Exercices corrigés — Probabilités conditionnelles et loi binomiale (Tle spé)

Une plateforme de candidature classe \(40\,\%\) des dossiers dans la catégorie \(A\). On note \(B\) : « le dossier est retenu ». On sait \(\mathbb P_A(B)=0{,}75\) et \(\mathbb P_{\overline A}(B)=0{,}25\).

1. Partie A — Arbre et probabilités de chemins.
   Construire l’arbre pondéré correspondant à la situation, puis compléter toutes les probabilités complémentaires nécessaires. On conserve les notations \(A\) et \(B\) de l’énoncé.
2. Calculer \(\mathbb P(A\cap B)\) puis \(\mathbb P(\overline A\cap B)\).
3. Partie B — Probabilité totale et Bayes.
   En déduire \(\mathbb P(B)\) par la formule des probabilités totales.
4. Calculer \(\mathbb P_B(A)\) et interpréter le résultat.

Deux contrôles de sécurité sont modélisés par deux événements indépendants \(A\) et \(B\), avec \(\mathbb P(A)=0{,}35\) et \(\mathbb P(B)=0{,}40\).

1. Partie A — Indépendance des contrôles.
   À partir des probabilités \(\mathbb P(A)=0{,}35\) et \(\mathbb P(B)=0{,}40\), expliquer ce que signifie l’hypothèse d’indépendance pour les deux contrôles.
2. Calculer \(\mathbb P(A\cap B)\).
3. Partie B — Union et conditionnement.
   Calculer \(\mathbb P(A\cup B)\).
4. Calculer \(\mathbb P_A(B)\) puis \(\mathbb P(\overline A\cap B)\).

Dans un atelier, chaque composant contrôlé est conforme avec une probabilité \(0{,}30\). On prélève \(12\) composants de manière assimilée à des tirages indépendants et on note \(X\) le nombre de composants conformes.

1. Partie A — Loi binomiale et probabilité ponctuelle.
   Justifier que le nombre \(X\) de composants conformes parmi les \(12\) contrôlés suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2. Calculer \(\mathbb P(X=4)\), au dix-millième.
3. Partie B — Espérance, variance et complément.
   Calculer \(\mathbb E(X)\) et \(\mathrm{Var}(X)\).
4. Calculer \(\mathbb P(X=0)\), puis la probabilité d’obtenir au moins un succès.

Une campagne de prospection obtient une réponse favorable avec une probabilité \(0{,}15\) à chaque contact. On réalise \(8\) contacts indépendants et on note \(X\) le nombre de réponses favorables.

1. Partie A — Modélisation du nombre de réponses.
   Justifier la loi de \(X\), nombre de réponses favorables parmi les \(8\) contacts indépendants.
2. Calculer la probabilité de n’obtenir aucun succès.
3. Partie B — Événement contraire et comparaison.
   En déduire la probabilité d’obtenir au moins un succès.
4. Calculer \(\mathbb P(X\le1)\) et comparer ce résultat à \(\mathbb P(X\ge1)\).

Un laboratoire utilise un test de dépistage sur une population où 10 % des personnes sont atteintes. La sensibilité du test vaut 90 % et le taux de faux positifs 5 %. On veut mesurer la fiabilité d’un résultat positif ou négatif.

1. Partie A — Qualité du test.
   Une maladie touche \(10\,\%\) d’une population. Un test est positif chez \(90\,\%\) des personnes malades et chez \(5\,\%\) des personnes non malades. Construire l’arbre pondéré.
2. Calculer la probabilité qu’une personne choisie au hasard ait un test positif.
3. Partie B — Probabilités inverses.
   Une personne a un test positif. Calculer la probabilité qu’elle soit réellement malade.
4. Une personne a un test négatif. Calculer la probabilité qu’elle soit non malade.

Dans un service après-vente, \(\mathbb P(A)=0{,}30\), \(\mathbb P_A(B)=0{,}80\) et la probabilité globale de résolution \(\mathbb P(B)=0{,}50\). On veut retrouver la probabilité de résolution hors catégorie \(A\).

1. Partie A — Branche conditionnelle inconnue.
   En posant \(q=\mathbb P_{\overline A}(B)\), traduire la situation par un arbre pondéré puis établir l’équation vérifiée par \(q\).
2. Déterminer exactement \(q\), puis donner une valeur décimale.
3. Partie B — Probabilités inverses et vérification.
   Calculer \(\mathbb P_B(A)\).
4. Calculer \(\mathbb P_B(\overline A)\) de deux façons différentes et vérifier la cohérence.

