1. Rappels et exemples de suites
Une suite réelle est une application \[ u : \mathbb{N} \to \mathbb{R},\quad n \longmapsto u_n. \] On note la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) ou simplement \((u_n)\).
Exemples :
- Suites données par une formule explicite : \(u_n = \dfrac{2n+1}{n+3}\), \(v_n = \dfrac{1}{n}\), \(w_n = (-1)^n\).
- Suites définies par récurrence : \(u_0 = 1,\ u_{n+1} = \dfrac{u_n+3}{2}\).
2. Limite finie d’une suite
2.1. Idée intuitive
On dit que la suite \((u_n)\) converge vers un réel \(\ell\) si, pour des valeurs de \(n\) de plus en plus grandes, les termes \(u_n\) se rapprochent autant qu’on veut du nombre \(\ell\).
On note \[ \lim_{n\to+\infty} u_n = \ell \quad\text{ou}\quad u_n \to \ell. \]
2.2. Défintion rigoureuse (admise)
On admet la définition suivante : \((u_n)\) converge vers \(\ell\) si pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe un rang \(N\) tel que \[ n \ge N \ \Rightarrow\ |u_n - \ell| < \varepsilon. \]
(Cette définition ne sera pas redémontrée, mais elle justifie l’outil “limite”.)
2.3. Exemples
- \(\displaystyle u_n = \frac{1}{n}\) converge vers \(0\).
- \(\displaystyle u_n = \frac{2n+1}{n+3}\) vérifie \[ u_n = 2 - \frac{5}{n+3} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 2. \]
3. Limites infinies
On dit que \((u_n)\) diverge vers \(+\infty\) si les termes deviennent arbitrairement grands et positifs. On note \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty\).
On dit que \((u_n)\) diverge vers \(-\infty\) si les termes deviennent arbitrairement grands en valeur absolue et négatifs.
- \(u_n = n\) ou \(u_n = n^2\) : \(\lim u_n = +\infty\).
- \(u_n = -n\) : \(\lim u_n = -\infty\).
4. Unicité et opérations sur les limites
4.1. Unicité
Si une suite \((u_n)\) converge vers un réel \(\ell\), alors cette limite est unique. Il n’existe pas deux limites différentes.
4.2. Somme, produit, quotient
Soient deux suites convergentes \((u_n)\) et \((v_n)\) telles que \[ \lim u_n = \ell,\qquad \lim v_n = m. \]
- \(\displaystyle \lim (u_n+v_n) = \ell + m.\)
- \(\displaystyle \lim (\lambda u_n) = \lambda\ell\) pour tout \(\lambda\in\mathbb{R}\).
- \(\displaystyle \lim (u_nv_n) = \ell m.\)
- Si \(m\neq 0\) et \(v_n\neq 0\) à partir d’un certain rang : \[ \lim \frac{u_n}{v_n} = \frac{\ell}{m}. \]
5. Comparaison et théorème des gendarmes
5.1. Suites majorées, minorées, bornées
- Majorée : \(\exists M\) tel que \(u_n \le M\) pour tout \(n\).
- Minorée : \(\exists m\) tel que \(u_n \ge m\) pour tout \(n\).
- Bornée : à la fois majorée et minorée.
5.2. Théorème des gendarmes
Si l’on a, à partir d’un certain rang, \[ u_n \le v_n \le w_n \] et si \(\displaystyle \lim u_n = \lim w_n = \ell\), alors \(\displaystyle \lim v_n = \ell\).
Très utile pour des suites du type \(\dfrac{\sin n}{n}\), \(\dfrac{\ln n}{n}\), etc.
6. Suites monotones et convergence
6.1. Monotonie
- Croissante : \(u_{n+1} \ge u_n\) pour tout \(n\).
- Décroissante : \(u_{n+1} \le u_n\) pour tout \(n\).
- Monotone : croissante ou décroissante.
6.2. Théorème de convergence monotone
- Si \((u_n)\) est croissante et majorée, alors elle converge.
- Si \((u_n)\) est décroissante et minorée, alors elle converge.
Si une suite est croissante mais non majorée, alors elle diverge vers \(+\infty\).
7. Limites de suites usuelles
- \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n^k} = 0\) pour tout entier \(k\ge 1\).
- \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} n^k = +\infty\) pour \(k\ge 1\).
- \(|q|<1 \Rightarrow q^n \to 0\).
- \(a>1 \Rightarrow a^n\to +\infty\).
- Si \(\displaystyle u_n = \frac{P(n)}{Q(n)}\) avec \(P,Q\) polynômes de même degré, alors \[ \lim u_n = \frac{\text{coefficient dominant de }P}{ \text{coefficient dominant de }Q}. \]
8. Suites linéaires \(u_{n+1} = a u_n + b\)
On considère une suite \((u_n)\) définie par \[ u_{n+1} = a u_n + b,\quad a\neq 1. \]
- Si \((u_n)\) converge vers \(\ell\), alors \(\ell = a\ell + b\), d’où \(\displaystyle \ell = \frac{b}{1-a}\).
- En posant \(v_n = u_n - \ell\), on vérifie : \[ v_{n+1} = a v_n, \] donc \((v_n)\) est géométrique.
- Finalement, \[ u_n = a^n (u_0 - \ell) + \ell. \] Si \(|a|<1\), on a \(a^n\to 0\) et donc \(u_n\to \ell\).