Fiche de révision
Dérivation • Continuité • Convexité • Inégalités • TVI
1) Dérivation et tangentes
- Dérivée : si \(f\) est dérivable en \(a\), \[ f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}. \]
- Interprétation graphique : coefficient directeur de la tangente à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse \(a\).
- Équation de la tangente en \(a\) : \[ y = f'(a)(x-a)+f(a). \]
- Règles usuelles (sur un intervalle) :
- \((u+v)' = u' + v'\)
- \((uv)' = u'v + uv'\)
- \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\) si \(v\neq0\)
- \((e^x)' = e^x\), \((\ln x)' = \dfrac1x\) pour \(x>0\)
2) Continuité & TVI (Théorème des valeurs intermédiaires)
Définition (continuité en un point).
On dit que \(f\) est continue en \(a\) si \[ \lim_{x\to a} f(x) = f(a). \] Sur un intervalle, \(f\) est continue si elle est continue en tout point de cet intervalle.
On dit que \(f\) est continue en \(a\) si \[ \lim_{x\to a} f(x) = f(a). \] Sur un intervalle, \(f\) est continue si elle est continue en tout point de cet intervalle.
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI).
Soit \(f\) continue sur \([a,b]\). Pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\) (c’est-à-dire \(k \in [\min(f(a),f(b)),\max(f(a),f(b))]\)), il existe au moins un réel \(c\in[a,b]\) tel que \[ f(c) = k. \]
Soit \(f\) continue sur \([a,b]\). Pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\) (c’est-à-dire \(k \in [\min(f(a),f(b)),\max(f(a),f(b))]\)), il existe au moins un réel \(c\in[a,b]\) tel que \[ f(c) = k. \]
Corollaire (existence et unicité de solution)
Si \(f\) est
Si \(f\) est
- continue sur \([a,b]\),
- et strictement monotone (strictement croissante ou décroissante)
- Application typique :
- On montre que \(f\) est continue sur \([a,b]\).
- On calcule \(f(a)\) et \(f(b)\) et on vérifie que \(0\) est entre ces deux valeurs.
- On en déduit l’existence (et éventuellement l’unicité) d’une solution de \(f(x)=0\) dans \([a,b]\).
- On affine ensuite avec un tableau de valeurs pour obtenir un encadrement de la solution (par exemple au dixième).
3) Signe de la dérivée et variations
- Si \(f'(x) > 0\) sur un intervalle, alors \(f\) y est croissante.
- Si \(f'(x) < 0\) sur un intervalle, alors \(f\) y est décroissante.
- Un point où \(f'(x)=0\) peut correspondre à :
- un maximum local,
- un minimum local,
- ou ni l’un ni l’autre (point stationnaire « plat »).
- On résume le tout dans un tableau de variations : signes de \(f'\) sur la première ligne, flèches de \(f\) sur la seconde.
4) Convexité, dérivée seconde, points d’inflexion
- Si \(f\) est deux fois dérivable sur un intervalle :
- \(f''(x) > 0\) → \(f\) est convexe (courbe « en bol »)
- \(f''(x) < 0\) → \(f\) est concave (courbe « en cloche »)
- Point d’inflexion : point où la courbe change de convexité (le signe de \(f''\) change) et la courbe « passe » d’un côté à l’autre de sa tangente.
- On le détecte en général en résolvant \(f''(x)=0\) puis en regardant le signe de \(f''\) de part et d’autre de ces valeurs.
5) Inégalités classiques via la convexité
- Exponentielle : \(h(x)=e^x-1-x\).
- On montre que \(h''(x)=e^x>0\) : \(h\) est convexe.
- En \(0\), \(h(0)=0\) et \(h'(0)=0\) : tangente horizontale \(y=0\).
- Convexité \(\Rightarrow h(x)\ge0\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
- Logarithme (exemple type) : on étudie, par exemple, \[ g(x)=x+\ln(1+x)-\frac{x^2}{2} \] pour \(x>0\), et on en déduit sur un certain intervalle \[ \ln(1+x)\ge\frac{x^2}{2}-x. \] Idée : on utilise la concavité de \(g\) et ses zéros.
6) Stratégies « bac » à retenir
- Pour une étude complète de fonction : domaine, limites, dérivée, signe de la dérivée, variations, extremums, dérivée seconde, convexité, points d’inflexion.
- Pour montrer une existence de solution : continuité + TVI (et unicité si monotone).
- Pour des inégalités : construire une fonction \(F\) telle que l’inégalité soit \(F(x)\ge0\), puis utiliser convexité/concavité + tangente en un point bien choisi.