Un centre d’appels transforme un contact en vente avec une probabilité \(0{,}25\). On étudie \(20\) contacts indépendants et on note \(X\) le nombre de ventes.

1. Partie A — Probabilités de la loi.
   Justifier que \(X\), nombre de ventes sur \(20\) contacts indépendants de probabilité de succès \(0{,}25\), suit une loi binomiale.
2. Calculer \(\mathbb P(X=5)\) puis \(\mathbb P(X\le5)\), au dix-millième.
3. Partie B — Intervalle et dispersion.
   Calculer \(\mathbb P(3\le X\le7)\), au dix-millième.
4. Calculer \(\mathbb E(X)\), \(\mathrm{Var}(X)\) et l’écart-type \(\sigma(X)\).

Un dispositif détecte une anomalie avec une probabilité \(0{,}08\) à chaque essai indépendant. Pour \(n\) essais, \(X_n\) désigne le nombre de détections.

1. Partie A — Probabilité d’au moins une détection.
   Pour \(n\) essais indépendants, introduire \(X_n\), nombre de détections, et justifier sa loi.
2. Exprimer \(\mathbb P(X_n\ge1)\) en fonction de \(n\).
3. Partie B — Recherche du nombre minimal d’essais.
   Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(\mathbb P(X_n\ge1)\ge0{,}95\).
4. Vérifier numériquement que l’entier précédent convient et que l’entier juste inférieur ne convient pas.

Une entreprise reçoit des composants de trois fournisseurs A, B et C avec des proportions et des taux de défaut différents. On souhaite identifier l’origine probable d’un composant défectueux puis étudier un échantillon de 50 composants.

1. Partie A — Origine d’un défaut.
   Un stock provient des fournisseurs \(A,B,C\) dans les proportions \(0{,}50\), \(0{,}30\) et \(0{,}20\). Les probabilités de défaut sont respectivement \(0{,}02\), \(0{,}04\) et \(0{,}08\). Calculer la probabilité \(p_D\) qu’un article soit défectueux.
2. Un article est défectueux. Calculer la probabilité qu’il provienne de \(C\).
3. Partie B — Contrôle d’un échantillon.
   Un article n’est pas défectueux. Calculer la probabilité qu’il provienne de \(A\).
4. On prélève \(50\) articles de manière assimilée à des tirages indépendants. Si \(X\) compte les articles défectueux, donner sa loi et son espérance.

Deux agences traitent respectivement \(10\) et \(15\) dossiers. Chaque dossier est accepté avec la même probabilité \(0{,}40\), indépendamment des autres. On note \(X\) et \(Y\) les nombres d’acceptations et \(S=X+Y\).

1. Partie A — Somme de deux groupes indépendants.
   Justifier les lois de \(X\) et \(Y\), puis expliquer pourquoi l’égalité des paramètres de succès permet d’envisager une loi binomiale pour le total \(S=X+Y\).
2. Justifier que \(S\) suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
3. Partie B — Loi du total et probabilité.
   Calculer \(\mathbb E(S)\) et \(\mathrm{Var}(S)\) de deux façons.
4. Calculer \(\mathbb P(S\ge12)\), au dix-millième.

Une campagne de dépistage concerne une maladie rare. Le test possède une sensibilité élevée mais produit aussi des faux positifs. Après l’étude de la valeur prédictive positive, on examine le nombre de tests positifs sur un groupe de 100 personnes.

1. Partie A — Test positif et Bayes.
   Une maladie touche \(3\,\%\) d’une population. Un test est positif chez \(95\,\%\) des malades et chez \(2\,\%\) des non-malades. Calculer la probabilité \(p_+\) qu’un test soit positif.
2. Une personne a un test positif. Calculer la probabilité qu’elle soit malade.
3. Partie B — Nombre de tests positifs.
   On teste \(100\) personnes indépendantes choisies dans cette population. Si \(X\) compte les tests positifs, justifier la loi de \(X\).
4. Calculer \(\mathbb P(X\ge8)\), au dix-millième.

Une usine utilise trois lignes de production A, B et C, de parts de production différentes et de taux de conformité différents. L’objectif est d’identifier l’origine probable d’un produit non conforme puis d’étudier un contrôle de 30 produits.

