Quiz — Probabilités conditionnelles et loi binomiale (Tle spé)
Ce quiz de mathématiques en Terminale Spécialité permet de vérifier rapidement tes acquis sur Probabilités conditionnelles et loi binomiale. Les questions ciblent notamment événements, arbres de probabilités, fréquences, calculs de chances pour repérer les points à revoir.
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Quiz Premium — Probabilités conditionnelles et loi binomiale (SOLID 20 • Type Bac)
Conditionnement, arbres, Bayes, indépendance et loi binomiale. Réponds puis clique Vérifier (ou Tout vérifier).
Q1. On donne \(\mathbb{P}(A)=0{,}5\) et \(\mathbb{P}(A\cap B)=0{,}2\). Calculer \(\mathbb{P}_A(B)\).
Non vérifié
Indice
\(\mathbb{P}_A(B)=\dfrac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(A)}\).
Correction
\[\mathbb{P}_A(B)=\frac{0{,}2}{0{,}5}=0{,}4.\]
Q2. On donne \(\mathbb{P}(A)=0{,}6\) et \(\mathbb{P}_A(B)=0{,}35\). Calculer \(\mathbb{P}(A\cap B)\).
Non vérifié
Indice
Utiliser la formule du produit.
Correction
\[\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}_A(B)=0{,}6\times0{,}35=0{,}21.\]
Q3. \(\mathbb{P}(A)=0{,}3\), \(\mathbb{P}_A(B)=0{,}8\) et \(\mathbb{P}_{\overline A}(B)=0{,}2\). Calculer \(\mathbb{P}(B)\).
Non vérifié
Indice
Utiliser \(A\) et \(\overline A\) comme partition.
Correction
\[\mathbb{P}(B)=0{,}3\times0{,}8+0{,}7\times0{,}2=0{,}38.\]
Q4. Dans la situation précédente, calculer \(\mathbb{P}_B(A)\).
Non vérifié
Indice
\(\mathbb{P}_B(A)=\dfrac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}\).
Correction
\[\mathbb{P}_B(A)=\frac{0{,}3\times0{,}8}{0{,}38}=\frac{0{,}24}{0{,}38}=\frac{12}{19}.\]
Q5. On donne \(\mathbb{P}(A)=0{,}4\), \(\mathbb{P}(B)=0{,}3\) et \(\mathbb{P}(A\cap B)=0{,}12\). Répondre par \(1\) si \(A\) et \(B\) sont indépendants, sinon \(0\).
Non vérifié
Indice
Comparer \(\mathbb{P}(A\cap B)\) et \(\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)\).
Correction
\(0{,}4\times0{,}3=0{,}12=\mathbb{P}(A\cap B)\). Les événements sont indépendants.
Q6. Deux événements indépendants vérifient \(\mathbb{P}(A)=0{,}7\) et \(\mathbb{P}(B)=0{,}2\). Calculer \(\mathbb{P}(A\cap B)\).
Non vérifié
Indice
Pour des événements indépendants, les probabilités se multiplient.
Correction
\[\mathbb{P}(A\cap B)=0{,}7\times0{,}2=0{,}14.\]
Q7. Une maladie touche \(2\%\) d’une population. Un test est positif pour \(95\%\) des malades et pour \(4\%\) des non-malades. Calculer la probabilité d’un test positif.
Non vérifié
Indice
Additionner les chemins « malade et positif » et « non-malade et positif ».
Correction
\[\mathbb{P}(T)=0{,}02\times0{,}95+0{,}98\times0{,}04=0{,}0582.\]
Q8. Dans la situation précédente, calculer la probabilité d’être malade sachant que le test est positif.
Non vérifié
Indice
Appliquer la formule de Bayes.
Correction
\[\mathbb{P}_T(M)=\frac{0{,}02\times0{,}95}{0{,}0582}=\frac{95}{291}.\]
Q9. Une pièce truquée donne “Pile” avec probabilité \(p=0{,}3\). On effectue \(n=10\) lancers indépendants. Soit \(X\) le nombre de piles. Donner \(\mathbb{P}(X=4)\) (exact).
