Fiche de révision — Probabilités conditionnelles et loi binomiale (Tle spé)
Cette fiche de révision de maths en Terminale Spécialité résume le chapitre Probabilités conditionnelles et loi binomiale. Elle aide à mémoriser les définitions, les formules, les méthodes et les points de vigilance avant un contrôle.
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Chapitres
Fiche de révision — Probabilités conditionnelles et loi binomiale
Conditionnement • Arbres pondérés • Probabilités totales • Bayes • Indépendance •
\(\mathcal{B}(n,p)\) • Espérance/Variance • Méthodes Bac.
1) Probabilités conditionnelles
Définition et produit
\[
\mathbb{P}_A(B)=\mathbb{P}(B\mid A)
=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(A)}
\qquad \bigl(\mathbb{P}(A)>0\bigr).
\]
\[
\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}_A(B).
\]
Indépendance
\[
A\text{ et }B\text{ indépendants}
\Longleftrightarrow
\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B).
\]
Si \(\mathbb{P}(A)>0\), cela équivaut à
\[
\mathbb{P}_A(B)=\mathbb{P}(B).
\]
Ne pas confondre \(\mathbb{P}_A(B)\) et \(\mathbb{P}_B(A)\).
Ne pas confondre événements indépendants et événements incompatibles.
2) Arbres pondérés, probabilités totales et Bayes
Règles de calcul
- Somme des branches issues d’un même nœud : \(1\).
- Probabilité d’un chemin : produit des branches.
- Plusieurs chemins disjoints : somme de leurs probabilités.
Formules
\[
\mathbb{P}(B)=\sum_i\mathbb{P}(A_i)\mathbb{P}_{A_i}(B).
\]
\[
\mathbb{P}_B(A)
=\frac{\mathbb{P}(A)\mathbb{P}_A(B)}{\mathbb{P}(B)}
\qquad \bigl(\mathbb{P}(B)>0\bigr).
\]
Méthode Bayes : construire l’arbre, calculer \(\mathbb{P}(B)\) par probabilités totales,
puis calculer \(\mathbb{P}_B(A)=\mathbb{P}(A\cap B)/\mathbb{P}(B)\).
3) Modèle binomial (à savoir écrire en copie)
Phrase Bac (modélisation)
“On répète \(n\) épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes,
de probabilité de succès \(p\).
La variable aléatoire \(X\) compte le nombre de succès.
Donc \(X\sim \mathcal{B}(n,p)\).”
La variable aléatoire \(X\) compte le nombre de succès.
Donc \(X\sim \mathcal{B}(n,p)\).”
Ce qu’il faut vérifier
- Deux issues : succès / échec.
- \(p\) constant à chaque essai.
- Essais indépendants.
- \(X\) = nombre de succès (donc entier).
Sans remise ⇒ indépendance fausse en général ⇒ pas binomial.
4) Formules binomiales indispensables
Loi binomiale
\[
X\sim\mathcal{B}(n,p)\quad\Longrightarrow\quad
X\in\{0,1,\dots,n\}.
\]
\[
\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.
\]
\[
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},\qquad 0!=1.
\]
Moments (moyenne & dispersion)
\[
\mathbb{E}(X)=np.
\]
\[
\mathrm{Var}(X)=np(1-p).
\]
\[
\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}.
\]
Contrôle : \(0\le np\le n\) et \(\mathrm{Var}(X)\le \frac{n}{4}\) (max pour \(p=\frac12\)).
Probabilités “cumulées” & compléments
| Expression | Forme correcte |
|---|---|
| \(\mathbb{P}(X\le a)\) | \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\lfloor a\rfloor}\mathbb{P}(X=k)\) |
| \(\mathbb{P}(X\ge a)\) | \(\displaystyle \sum_{k=\lceil a\rceil}^{n}\mathbb{P}(X=k)=1-\mathbb{P}(X\le \lceil a\rceil-1)\) |
| \(\mathbb{P}(a\le X\le b)\) | \(\displaystyle \sum_{k=\lceil a\rceil}^{\lfloor b\rfloor}\mathbb{P}(X=k)\) |
| “Au moins un succès” | \(\mathbb{P}(X\ge 1)=1-\mathbb{P}(X=0)=1-(1-p)^n\) |
| “Au plus un succès” | \(\mathbb{P}(X\le 1)=\mathbb{P}(X=0)+\mathbb{P}(X=1)\) |
5) Méthode Bac (pas-à-pas)
Calculer \(\mathbb{P}(X=k)\)
| Étape | Action |
|---|---|
| 1 Identifier \(n,p\) | Définir le succès + compter les essais. |
| 2 Poser la loi | \(X\) = nombre de succès ⇒ \(X\sim\mathcal{B}(n,p)\). |
| 3 Choisir \(k\) | Vérifier que \(k\in\{0,\dots,n\}\). |
| 4 Appliquer | \(\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\). |
| 5 Conclure | Mettre une phrase et arrondir si demandé (sinon laisser exact). |
Astuce rapide : complément
Très souvent :
\[
\mathbb{P}(X\ge 1)=1-(1-p)^n
\]
Astuce “intervalle”
\[
\mathbb{P}(a\le X\le b)=\sum_{k=\lceil a\rceil}^{\lfloor b\rfloor}\mathbb{P}(X=k).