1. Partie A — Origine d’un produit non conforme.
   Une production provient de trois lignes \(A,B,C\) dans les proportions \(0{,}50\), \(0{,}30\), \(0{,}20\). Leurs probabilités de conformité sont \(0{,}98\), \(0{,}95\), \(0{,}90\). Calculer la probabilité qu’un produit soit conforme.
2. Un produit est non conforme. Calculer la probabilité qu’il provienne de \(C\).
3. Partie B — Contrôle de 30 produits.
   On contrôle \(30\) produits indépendants. Si \(X\) compte les produits non conformes, donner la loi de \(X\).
4. Calculer la probabilité d’avoir au plus un produit non conforme.

Sur une période de dix jours, un système peut rencontrer un incident avec une probabilité constante 0,20 par jour, indépendamment des autres jours. On note X le nombre total d’incidents. On conditionne ensuite l’étude au fait qu’au moins un incident ait eu lieu.

1. Partie A — Probabilités de la loi.
   On suppose \(X\sim\mathcal B(10,0{,}20)\). Calculer \(\mathbb P(X=2)\).
2. Calculer \(\mathbb P(X\ge1)\).
3. Partie B — Conditionnement.
   Calculer \(\mathbb P(X=2\mid X\ge1)\).
4. Calculer \(\mathbb E(X)\) et \(\mathrm{Var}(X)\), puis expliquer pourquoi le conditionnement précédent augmente la probabilité relative du cas \(X=2\).

Une opération commerciale réussit avec une probabilité de 0,10 à chaque tentative indépendante. La direction veut déterminer combien de tentatives sont nécessaires pour obtenir au moins deux réussites avec une probabilité d’au moins 90 %.

1. Partie A — Expression de l’événement.
   Chaque essai réussit avec probabilité \(0{,}10\), indépendamment des autres. Pour \(n\) essais, on note \(X_n\) le nombre de succès. Exprimer \(\mathbb P(X_n\ge2)\) en fonction de \(n\).
2. Expliquer pourquoi la recherche du plus petit \(n\) tel que \(\mathbb P(X_n\ge2)\ge0{,}90\) ne se réduit pas au seul événement \(X_n=0\).
3. Partie B — Recherche et vérification du seuil.
   À l’aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier \(n\) vérifiant la condition.
4. Vérifier le caractère minimal en donnant les probabilités pour \(n=37\) et \(n=38\).

Un responsable qualité sait seulement que le nombre X de défauts suit une loi binomiale. Les valeurs de l’espérance et de la variance ont été relevées expérimentalement et doivent permettre de retrouver les paramètres de la loi.

1. Partie A — Retrouver les paramètres.
   Une variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale \(\mathcal B(n,p)\). On sait que \(\mathbb E(X)=6\) et \(\mathrm{Var}(X)=4{,}2\). Écrire deux équations vérifiées par \(n\) et \(p\).
2. Déterminer \(p\), puis \(n\).
3. Partie B — Exploiter la loi obtenue.
   Calculer l’écart-type de \(X\).
4. Pour la loi binomiale ainsi déterminée, calculer \(\mathbb P(X\ge8)\), au dix-millième.

Deux machines indépendantes réalisent des contrôles de nature différente. Le nombre de réussites de la première suit B(12;0,30) et celui de la seconde B(8;0,60). On étudie leur total S.

1. Partie A — Espérance et variance d’une somme.
   On considère deux variables indépendantes \(X\sim\mathcal B(12,0{,}30)\) et \(Y\sim\mathcal B(8,0{,}60)\). On pose \(S=X+Y\). Expliquer pourquoi on ne peut pas identifier directement \(S\) à une loi binomiale unique.
2. Calculer \(\mathbb E(S)\).
3. Partie B — Concentration.
   Calculer \(\mathrm{Var}(S)\).
4. Utiliser l’inégalité de Bienaymé–Tchebychev pour minorer \(\mathbb P(|S-8{,}4|\lt4)\).

Deux ateliers A et B alimentent une même production. Le taux global de défaut est connu, de même que la part et le taux de défaut de l’atelier A. Il faut d’abord retrouver le taux de défaut de B puis étudier un prélèvement de 40 pièces.

1. Partie A — Retrouver le taux de l’atelier B.
   Un atelier \(A\) fournit \(65\,\%\) des pièces et présente \(3\,\%\) de défauts. L’atelier \(B\) fournit le reste avec un taux de défaut \(q\). Le taux global de défaut est \(5\,\%\). Déterminer \(q\).
2. Une pièce est défectueuse. Calculer la probabilité qu’elle provienne de \(B\).
3. Partie B — Contrôle d’un prélèvement.
   On prélève \(40\) pièces indépendantes dans la production globale. Si \(X\) compte les pièces défectueuses, donner la loi de \(X\).
4. Calculer la probabilité d’obtenir au plus une pièce défectueuse.

