Quiz — Dérivation, convexité et continuité (20 questions)
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1) Dérivée simple
On considère \( f(x) = x^2 - 3x + 1 \). Donner \( f'(x) \).
Réponse attendue : un polynôme (par ex. 5x-1).
\( f'(x) = 2x - 3 \) (dérivée d’un polynôme : terme à terme).
2) Dérivée d’un polynôme de degré 3
On considère \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \). Donner \( f'(x) \).
Réponse attendue : polynôme (par ex. 3x^2-3).
\( f'(x)=3x^2-3 = 3(x^2-1) = 3(x-1)(x+1) \).
3) Dérivée d’une fonction exponentielle simple
On considère \( h(x) = e^x - 1 - x \). Donner \( h'(x) \).
4) Dérivée seconde d’une exponentielle
Avec \( h(x) = e^x - 1 - x \), donner \( h''(x) \).
\( h''(x) = e^x \) (la dérivée de \(e^x\) est encore \(e^x\)).
5) Dérivée d’un produit avec exponentielle
On considère \( f(x) = x^2 e^{-x} \). Donner \( f'(x) \) sous la forme non factorisée.
Tu peux écrire e^{-x} ou e^-x si tu veux.
Par produit :
\( f'(x) = 2x e^{-x} + x^2(-e^{-x}) = (2x - x^2)e^{-x} \).
6) Même dérivée, forme factorisée
Avec \( f(x) = x^2 e^{-x} \), donner \( f'(x) \) factorisée au maximum.
\( f'(x) = e^{-x}x(2-x) \).
7) Signe de la dérivée
Pour \( f(x)=x^2 e^{-x} \), sur quel intervalle \( f \) est-elle croissante ?
\( f'(x)=e^{-x}x(2-x) \) > 0 pour \(0<x<2\).
Donc \( f \) est croissante sur \([0;2]\).
8) Maximum global
Pour \( f(x)=x^2 e^{-x} \) sur \([0;+\infty[\), donner l’abscisse du maximum global.
\(f\) croît sur \([0;2]\) puis décroît : maximum en \(x=2\).
9) Limite d’une fonction exponentielle pondérée
Donner \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} x^2 e^{-x} \).
L’exponentielle domine le polynôme, donc la limite est \(0\).
10) Dérivée d’une fonction avec logarithme
On considère \( g(x)=x+\ln(1+x)-\dfrac{x^2}{2} \). Donner \( g'(x) \).
\( g'(x)=1+\dfrac{1}{1+x}-x \).
11) Deuxième dérivée de \(g\)
Avec \( g(x)=x+\ln(1+x)-\dfrac{x^2}{2} \), donner \( g''(x) \).
\( g''(x)=-\dfrac{1}{(1+x)^2}-1 \) (toujours <0, donc concave).
12) Valeur de la dérivée en 0
Avec \( g(x) = x+\ln(1+x)-\dfrac{x^2}{2} \), calculer \( g'(0) \).
\( g'(0)=1+\dfrac{1}{1+0}-0=2 \).
13) Dérivée d’un logarithme composé
Pour \( f(x)=\ln(x^2+1)-x^2 \), donner \( f'(x) \).
\( f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}-2x \).
14) Signe de \( f'(x) \) ci-dessus
Pour \( f(x)=\ln(x^2+1)-x^2 \), le signe de \( f'(x) \) est-il positif pour \(x<0\) ou pour \(x>0\) ?
\( f'(x)>0 \) pour \(x<0\) et \( f'(x)<0\) pour \(x>0\).
15) Dérivée de \( p(x) \)
Pour \( p(x)=x^3-3x^2+5x+1 \), donner \( p'(x) \).
\( p'(x)=3x^2-6x+5 \) (trinôme sans racine réelle).
16) Discriminant de \( p'(x) \)
Donner le discriminant \( \Delta \) de \( p'(x)=3x^2-6x+5 \).
\( \Delta=(-6)^2-4\cdot3\cdot5=36-60=-24 \).
17) Sens de variation de \( p \)
Avec \( p'(x)=3x^2-6x+5 \) et \( \Delta<0\), comment varie \( p \) sur \([-3;4]\) ?
\( p'(x)>0\) pour tout \(x\), donc \(p\) est strictement croissante.
18) Valeur de \( p(-3) \)
Calculer \( p(-3) \) pour \( p(x)=x^3-3x^2+5x+1 \).
\( p(-3)=-27-27-15+1=-68 \).
19) Valeur de \( p(4) \)
Calculer \( p(4) \) pour \( p(x)=x^3-3x^2+5x+1 \).
\( p(4)=64-48+20+1=37 \).
20) Nombre de points d’inflexion
Pour \( f(x)=x^2 e^{-x} \), combien de points d’inflexion la courbe admet-elle sur \([0,+\infty[\,\)?
On a \( f''(x)=e^{-x}(x^2-4x+2) \).
Ce trinôme a deux racines \(2\pm\sqrt{2}\) dans \([0,+\infty[\) :
la courbe a donc 2 points d’inflexion.