2} = \frac{5}{(x+2)^2} > 0. \] Ainsi, \(f\) est strictement croissante sur \([1,+\infty[\), donc la suite \(u_n = f(n)\) est strictement croissante.
Pour la limite, \[ u_n = \frac{3n+1}{n+2} = \frac{3 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 3. \] La suite est croissante et converge vers \(3\).
Exercice 4 — Suite linéaire \(u_{n+1} = a u_n + b\)
On considère la suite \((u_n)\) définie par \[ u_0 = 2,\qquad u_{n+1} = \frac34 u_n + 1. \]
- Conjecturer la limite éventuelle de \((u_n)\) si elle existe.
- Poser \(v_n = u_n - 4\) et montrer que \((v_n)\) est géométrique.
- En déduire une expression de \(u_n\) et la limite de la suite.
Correction
Si \((u_n)\) converge vers \(\ell\), on passe à la limite dans \(\displaystyle u_{n+1} = \frac34 u_n + 1\) : \[ \ell = \frac34\ell + 1 \quad\Rightarrow\quad \frac14\ell = 1 \quad\Rightarrow\quad \ell = 4. \]
On pose \(v_n = u_n - 4\). Alors \[ v_{n+1} = u_{n+1} - 4 = \frac34 u_n + 1 - 4 = \frac34(u_n - 4) = \frac34 v_n. \] Donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(q = \tfrac34\) et \(v_0 = u_0-4 = -2\).
On a donc \[ v_n = -2\left(\frac34\right)^n,\quad u_n = 4 - 2\left(\frac34\right)^n. \] Comme \(\left(\tfrac34\right)^n\to 0\), on obtient \(u_n\to 4\).
Exercice 5 — Suite définie par \(u_{n+1} = g(u_n)\)
On définit la suite \((u_n)\) par \[ u_0 = 0,\qquad u_{n+1} = \frac{u_n + 2}{3}. \]
- Conjecturer la limite éventuelle de \((u_n)\).
- Montrer par récurrence que \(0\le u_n \le 1\) pour tout \(n\).
- Montrer que la suite est croissante.
- Conclure sur la convergence et la limite de \((u_n)\).
Correction
On cherche un point fixe de \(g(x) = \dfrac{x+2}{3}\) : \[ \ell = \frac{\ell+2}{3} \quad\Rightarrow\quad 3\ell = \ell + 2 \quad\Rightarrow\quad 2\ell = 2 \quad\Rightarrow\quad \ell = 1. \] On conjecture donc que \(u_n \to 1\).
On montre par récurrence que \(0\le u_n\le 1\) pour tout \(n\). Pour \(n=0\), \(u_0=0\in[0,1]\). Supposons \(u_n\in[0,1]\). Alors \[ u_{n+1} = \frac{u_n+2}{3} \in \left[\frac{0+2}{3},\frac{1+2}{3}\right] = \left[\frac23,1\right] \subset [0,1]. \]
Puis \[ u_{n+1} - u_n = \frac{u_n+2}{3} - u_n = \frac{2 - 2u_n}{3} \ge 0 \] car \(u_n \le 1\). La suite est donc croissante.
Elle est croissante et majorée par \(1\), donc convergente. En passant à la limite dans la relation de récurrence, on retrouve \(\ell = 1\).