Un plan de contrôle accepte ou refuse un lot à partir du nombre de pièces défectueuses observées dans un échantillon de 50 pièces. Le taux de défaut de référence est 4 %. On veut définir une règle d’acceptation correspondant à un niveau de 95 %.

1. Partie A — Loi du nombre de défauts.
   Dans un lot, chaque pièce est défectueuse avec probabilité \(0{,}04\), indépendamment des autres. On contrôle \(50\) pièces et \(X\) compte les défauts. Donner la loi de \(X\), son espérance et sa variance.
2. Calculer \(\mathbb P(X\le2)\).
3. Partie B — Construction d’une règle d’acceptation.
   Déterminer le plus petit entier \(c\) tel que \(\mathbb P(X\le c)\ge0{,}95\).
4. Interpréter la règle « accepter le lot si \(X\le c\) » lorsque le taux réel de défaut est bien \(4\,\%\).

À chaque partie, un joueur choisit aléatoirement l’un de deux modes de jeu dont les probabilités de victoire sont différentes. Après avoir déterminé la probabilité globale de victoire, on étudie 25 parties puis un gain affine dépendant du nombre de victoires.

1. Partie A — Probabilité de victoire et loi de X.
   À chaque partie, un joueur choisit aléatoirement le mode \(A\) avec probabilité \(0{,}30\) et le mode \(B\) avec probabilité \(0{,}70\). Il gagne avec probabilité \(0{,}60\) en mode \(A\) et \(0{,}20\) en mode \(B\). Calculer la probabilité \(p\) de gagner une partie.
2. Il joue \(25\) parties indépendantes. Si \(X\) compte les victoires, donner sa loi et calculer \(\mathbb E(X)\), \(\mathrm{Var}(X)\).
3. Partie B — Gain aléatoire.
   Calculer \(\mathbb P(8\le X\le12)\), au dix-millième.
4. Chaque victoire rapporte \(5\) points et chaque défaite fait perdre \(2\) points. Exprimer le gain total \(G\) en fonction de \(X\), puis calculer \(\mathbb E(G)\) et \(\mathrm{Var}(G)\).

Dans une enquête, chaque réponse favorable est modélisée par une variable de Bernoulli de paramètre 0,40. La fréquence observée F_n est étudiée au moyen de son espérance, de sa variance et d’une borne de concentration.

1. Partie A — Espérance et variance d’une fréquence.
   On considère \(n\) variables de Bernoulli indépendantes \(X_1,\ldots,X_n\) de paramètre \(p=0{,}40\), et la fréquence \(F_n=\dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}\). Calculer \(\mathbb E(F_n)\).
2. Calculer \(\mathrm{Var}(F_n)\).
3. Partie B — Bienaymé–Tchebychev.
   À l’aide de Bienaymé–Tchebychev, minorer \(\mathbb P(|F_n-0{,}40|\lt0{,}05)\).
4. Déterminer un entier \(n\) suffisant pour que cette minoration soit au moins \(0{,}95\), puis commenter une fréquence observée \(0{,}43\) pour \(n=2000\).

Une école utilise deux voies de sélection. La probabilité d’admission dépend de la voie empruntée. Après un calcul de Bayes, on étudie le nombre d’admis parmi plusieurs candidats indépendants et un seuil de taille de groupe.

1. Partie A — Admission et Bayes.
   Une école sélectionne \(10\,\%\) des candidats sur dossier. La probabilité d’admission est \(0{,}60\) pour un candidat sélectionné sur dossier et \(0{,}20\) sinon. Calculer la probabilité globale \(p\) d’admission et \(\mathbb P_A(\overline D)\), où \(A\) signifie « admis ».
2. Pour \(7\) candidats indépendants, \(X\) compte les admis. Donner la loi de \(X\), puis calculer \(\mathbb P(X=1)\).
3. Partie B — Binomiale et seuil.
   Calculer \(\mathbb P(X\ge2)\).
4. Déterminer le plus petit nombre \(n\) de candidats pour lequel la probabilité d’au moins une admission est supérieure ou égale à \(0{,}99\).

