Fiche de révision — Limites de suites
1. Convergence / divergence
- \((u_n)\) converge vers \(\ell\) : \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n = \ell\).
- Limite unique si elle existe.
- Divergence : pas de limite réelle (ou limite infinie).
2. Limites finies / infinies
- \(\displaystyle \lim u_n = \ell\) : termes proches de \(\ell\) pour \(n\) grand.
- \(\displaystyle \lim u_n = +\infty\) : termes arbitrairement grands positifs.
- \(\displaystyle \lim u_n = -\infty\) : termes arbitrairement grands négatifs.
3. Opérations sur les limites
- Si \(\lim u_n = \ell\), \(\lim v_n = m\) : \[ \lim(u_n+v_n) = \ell+m,\quad \lim(\lambda u_n) = \lambda\ell,\quad \lim(u_nv_n) = \ell m. \]
- Si \(m\neq 0\) et \(v_n\neq 0\) à partir d’un certain rang : \[ \lim\frac{u_n}{v_n} = \frac{\ell}{m}. \]
4. Comparaison et gendarmes
- Suite majorée : \(\exists M\) tel que \(u_n\le M\).
- Suite minorée : \(\exists m\) tel que \(u_n\ge m\).
- Suite bornée : majorée et minorée.
- Gendarmes : si \(u_n \le v_n \le w_n\) et \(\lim u_n = \lim w_n = \ell\), alors \(\lim v_n = \ell\).
5. Suites monotones
- Croissante : \(u_{n+1}\ge u_n\).
- Décroissante : \(u_{n+1}\le u_n\).
- Th. : croissante \emph{et} majorée \(\Rightarrow\) convergente ; décroissante \emph{et} minorée \(\Rightarrow\) convergente.
6. Limites usuelles
- \(\displaystyle \frac{1}{n^k}\to 0\) pour \(k\ge 1\).
- \(n^k\to +\infty\) pour \(k\ge 1\).
- \(|q|<1 \Rightarrow q^n\to 0\).
- \(a>1 \Rightarrow a^n\to +\infty\).
- \(\displaystyle \frac{P(n)}{Q(n)}\) avec polynômes de même degré : limite = quotient des coefficients dominants.
7. Suites linéaires \(u_{n+1}=a u_n + b\)
- Si \(|a|<1\) et si la suite converge : \(\displaystyle \ell = \frac{b}{1-a}\).
- Poser \(v_n = u_n - \ell\) \(\Rightarrow\) \(v_{n+1} = a v_n\) (suite géométrique).
- Formule : \[ u_n = a^n(u_0-\ell) + \ell. \]