Non vérifié
Indice
Reconnaître \(X\sim\mathcal B(10,0{,}3)\) puis appliquer la formule binomiale.
Correction
\[\mathbb{P}(X=4)=\binom{10}{4}(0{,}3)^4(0{,}7)^6.\]
Q10. Dans la situation précédente, calculer \(\mathbb{P}(X\ge 1)\) sans somme.
Non vérifié
Indice
Utiliser le complément.
Correction
\[\mathbb{P}(X\ge1)=1-\mathbb{P}(X=0)=1-(0{,}7)^{10}.\]
Q11. Une joueuse réussit un tir avec probabilité \(0{,}4\). Elle effectue \(12\) tirs indépendants. Écrire \(\mathbb{P}(5\le X\le8)\) sous forme de somme exacte.
Non vérifié
Indice
Additionner les probabilités pour \(k=5,6,7,8\).
Correction
\[\mathbb{P}(5\le X\le8)=\sum_{k=5}^{8}\binom{12}{k}(0{,}4)^k(0{,}6)^{12-k}.\]
Q12. Si \(X\sim\mathcal{B}(25,0{,}6)\), donner \(\mathbb{E}(X)\).
Non vérifié
Indice
\(\mathbb{E}(X)=np\).
Correction
\(\mathbb{E}(X)=25\times0{,}6=15\).
Q13. Si \(X\sim\mathcal{B}(25,0{,}6)\), donner \(\mathrm{Var}(X)\).
Non vérifié
Indice
\(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\).
Correction
\(\mathrm{Var}(X)=25\times0{,}6\times0{,}4=6\).
Q14. On sait que \(X\sim\mathcal{B}(40,p)\) et \(\mathbb{E}(X)=14\). Déterminer \(p\).
Non vérifié
Indice
Utiliser \(\mathbb{E}(X)=np\).
Correction
\(p=\frac{14}{40}=\frac{7}{20}=0{,}35\).
Q15. On sait que \(X\sim\mathcal{B}(n,0{,}2)\) et \(\mathbb{E}(X)=7\). Déterminer \(n\).
Non vérifié
Indice
\(7=0{,}2n\).
Correction
\(n=\frac{7}{0{,}2}=35\).
Q16. Un appareil tombe en panne avec probabilité \(0{,}04\) à chaque test, indépendamment. On réalise \(15\) tests. Calculer la probabilité d’au moins une panne.
Non vérifié
Indice
Passer par l’événement contraire.
Correction
\[\mathbb{P}(X\ge1)=1-(0{,}96)^{15}.\]
Q17. Une pièce équilibrée est lancée \(12\) fois. Donner la probabilité d’obtenir exactement \(6\) piles.
Non vérifié
Indice
Ici \(p=\frac12\).
Correction
\[\mathbb{P}(X=6)=\binom{12}{6}\left(\frac12\right)^{12}.\]
Q18. Si \(X\sim\mathcal{B}(15,0{,}92)\), écrire \(\mathbb{P}(X\ge14)\) sous forme exacte.
Non vérifié
Indice
\(X\ge14\) signifie \(X=14\) ou \(X=15\).
Correction
\[\mathbb{P}(X\ge14)=\binom{15}{14}(0{,}92)^{14}(0{,}08)+(0{,}92)^{15}.\]
Q19. Pour \(X\sim\mathcal{B}(7,0{,}6)\), écrire \(\mathbb{P}(X\le1)\) sous forme exacte.
Non vérifié
Indice
\(\mathbb{P}(X\le1)=\mathbb{P}(X=0)+\mathbb{P}(X=1)\).
Correction
\[\mathbb{P}(X\le1)=(0{,}4)^7+7\cdot0{,}6\cdot(0{,}4)^6.\]
Q20. On effectue \(n\) tirages avec remise. La probabilité d’obtenir une boule rouge est \(p\). Donner la loi de \(X\), nombre de boules rouges, puis son espérance et sa variance.
Non vérifié
Indice
Schéma de Bernoulli.
Correction
\[\boxed{X\sim\mathcal{B}(n,p)},\qquad\boxed{\mathbb{E}(X)=np},\qquad\boxed{\mathrm{Var}(X)=np(1-p)}.\]
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