Analyse
Dérivation, convexité et continuité • Cours • Exercices • Fiches • Quiz
Voir le PDF Télécharger
Exercices guidés Continuité • Dérivation • Convexité • TVI • Inégalités

Exercice 1 — Continuité et dérivabilité en un point

On considère la fonction \[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1} & \text{si } x\neq 1,\\[2mm] 2 & \text{si } x=1. \end{cases} \]

  1. Simplifier l’expression de \(f(x)\) pour \(x\neq 1\).
  2. Étudier la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\to 1\).
  3. La fonction \(f\) est-elle continue en \(1\) ?
  4. Calculer, si elle existe, la dérivée \(f'(1)\) à l’aide de \[ f'(1)=\lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}. \]
  5. Donner l’équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(1\) si elle existe.

1) Pour \(x\neq1\), \[ \frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1. \] Donc pour \(x\neq1\), \(f(x)=x+1\).

2) On a \[ \lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}(x+1)=2. \]

3) Par définition, \(f(1)=2\) et la limite en 1 vaut aussi 2. Donc \(f\) est continue en \(1\).

4) Dérivée en 1 : \[ f'(1)=\lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{(1+h)+1-2}{h} =\lim_{h\to0}\frac{h}{h}=1. \]

5) Tangente en \(x=1\) : coefficient directeur \(f'(1)=1\), et \(f(1)=2\). Équation : \[ y=f'(1)(x-1)+f(1)=1(x-1)+2=x+1. \] La tangente est confondue avec la droite \(y=x+1\).

Exercice 2 — Étude de fonction avec exponentielle

On considère la fonction \[ f(x)=(x^2-3x+1)e^x,\quad x\in\mathbb{R}. \]

  1. Justifier que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et calculer \(f'(x)\).
  2. Mettre \(f'(x)\) sous la forme \(f'(x)=e^x(x^2-x-2)\) puis factoriser.
  3. Étudier le signe de \(f'(x)\).
  4. En déduire les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
  5. Déterminer les extremums locaux de \(f\) (abscisses et valeurs).

On pose \(u(x)=x^2-3x+1\). Alors \(f(x)=u(x)e^x\).

1) \(u\) est polynôme donc dérivable. \(e^x\) est dérivable. Produit de fonctions dérivables \(\Rightarrow f\) dérivable sur \(\mathbb{R}\).

\[ f'(x)=u'(x)e^x+u(x)e^x=(2x-3)e^x+(x^2-3x+1)e^x =e^x(x^2-x-2). \]

2) On factorise \[ x^2-x-2=(x-2)(x+1), \] donc \[ f'(x)=e^x(x-2)(x+1). \]

3) Comme \(e^x>0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \((x-2)(x+1)\).

  • Pour \(x<-1\) : \(x+1<0\) et \(x-2<0\) \(\Rightarrow f'(x)>0\).
  • Pour \(-1<x<2\) : \(x+1>0\), \(x-2<0\) \(\Rightarrow f'(x)<0\).
  • Pour \(x>2\) : \(x+1>0\), \(x-2>0\) \(\Rightarrow f'(x)>0\).

4) Variations :

  • \(f\) croissante sur \((-\infty,-1]\),
  • décroissante sur \([-1,2]\),
  • croissante sur \([2,+\infty)\).

5) Valeurs aux points critiques :

\[ f(-1)=((-1)^2+3+1)e^{-1}=5e^{-1},\qquad f(2)=(4-6+1)e^2=-e^2. \]

  • Maximum local en \(-1\) : \(f(-1)=\dfrac{5}{e}\).
  • Minimum local en \(2\) : \(f(2)=-e^2\).

Exercice 3 — Convexité et dérivée seconde

On considère la fonction \[ f(x)=\ln(x^2+1)-x^2,\quad x\in\mathbb{R}. \]

  1. Justifier que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
  2. Calculer \(f'(x)\) et étudier son signe, en déduire les variations de \(f\).
  3. Calculer \(f''(x)\) et montrer que \[ f''(x)=\frac{-2x^2(x^2+3)}{(x^2+1)^2}. \]
  4. Étudier le signe de \(f''(x)\) et en déduire la convexité/concavité de \(f\).
  5. La courbe admet-elle un point d’inflexion ?

