Définition (Taux de variation).
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et soient
\(a\) et \(x\) deux réels distincts de \(I\). On appelle
taux de variation de \(f\) entre \(a\) et \(x\) le nombre
\[
\tau_{a,x}(f)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
\]
C’est le coefficient directeur de la droite sécante au graphe de \(f\)
passant par les points \((a,f(a))\) et \((x,f(x))\).
Définition (Nombre dérivé en un point).
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(a\in I\).
On dit que \(f\) est dérivable en \(a\) si la limite
\[
\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\quad\text{ou}\quad
\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}
\]
existe et est un nombre réel. Dans ce cas, on note
\[
f'(a)
=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}
\]
et on l’appelle le nombre dérivé de \(f\) en \(a\).
Remarque.
Le quotient \(\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) est le taux de variation de \(f\) entre \(a\) et \(x\).
Le nombre dérivé \(f'(a)\) est la limite de ces taux de variation lorsque \(x\) se rapproche de \(a\).
Propriété (Tangente).
Si \(f\) est dérivable en \(a\), la courbe représentative de \(f\)
admet au point \(A(a,f(a))\) une tangente \(T\) de coefficient directeur \(f'(a)\).
Une équation de cette tangente est
\[
y=f'(a)(x-a)+f(a).
\]
Exemple.
On considère \(f(x)=x^2+1\) et \(a=1\).
Pour \(x\neq1\),
\[
\frac{f(x)-f(1)}{x-1}
=\frac{x^2+1-(1^2+1)}{x-1}
=\frac{x^2-1}{x-1}
=x+1.
\]
Quand \(x\to1\), on obtient \(\displaystyle f'(1)=\lim_{x\to1}(x+1)=2.\)
L’équation de la tangente en \(1\) est donc
\[
y=2(x-1)+f(1)=2(x-1)+2=2x.
\]
Courbe de \(y=x^2+1\) (en bleu) et tangente \(y=2x\) en \(A(1,2)\) (en rouge).
2. Fonction dérivée et règles de dérivation
Définition (Fonction dérivée).
On dit que \(f\) est dérivable sur un intervalle \(I\)
si \(f\) est dérivable en tout point de \(I\).
La fonction qui, à tout \(x\in I\), associe le nombre dérivé \(f'(x)\)
est appelée la fonction dérivée de \(f\) sur \(I\).
Propriété (Règles de dérivation usuelles).
Soient \(u\) et \(v\) des fonctions dérivables sur un intervalle et \(k\in\mathbb{R}\).
\((u+v)' = u'+v'\)
\((ku)' = ku'\)
\((uv)' = u'v+uv'\)
\(\displaystyle\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\) si \(v\neq0\)
\((u\circ v)'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)\) (dérivée d’une composée).
Exemple.
On considère \(f(x)=(x^2+1)e^x\).
\[
f'(x)=(2x)e^x+(x^2+1)e^x=e^x(2x+x^2+1).
\]
3. Dérivée et sens de variation
Propriété (Lien entre dérivée et variations).
Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\).
Si \(f'(x)\ge0\) pour tout \(x\in I\), alors \(f\) est
croissante sur \(I\).
Si \(f'(x)\le0\) pour tout \(x\in I\), alors \(f\) est
décroissante sur \(I\).
Définition (Extremums locaux).
Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\) et \(a\in I\).
\(f\) admet un maximum local en \(a\) si
\(f(x)\le f(a)\) pour \(x\) suffisamment proche de \(a\).
\(f\) admet un minimum local en \(a\) si
\(f(x)\ge f(a)\) pour \(x\) suffisamment proche de \(a\).
Propriété (Signe de la dérivée et extremums).
On suppose que \(f\) est dérivable au voisinage d’un réel \(a\).
Si \(f'(a)=0\) et que \(f'\) change de signe de \(+\) à \(-\) en \(a\),
alors \(f\) admet un maximum local en \(a\).
Si \(f'(a)=0\) et que \(f'\) change de signe de \(-\) à \(+\) en \(a\),
alors \(f\) admet un minimum local en \(a\).
Remarque.
La condition \(f'(a)=0\) n’est pas suffisante pour garantir un extremum.
Par exemple, pour \(f(x)=x^3\), on a \(f'(0)=0\) mais la fonction est croissante
sur tout \(\mathbb{R}\).
Exemple (Étude de variations).
On considère \(f(x)=x^3-3x+2\).
\(f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)\).
\(f'(x)=0\) si et seulement si \(x=-1\) ou \(x=1\).
Signe de \(f'(x)\) :
sur \(]-\infty,-1[\), \(f'(x)>0\) ;
sur \(-1,1\), \(f'(x)<0\) ;
sur \(]1,+\infty[\), \(f'(x)>0\).