Un filtre anti-spam classe les courriels selon leur nature réelle. On étudie sa valeur prédictive lorsqu’un courriel est classé indésirable, puis le nombre de spams présents dans une série de courriels indépendants.

1. Partie A — Fiabilité du filtre.
   Dans une messagerie, \(8\,\%\) des courriels sont des spams. Un spam est classé indésirable avec probabilité \(0{,}90\), et un courriel normal est classé à tort indésirable avec probabilité \(0{,}01\). Calculer \(\mathbb P(I)\), où \(I\) signifie « classé indésirable ».
2. Calculer \(\mathbb P_I(S)\), où \(S\) signifie « spam ».
3. Partie B — Répétitions et seuil.
   On observe \(50\) courriels indépendants et \(Z\) compte les spams réels. Donner la loi de \(Z\) et calculer \(\mathbb P(Z\ge2)\).
4. Déterminer le plus petit entier \(n\) pour lequel la probabilité d’observer au moins un spam parmi \(n\) courriels est supérieure ou égale à \(0{,}99\).

Deux événements A et B décrivent deux étapes d’un processus de validation. On connaît P(A), P_A(B) et la probabilité inverse P_B(A). Il faut reconstituer une branche inconnue, puis utiliser la probabilité obtenue dans une expérience binomiale.

1. Partie A — Reconstituer les probabilités.
   On sait \(\mathbb P(A)=0{,}40\), \(\mathbb P_A(B)=0{,}80\) et \(\mathbb P_B(A)=0{,}64\). Déterminer \(\mathbb P(B)\).
2. En déduire \(\mathbb P_{\overline A}(B)\).
3. Partie B — Modèle binomial.
   On répète ensuite \(30\) expériences indépendantes dans lesquelles l’événement \(B\) a la probabilité trouvée. Si \(X\) compte les réalisations de \(B\), donner la loi de \(X\).
4. Calculer \(\mathbb P(12\le X\le18)\), au dix-millième.

Une campagne envoie 20 invitations indépendantes. Chaque invitation reçoit une réponse positive avec une probabilité p inconnue. On cherche la valeur de p qui rend l’événement « exactement une réponse positive » le plus probable possible.

1. Partie A — Probabilité en fonction de p.
   Pour \(p\in]0;1[\), on considère \(X_p\sim\mathcal B(20,p)\). Exprimer \(f(p)=\mathbb P(X_p=1)\).
2. Calculer \(f'(p)\) et factoriser son expression.
3. Partie B — Optimisation.
   Déterminer la valeur de \(p\) qui maximise \(f(p)\) sur \(]0;1[\).
4. Calculer la probabilité maximale et interpréter le résultat.

Un procédé produit un événement rare avec probabilité 0,03 sur chacun de 200 essais indépendants. On veut établir un seuil de contrôle à 95 %, puis décider si une observation de 12 événements doit être considérée comme inhabituelle.

1. Partie A — Quantile à 95 %.
   On suppose \(X\sim\mathcal B(200,0{,}03)\). Calculer \(\mathbb E(X)\) et \(\mathrm{Var}(X)\).
2. Déterminer le plus petit entier \(k\) tel que \(\mathbb P(X\le k)\ge0{,}95\).
3. Partie B — Observation inhabituelle.
   Vérifier le caractère minimal en donnant \(\mathbb P(X\le9)\) et \(\mathbb P(X\le10)\).
4. On observe \(12\) succès. Calculer \(\mathbb P(X\ge12)\) et discuter le caractère inhabituel de l’observation au seuil \(5\,\%\).

Une maladie rare est dépistée par un test imparfait. Le même individu réalise plusieurs tests que l’on suppose indépendants conditionnellement à son état réel. On étudie comment plusieurs résultats positifs successifs modifient la probabilité d’être malade.

1. Partie A — Un puis deux tests positifs.
   Une maladie touche \(1\,\%\) d’une population. Un test a une sensibilité \(0{,}90\) et un taux de faux positif \(0{,}05\). Calculer la probabilité d’être malade après un seul test positif.
2. On suppose que deux tests sont indépendants conditionnellement à l’état « malade / non malade ». Calculer la probabilité d’obtenir deux tests positifs.
3. Partie B — Trois tests et interprétation.
   Calculer la probabilité d’être malade sachant que les deux tests sont positifs.
4. Effectuer le même calcul après trois tests positifs et commenter l’évolution.