1) Pour tout \(x\), \(x^2+1>0\), donc \(\ln(x^2+1)\) est définie et dérivable. \(x^2\) est polynôme. Différence de fonctions dérivables \(\Rightarrow f\) dérivable sur \(\mathbb{R}\).

2) \[ f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}-2x. \] On met au même dénominateur : \[ f'(x)=\frac{2x-2x(x^2+1)}{x^2+1} =\frac{2x-2x^3-2x}{x^2+1} =\frac{-2x^3}{x^2+1}. \] Le dénominateur est >0, donc le signe de \(f'(x)\) est celui de \(-2x^3\) (opposé de \(x\)).

  • Si \(x<0\) : \(x^3<0\) donc \(-2x^3>0\) \(\Rightarrow f'(x)>0\).
  • Si \(x>0\) : \(x^3>0\) donc \(-2x^3<0\) \(\Rightarrow f'(x)<0\).
  • \(f'(0)=0\).

Donc \(f\) est croissante sur \((-\infty,0]\) puis décroissante sur \([0,+\infty)\), avec un maximum en 0 : \[ f(0)=\ln(1)-0=0. \]

3) Dérivée seconde : \[ f''(x)=\left(\frac{2x}{x^2+1}\right)'-2. \] Dérivée du quotient : \[ \left(\frac{2x}{x^2+1}\right)' =\frac{2(x^2+1)-(2x)\cdot2x}{(x^2+1)^2} =\frac{2x^2+2-4x^2}{(x^2+1)^2} =\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}. \] Après simplification complète on obtient \[ f''(x)=\frac{-2x^2(x^2+3)}{(x^2+1)^2}. \]

4) Le dénominateur est >0. Au numérateur, \(x^2\ge0\) et \(x^2+3>0\), donc \(-2x^2(x^2+3)\le0\), avec égalité seulement si \(x=0\).

  • Pour \(x\neq0\), \(f''(x)<0\) \(\Rightarrow\) \(f\) est concave.
  • En \(x=0\), \(f''(0)=0\) mais le signe de \(f''\) ne change pas : toujours \(\le0\).

5) Pas de changement de signe de \(f''\) \(\Rightarrow\) pas de véritable point d’inflexion. La courbe est globalement concave.

Exercice 4 — Convexité / concavité et inégalité avec \(\ln(1+x)\)

On considère \[ g(x)=x+\ln(1+x)-\frac{x^2}{2},\quad x>0. \]

  1. Calculer \(g'(x)\) puis \(g''(x)\).
  2. Étudier le signe de \(g''(x)\) et en déduire la convexité ou concavité de \(g\).
  3. Montrer que \(g(0)=0\) (par prolongement par continuité) et calculer \(g'(0)\).
  4. Étudier les variations de \(g\) et déterminer les valeurs de \(x>0\) pour lesquelles \(g(x)\ge0\).
  5. En déduire pour quels \(x>0\) l’inégalité \[ \ln(1+x)\ge\frac{x^2}{2}-x \] est vérifiée.

1) \[ g'(x)=1+\frac{1}{1+x}-x,\qquad g''(x)=-\frac{1}{(1+x)^2}-1. \]

2) Pour tout \(x>0\), \(-\frac1{(1+x)^2}<0\) et \(-1<0\), donc \(g''(x)<0\). La fonction \(g\) est donc concave sur \((0,+\infty)\).

3) On prolonge en \(0\) : \[ g(0)=0+\ln(1)-0=0,\qquad g'(0)=1+\frac{1}{1+0}-0=2. \]

4) Pour étudier \(g'(x)=0\) : \[ 1+\frac{1}{1+x}-x=0 \iff (1+x)+1-x(1+x)=0 \iff x^2-2x-1=0. \] Le discriminant vaut \(\Delta=4+4=8\). Racines : \[ x=1\pm\sqrt{2}. \] Sur \((0,+\infty)\), seul \(x_1=1+\sqrt2\approx2{,}41\) est >0.

Comme \(g''(x)<0\) , \(g\) est concave et admet un maximum en \(x_1\). On sait aussi que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty\) (domination du terme \(-x^2/2\)). Donc il existe un unique \(\alpha>x_1\) tel que \(g(\alpha)=0\). Numériquement \(\alpha\approx 2{,}93\).

On en déduit :

  • Pour \(0\le x\le \alpha\), \(g(x)\ge0\).
  • Pour \(x>\alpha\), \(g(x)<0\).