Conclusion : \(f\) croît, puis décroît, puis croît à nouveau ;
elle admet un maximum local en \(-1\) et un minimum local en \(1\).
4. Convexité, dérivée seconde et tangentes
Définition (Convexité / concavité).
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).
\(f\) est convexe sur \(I\) si, pour tous \(x,y\in I\) et tout \(t\in[0,1]\),
\[
f(tx+(1-t)y)\le t f(x)+(1-t)f(y).
\]
\(f\) est concave sur \(I\) si l’inégalité est inversée.
À gauche : courbe concave ; à droite : courbe convexe.
Propriété (Critère avec la dérivée seconde).
On suppose que \(f\) est deux fois dérivable sur un intervalle \(I\).
Si \(f''(x)\ge0\) pour tout \(x\in I\), alors \(f\) est convexe sur \(I\).
Si \(f''(x)\le0\) pour tout \(x\in I\), alors \(f\) est concave sur \(I\).
Propriété (Convexité et tangentes).
On suppose que \(f\) est dérivable sur un intervalle \(I\).
Si \(f\) est convexe sur \(I\), alors pour tout \(a\in I\) et tout \(x\in I\),
\[
f(x)\ge f(a)+f'(a)(x-a).
\]
La courbe est au-dessus de ses tangentes.
Si \(f\) est concave sur \(I\), la courbe est en dessous de ses tangentes.
Définition (Point d’inflexion).
Un point \(a\) est un point d’inflexion de la courbe de \(f\)
si la convexité de \(f\) change en \(a\) (de convexe à concave ou inversement).
Remarque.
Si \(f\) est deux fois dérivable, un candidat naturel pour un point d’inflexion
est une valeur \(a\) telle que \(f''(a)=0\), mais il faut vérifier que
\(f''\) change de signe au voisinage de \(a\).
Exemple.
On considère \(g(x)=x^3-3x\).
\(g'(x)=3x^2-3\), donc \(g''(x)=6x\).
\(g''(x)=0\) si et seulement si \(x=0\).
Pour \(x<0\), \(g''(x)<0\) : la courbe est concave.
Pour \(x>0\), \(g''(x)>0\) : la courbe est convexe.
5. Exemple global : continuité, dérivabilité, variations, convexité
Exemple complet.
On considère la fonction polynomiale \(f(x)=x^3-3x^2+2\).
1) Domaine, continuité et dérivabilité.
\(f\) est un polynôme, donc elle est définie sur tout \(\mathbb{R}\).
Tout polynôme est continu et dérivable sur \(\mathbb{R}\).
2) Dérivée et variations.
\[
f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2).
\]
On obtient \(f(0)=2\) et \(f(2)=-2\), d’où un maximum local en \(0\) (valeur \(2\))
et un minimum local en \(2\) (valeur \(-2\)).
Courbe de \(y=x^3-3x^2+2\) (bleu) et tangente \(y=-3x+3\) en \(I(1,0)\).
Tableau de signes de \(f'(x)\) et tableau de variations de \(f\).
3) Dérivée seconde, convexité et point d’inflexion.
\[
f''(x)=6x-6=6(x-1).
\]
On a \(f''(x)=0\) pour \(x=1\). Le signe de \(f''\) montre que la courbe est
concave pour \(x<1\) et convexe pour \(x>1\), donc \(I(1,0)\) est un
point d’inflexion. La tangente en \(1\) a pour équation \(y=-3x+3\).
6. Continuité et dérivabilité
Définition (Continuité en un point).
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(a\in I\).
On dit que \(f\) est continue en \(a\) si
\[
\lim_{x\to a}f(x)=f(a).
\]
Propriété.
Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors \(f\) est continue en \(a\).
La dérivabilité est donc une propriété plus forte que la continuité.
Remarque.
La réciproque est fausse : une fonction peut être continue en un point
sans y être dérivable. Par exemple \(u(x)=|x|\) est continue en \(0\) mais
n’y est pas dérivable (la pente passe brutalement de \(-1\) à \(+1\)).
Exemple.
On considère
\[
h(x)=
\begin{cases}
x^2 &\text{si } x\le1,\\
2x-1 &\text{si } x>1.
\end{cases}
\]
On vérifie que \(h\) est continue et dérivable en \(x=1\) car les limites
et les dérivées à gauche et à droite coïncident.
À retenir
Le nombre dérivé \(f'(a)\) mesure la pente de la tangente à la courbe
de \(f\) au point \(x=a\).
La fonction dérivée \(f'\) permet de déterminer les variations de \(f\)
et de localiser les extremums.
La dérivée seconde \(f''\) renseigne sur la convexité de la fonction
et sur les points d’inflexion.
Dérivable \(\Rightarrow\) continue, mais la réciproque est fausse.