Deux ateliers réalisent respectivement 30 et 20 essais de Bernoulli de même paramètre 0,20. On note X et Y les nombres de succès et S=X+Y. L’étude porte ensuite sur la répartition des succès entre les deux ateliers sachant le total observé.

1. Partie A — Loi du total.
   On considère \(X\sim\mathcal B(30,0{,}20)\) et \(Y\sim\mathcal B(20,0{,}20)\), indépendantes, puis \(S=X+Y\). Justifier la loi de \(S\).
2. Calculer \(\mathbb P(S=10)\).
3. Partie B — Conditionnement sachant le total.
   Exprimer \(\mathbb P(X=6\cap S=10)\) à l’aide de \(X\) et \(Y\).
4. En déduire \(\mathbb P(X=6\mid S=10)\) et montrer que le paramètre \(0{,}20\) se simplifie.

Un stock de tomates provient de deux fournisseurs. La proportion globale de tomates commercialisables est connue, ainsi que le taux chez le premier fournisseur. Après avoir retrouvé le second taux, on étudie une fréquence de non-conformité et sa concentration.

1. Partie A — Origine et commercialisation.
   Un stock provient à \(60\,\%\) du fournisseur \(A\) et à \(40\,\%\) de \(B\). Au total \(91\,\%\) des tomates sont commercialisables, et \(95\,\%\) de celles de \(A\) le sont. Déterminer \(\mathbb P_B(C)\), où \(C\) signifie « commercialisable », puis comparer l’origine d’une tomate non commercialisable.
2. On prélève \(15\) tomates indépendantes. Si \(X\) compte les non-commercialisables, donner la loi de \(X\), puis calculer \(\mathbb P(X=2)\) et \(\mathbb P(X\le2)\).
3. Partie B — Fréquence et concentration.
   Pour un échantillon de taille \(n\), on note \(F_n=X_n/n\), avec \(X_n\sim\mathcal B(n,0{,}09)\). Calculer \(\mathbb E(F_n)\) et \(\mathrm{Var}(F_n)\).
4. Montrer que \(\mathbb P(0{,}04\lt F_n\lt0{,}14)\ge1-\dfrac{32{,}76}{n}\), puis déterminer un entier \(n\) suffisant pour que cette borne soit au moins \(0{,}95\).

Deux familles de capteurs présentent des probabilités de défaillance différentes. Les défaillances sont indépendantes. On étudie le nombre total de capteurs défaillants, sa dispersion et une borne de concentration.

1. Partie A — Somme hétérogène.
   On contrôle \(40\) capteurs de type \(A\), chacun défaillant avec probabilité \(0{,}10\), et \(60\) capteurs de type \(B\), chacun défaillant avec probabilité \(0{,}20\). Toutes les défaillances sont supposées indépendantes. Si \(X\) et \(Y\) comptent les défaillances dans chaque type et \(S=X+Y\), donner les lois de \(X\) et \(Y\) et expliquer pourquoi \(S\) n’est pas une binomiale simple.
2. En déduire l’espérance du nombre total de défaillances \(S\).
3. Partie B — Concentration et comparaison.
   Calculer \(\mathrm{Var}(S)\), puis minorer \(\mathbb P(|S-16|\lt8)\) par Bienaymé–Tchebychev.
4. Écrire une expression exacte de \(\mathbb P(9\le S\le23)\) sous forme de somme utilisant les lois de \(X\) et \(Y\), puis comparer qualitativement cette probabilité exacte à la borne de Tchebychev.

Un système répartit les opérations sur trois canaux dont les taux de réussite sont différents. L’exercice combine probabilités totales, Bayes, modélisation binomiale, espérance, variance et recherche d’un seuil.

1. Partie A — Arbre et Bayes.
   Un système traite les opérations par trois canaux \(A,B,C\) avec probabilités \(0{,}50\), \(0{,}30\), \(0{,}20\). Les probabilités de réussite sont respectivement \(0{,}96\), \(0{,}90\), \(0{,}80\). Calculer la probabilité globale de réussite puis la probabilité qu’une opération ayant échoué provienne de \(C\).
2. On observe \(60\) opérations indépendantes. Si \(X\) compte les échecs, donner la loi de \(X\), son espérance et sa variance.
3. Partie B — Binomiale, dispersion et seuil.
   Calculer \(\mathbb P(X\le4)\), au dix-millième.
4. Déterminer le plus petit entier \(n\) pour lequel la probabilité d’observer au moins un échec parmi \(n\) opérations est supérieure ou égale à \(0{,}99\).