5) L’inégalité \[ g(x)=x+\ln(1+x)-\frac{x^2}{2}\ge0 \iff \ln(1+x)\ge\frac{x^2}{2}-x \] est donc vraie pour \[ 0\le x\le \alpha\approx2{,}93. \]

Exercice 5 — Inégalité classique \(e^x \ge 1+x\)

On considère \[ h(x)=e^x-1-x,\quad x\in\mathbb{R}. \]

  1. Calculer \(h'(x)\) puis \(h''(x)\).
  2. Étudier le signe de \(h''(x)\) et en déduire la convexité de \(h\).
  3. Calculer \(h(0)\) et \(h'(0)\).
  4. En utilisant la convexité, démontrer que \[ e^x\ge1+x,\quad \forall x\in\mathbb{R}. \]

1) \[ h'(x)=e^x-1,\qquad h''(x)=e^x. \]

2) Pour tout \(x\), \(e^x>0\), donc \(h''(x)>0\) : \(h\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).

3) \[ h(0)=e^0-1-0=0,\qquad h'(0)=e^0-1=0. \]

4) Pour une fonction convexe, le graphe est au-dessus de toutes ses tangentes. La tangente en 0 a pour équation \[ y=h(0)+h'(0)x=0. \] Donc pour tout \(x\), \[ h(x)\ge0\iff e^x-1-x\ge0\iff e^x\ge1+x. \]

Exercice 6 — Sujet type bac (polynôme et TVI)

On considère \[ f(x)=x^3-3x+1,\quad x\in\mathbb{R}. \]

  1. Montrer que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et calculer \(f'(x)\).
  2. Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
  3. Discuter le nombre de solutions de \(f(x)=0\) dans \([0,2]\). On note \(\alpha\) la solution dans \([0,1]\).
  4. Donner un encadrement de \(\alpha\) au dixième près.
  5. Calculer \(f''(x)\) et déterminer si la courbe admet un point d’inflexion.

1) \(f\) est polynôme donc dérivable sur \(\mathbb{R}\). \[ f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1). \]

2) Signe de \(f'\) :

  • \(f'(x)>0\) si \(x<-1\) ou \(x>1\),
  • \(f'(x)<0\) si \(-1<x<1\),
  • \(f'(-1)=f'(1)=0\).

Donc \(f\) est croissante sur \((-\infty,-1]\), décroissante sur \([-1,1]\), puis croissante sur \([1,+\infty)\).

Valeurs : \[ f(-1)=3,\qquad f(1)=-1. \]

3) Sur \([0,2]\) : \[ f(0)=1>0,\quad f(1)=-1<0,\quad f(2)=8-6+1=3>0. \] Par continuité, il y a une racine dans \((0,1)\) et une autre dans \((1,2)\). Donc deux solutions dans \([0,2]\). On note \(\alpha\in(0,1)\) celle de \([0,1]\).

4) Encadrement : \[ f(0{,}3)=0{,}3^3-3\cdot0{,}3+1=0{,}027-0{,}9+1=0{,}127>0, \] \[ f(0{,}4)=0{,}4^3-3\cdot0{,}4+1=0{,}064-1{,}2+1=-0{,}136<0. \] Donc \[ 0{,}3<\alpha<0{,}4. \]

5) \[ f''(x)=(3x^2-3)'=6x. \] Signe :

  • si \(x<0\), \(f''(x)<0\) : concave,
  • si \(x>0\), \(f''(x)>0\) : convexe.
\(f''(0)=0\) et la concavité change de signe : point d’inflexion en \(x=0\). \(f(0)=1\), donc point d’inflexion \(I(0,1)\).

Exercice 7 — Étude complète de \(f(x)=x^2e^{-x}\)

On considère \[ f(x)=x^2 e^{-x},\quad x\ge0. \]

  1. Justifier que \(f\) est continue et dérivable sur \([0,+\infty[\) et calculer \(f'(x)\).
  2. Montrer que \(f'(x)=e^{-x}x(2-x)\).
  3. Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
  4. Déterminer les extremums de \(f\) sur \([0,+\infty[\).
  5. Calculer \(f''(x)\), montrer que \(f''(x)=e^{-x}(x^2-4x+2)\) puis étudier la convexité et les points d’inflexion.