\]
Toujours penser : \(X\) entier.
6) Checklists (copie Bac)
Checklist modélisation
- Je repère l’événement conditionnant et je vérifie que sa probabilité est non nulle.
- Sur un arbre : je multiplie sur un chemin et j’additionne les chemins disjoints.
- Pour Bayes : je calcule d’abord la probabilité du résultat observé.
- Je définis le succès et sa proba \(p\).
- Je vérifie indépendance et \(p\) constant.
- Je précise le nombre d’essais \(n\).
- Je pose \(X\) = nombre de succès.
- Je conclus : \(X\sim\mathcal{B}(n,p)\).
Checklist calcul
- \(k\) est-il dans \(\{0,\dots,n\}\) ?
- J’ai bien \(\binom{n}{k}\) + \(p^k\) + \((1-p)^{n-k}\) ?
- Si “au moins un” : j’utilise le complément.
- Je garde exact si pas d’arrondi demandé.
7) Pièges classiques & remèdes
Pièges
- Inverser \(\mathbb{P}_A(B)\) et \(\mathbb{P}_B(A)\).
- Additionner les branches d’un chemin au lieu de les multiplier.
- Confondre incompatibilité et indépendance.
- “Sans remise” ⇒ dépendance ⇒ pas \(\mathcal{B}(n,p)\).
- Succès/échec inversés : \(p\) n’est pas toujours la proba donnée dans l’énoncé.
- Bornes d’un cumul : \(\le a\) ⇒ somme jusqu’à \(\lfloor a\rfloor\).
- Oublier que \(X\) est entier : \(X\ge 2{,}3\) ⇒ \(X\ge 3\).
Remèdes
- Avant tout : écrire “succès = …” et \(p=\mathbb{P}(\text{succès})\).
- Vérifier “indépendants” / “avec remise” / “essais identiques”.
- Remplacer les inégalités par des bornes entières (\(\lfloor\cdot\rfloor,\lceil\cdot\rceil\)).
- Utiliser le complément quand c’est plus simple.
8) Mini-exercices flash (avec correction)
Flash 1 — Conditionnement
On donne \(\mathbb{P}(A)=0{,}5\) et \(\mathbb{P}(A\cap B)=0{,}2\).
Calculer \(\mathbb{P}_A(B)\).
\[
\mathbb{P}_A(B)=\frac{0{,}2}{0{,}5}=\boxed{0{,}4}.
\]
Flash 2 — Probabilités totales
\(\mathbb{P}(A)=0{,}3\), \(\mathbb{P}_A(B)=0{,}8\) et
\(\mathbb{P}_{\overline A}(B)=0{,}2\). Calculer \(\mathbb{P}(B)\).
\[
\mathbb{P}(B)=0{,}3\times0{,}8+0{,}7\times0{,}2
=\boxed{0{,}38}.
\]
Flash 3 — Modélisation
Une machine fabrique des pièces. Une pièce est conforme avec probabilité \(0{,}97\).
On contrôle \(n=12\) pièces (contrôles indépendants). On note \(X\) le nombre de pièces conformes.
Question : quelle loi suit \(X\) ?
Question : quelle loi suit \(X\) ?
Succès = “pièce conforme”, \(p=0{,}97\), \(n=12\). Essais indépendants ⇒
\[
\boxed{\,X\sim\mathcal{B}(12,0{,}97)\,}.
\]
Flash 4 — Probabilité exacte
Dans le cas précédent, calculer \(\mathbb{P}(X=10)\).
\[
\mathbb{P}(X=10)=\binom{12}{10}(0{,}97)^{10}(0{,}03)^{2}.
\]
\[
\boxed{\,\mathbb{P}(X=10)=\binom{12}{10}(0{,}97)^{10}(0{,}03)^{2}\,}.
\]
Flash 5 — “Au moins un” (complément)
On répète \(n=8\) essais, probabilité de succès \(p=0{,}2\). Calculer \(\mathbb{P}(X\ge 1)\).
\[
\mathbb{P}(X\ge 1)=1-\mathbb{P}(X=0)=1-(1-0{,}2)^8
=\boxed{\,1-(0{,}8)^8\,}.
\]
Flash 6 — Espérance / variance
\(X\sim\mathcal{B}(30,0{,}4)\). Calculer \(\mathbb{E}(X)\) et \(\mathrm{Var}(X)\).
\[
\mathbb{E}(X)=np=30\times 0{,}4=\boxed{\,12\,}.
\]
\[
\mathrm{Var}(X)=np(1-p)=30\times 0{,}4\times 0{,}6=\boxed{\,7{,}2\,}.
\]
Résumé ultra-court
\[
\mathbb{P}_A(B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(A)},\qquad
\mathbb{P}(B)=\sum_i\mathbb{P}(A_i)\mathbb{P}_{A_i}(B).
\]
\[
X\sim\mathcal{B}(n,p)\Rightarrow
\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},
\quad \mathbb{E}(X)=np,\quad \mathrm{Var}(X)=np(1-p).
\]
Réflexe : “au moins un succès” \(\Rightarrow 1-(1-p)^n\).
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