Exercices corrigés
Limites, comparaison, suites géométriques et suites linéaires.
Exercice 1 — Quotient de polynômes
Pour tout entier \(n\ge 1\), on considère \[ u_n = \frac{3n^2 - 2n + 1}{2n^2 + 5}. \]
- Montrer que la suite \((u_n)\) est convergente.
- Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n\).
Correction
On divise numérateur et dénominateur par \(n^2\) :
\[
u_n = \frac{3 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}{2 + \frac{5}{n^2}}
\xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{3}{2}.
\]
La suite converge vers \(\dfrac{3}{2}\).
Exercice 2 — Comparaison avec \(\dfrac{1}{n}\)
Pour tout \(n\ge 1\), on définit \[ v_n = \frac{4n+1}{n^2 + 1}. \]
- Montrer que \((v_n)\) est positive.
- Comparer \(v_n\) avec \(\dfrac{5}{n}\).
- En déduire \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} v_n\).
Correction
On a \(v_n>0\) car \(4n+1>0\) et \(n^2+1>0\).
De plus,
\[
v_n = \frac{4n+1}{n^2+1} \le \frac{4n+1}{n^2}
= \frac{4}{n} + \frac{1}{n^2} \le \frac{5}{n}.
\]
Or \(\dfrac{5}{n}\to 0\) et \(v_n\ge 0\), donc par encadrement
\(v_n\to 0\).
Exercice 3 — Suite géométrique
On considère \(u_n = 5\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\).
- Identifier le premier terme et la raison de la suite géométrique.
- Étudier la limite de \((u_n)\).
Correction
Suite géométrique de raison \(q=\tfrac{2}{3}\), \(u_0=5\).
Comme \(|q|<1\), \(q^n\to 0\), donc \(u_n\to 0\).
Exercice 4 — Gendarmes
Pour tout \(n\ge 1\), on pose \(u_n = \dfrac{\sin n}{n}\).
- Montrer que \(-\dfrac{1}{n} \le u_n \le \dfrac{1}{n}\).
- En déduire \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n\).
Correction
\(|\sin n|\le 1\) pour tout \(n\), donc
\(-1\le\sin n\le 1 \Rightarrow -\tfrac1n\le\tfrac{\sin n}{n}\le\tfrac1n\).
Comme \(\tfrac1n\to 0\) et \(-\tfrac1n\to 0\),
le théorème des gendarmes donne \(u_n\to 0\).
Exercice 5 — Suite linéaire
On considère la suite \[ u_0=0,\qquad u_{n+1} = \frac12 u_n + 3. \]
- Conjecturer la limite de \((u_n)\) à l'aide de quelques valeurs.
- En supposant que \((u_n)\) converge vers \(\ell\), déterminer \(\ell\).
- Montrer que \(u_n = 6 - 6\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\).
Correction
En passant à la limite dans \(u_{n+1} = \tfrac12 u_n + 3\),
on obtient \(\ell = \tfrac12\ell + 3\), d'où \(\ell=6\).
En posant \(v_n = u_n - 6\), on vérifie \(v_{n+1} = \tfrac12 v_n\),
donc \(v_n = -6\left(\tfrac12\right)^n\) et
\(u_n = 6 - 6\left(\tfrac12\right)^n \to 6\).
Exercice 6 — Suite monotone et convergence
On considère la suite \[ u_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} - \ln n \qquad(n\ge 1). \]
- Admettre que \((u_n)\) est décroissante à partir d'un certain rang.
- Admettre que \((u_n)\) est minorée.
- En déduire que \((u_n)\) est convergente.
Correction (idée)
On montre (par une étude de fonction) que \(u_{n+1}-u_n\le 0\)
à partir d'un certain rang : la suite est décroissante.
Comme elle est aussi minorée, le théorème des suites monotones
garantit la convergence de \((u_n)\).