1) \(x^2\) et \(e^{-x}\) sont dérivables, donc \(f\) l’est aussi sur \([0,+\infty[\).

\[ f'(x)=(x^2)'e^{-x}+x^2(e^{-x})' =2x e^{-x}+x^2(-e^{-x}) =e^{-x}(2x-x^2). \]

2) \[ 2x-x^2=x(2-x)\Rightarrow f'(x)=e^{-x}x(2-x). \]

3) Sur \([0,+\infty[\), \(e^{-x}>0\) donc le signe de \(f'(x)\) est celui de \(x(2-x)\) :

  • \(0<x<2\) : \(x>0\), \(2-x>0\) \(\Rightarrow f'(x)>0\).
  • \(x>2\) : \(x>0\), \(2-x<0\) \(\Rightarrow f'(x)<0\).
  • \(f'(0)=f'(2)=0\).

Donc \(f\) croît sur \([0,2]\) puis décroît sur \([2,+\infty[\).

4) \[ f(0)=0,\qquad f(2)=4e^{-2}. \] Minimum global en \(0\) (valeur 0) et maximum global en \(2\) (valeur \(4e^{-2}\)).

5) Nouveau calcul : \[ f''(x)=(e^{-x}x(2-x))' =e^{-x}(2-2x)-e^{-x}x(2-x) =e^{-x}(x^2-4x+2). \] Le signe de \(f''\) est celui du trinôme \(x^2-4x+2\). \(\Delta=16-8=8>0\) et racines \(x=2\pm\sqrt2\).

  • Si \(x<2-\sqrt2\) ou \(x>2+\sqrt2\) : \(f''(x)>0\) \(\Rightarrow\) \(f\) convexe.
  • Si \(2-\sqrt2<x<2+\sqrt2\) : \(f''(x)<0\) \(\Rightarrow\) \(f\) concave.

Il y a donc deux points d’inflexion aux abscisses \[ x_1=2-\sqrt2,\qquad x_2=2+\sqrt2. \] Les ordonnées sont \[ f(x_1)=(2-\sqrt2)^2e^{-(2-\sqrt2)},\quad f(x_2)=(2+\sqrt2)^2e^{-(2+\sqrt2)}. \]

Exercice 8 — Continuité de fonctions définies par morceaux

1) Soit \[ f(x)= \begin{cases} x^2-1 & \text{si } x<0,\\ x-1 & \text{si } x\ge0. \end{cases} \] Étudier la continuité et la dérivabilité de \(f\) en \(0\), puis sur \(\mathbb{R}\).

2) Soit \[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-x-2}{x-2} & \text{si } x\neq2,\\[2mm] 3 & \text{si } x=2. \end{cases} \] Étudier la continuité de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

3) Soit \[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x} & \text{si } x\in[-1,0[\cup]0,+\infty[,\\[2mm] a & \text{si } x=0. \end{cases} \] Déterminer \(a\) pour que \(f\) soit continue en \(0\).

1) Pour \(x<0\), \(f(x)=x^2-1\) (polynôme) : continue et dérivable. Pour \(x>0\), \(f(x)=x-1\) : polynôme, continue et dérivable.

En \(0\) :

  • \(\displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(x^2-1)=-1\),
  • \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(x-1)=-1\),
  • \(f(0)=0-1=-1\).

Les trois coïncident \(\Rightarrow f\) continue en 0.

Dérivabilité en 0 :

  • Pour \(x<0\), \(f'(x)=2x\Rightarrow f'(0^-)=0\).
  • Pour \(x>0\), \(f'(x)=1\Rightarrow f'(0^+)=1\).

Les dérivées unilatérales sont différentes \(\Rightarrow f\) n’est pas dérivable en 0. Conclusion : \(f\) continue sur \(\mathbb{R}\), dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

2) Pour \(x\neq2\), \[ x^2-x-2=(x-2)(x+1)\Rightarrow f(x)=x+1. \] Donc pour \(x\neq2\), \(f(x)=x+1\), continue. En \(x=2\) : \[ \lim_{x\to2}f(x)=\lim_{x\to2}(x+1)=3,\qquad f(2)=3. \] Donc \(f\) est continue en \(2\). Conclusion : \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).

3) \[ \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} =\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\cdot\frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1} =\frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)} =\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}. \] Donc \[ \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} =\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac12. \] Pour que \(f\) soit continue en 0, il faut \(a=\dfrac12\).

Exercice 9 — Type bac : fonction exponentielle et points d’inflexion

Partie A. Soit \[ p(x)=x^3-3x^2+5x+1,\quad x\in[-3;4]. \]

  1. Montrer que \(p\) est dérivable sur \([-3;4]\) et calculer \(p'(x)\).
  2. Étudier le signe de \(p'(x)\) et en déduire les variations de \(p\) sur \([-3;4]\).
  3. Justifier que l’équation \(p(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\in[-3;4]\).
  4. Donner une valeur approchée de \(\alpha\) au dixième près et le tableau de signe de \(p\).

Partie B. Soit \[ f(x)=\frac{e^x}{1+x^2},\quad x\in[-3;4]. \] On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative.

  1. Montrer que \[ f'(x)=\frac{e^x(x-1)^2}{(1+x^2)^2} \] et en déduire que \(\mathcal{C}_f\) admet une tangente horizontale au point d’abscisse 1.
  2. On admet que \[ f''(x)=\frac{p(x)(x-1)e^x}{(1+x^2)^3}. \] En utilisant les signes de \(p(x)\) et de \(x-1\), déterminer le signe de \(f''(x)\) et montrer que \(\mathcal{C}_f\) possède deux points d’inflexion.

Partie A.

1) \(p\) est polynôme, donc dérivable sur \([-3;4]\). \[ p'(x)=3x^2-6x+5. \]

2) Trinôme de discriminant \[ \Delta=(-6)^2-4\cdot3\cdot5=36-60=-24<0, \] et coefficient directeur \(3>0\), donc \(p'(x)>0\) pour tout \(x\). La fonction \(p\) est strictement croissante sur \([-3;4]\).

3) Valeurs aux bornes : \[ p(-3)=-68,\qquad p(4)=37. \] \(p\) est continue, strictement croissante, de \([-3;4]\) vers \([-68;37]\). Comme \(0\in[-68;37]\), par TVI, l’équation \(p(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\in[-3;4]\).

4) Numériquement, \(\alpha\approx-0{,}2\). Le signe de \(p\) : \[ x<\alpha \Rightarrow p(x)<0,\quad x>\alpha \Rightarrow p(x)>0. \]

Partie B.

5) Avec \( f(x)=\dfrac{e^x}{1+x^2}, \) on applique la formule du quotient :

\[ f'(x)=\frac{e^x(1+x^2)-e^x\cdot2x}{(1+x^2)^2} =\frac{e^x(x^2-2x+1)}{(1+x^2)^2} =\frac{e^x(x-1)^2}{(1+x^2)^2}. \]

Comme \((x-1)^2\ge0\), \(e^x>0\), \((1+x^2)^2>0\), on a \(f'(x)\ge0\) et \(f'(x)=0\) si et seulement si \(x=1\). Donc \(\mathcal{C}_f\) a une tangente horizontale au point d’abscisse 1 :

\[ f(1)=\frac{e}{2},\quad \text{tangente } y=\frac{e}{2}. \]

6) On admet \[ f''(x)=\frac{p(x)(x-1)e^x}{(1+x^2)^3}. \] Sur \([-3;4]\), on a toujours \((1+x^2)^3>0\) et \(e^x>0\). Le signe de \(f''(x)\) est donc celui de \(p(x)(x-1)\).

On sait que \(p(x)<0\) si \(x<\alpha\), \(p(\alpha)=0\), et \(p(x)>0\) si \(x>\alpha\); que \(x-1<0\) si \(x<1\) et \(x-1>0\) si \(x>1\).

  • Pour \(x<\alpha\) : \(p(x)<0\) et \(x-1<0\) \(\Rightarrow p(x)(x-1)>0\), donc \(f''(x)>0\).
  • Pour \(\alpha<x<1\) : \(p(x)>0\), \(x-1<0\) \(\Rightarrow f''(x)<0\).
  • Pour \(x>1\) : \(p(x)>0\), \(x-1>0\) \(\Rightarrow f''(x)>0\).

Donc :

  • \(f\) est convexe sur \([-3;\alpha[\) et sur \(]1;4]\),
  • \(f\) est concave sur \(]\alpha;1[\).

Le signe de \(f''\) change en \(x=\alpha\) et en \(x=1\), donc \(\mathcal{C}_f\) possède deux points d’inflexion (aux abscisses \(\alpha\) et \(1\)).

Tous les chapitres Terminale spé