Quiz HARD — Nombres complexes (géométrique)
Affixes • modules • arguments • rotations • alignement • similitudes — niveau 19–20/20
Q2. Soit \(z=3-4i\). Calculer \(|z|\).
Non vérifié
Indice
\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\).
Correction
\(|z|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5\).
Q3. Exprimer la distance entre les points d’affixes \(z_1\) et \(z_2\).
Non vérifié
Indice
Distance = module d’une différence.
Correction
La distance entre deux points est le module de la différence de leurs affixes.
Q4. Quel est le lieu des points \(M\) tels que \(|z-(1+i)|=2\) ?
Non vérifié
Indice
Traduire avec une distance.
Correction
C’est le cercle de centre \((1;1)\) et de rayon 2.
Q5. Donner un argument principal de \(z=-i\).
Non vérifié
Indice
Imaginaire pur négatif.
Correction
L’axe imaginaire négatif correspond à l’argument \(-\frac{\pi}{2}\).
Q6. Soit \(z=2e^{i\pi/4}\). Donner \(|z|\) et un argument de \(z\).
Non vérifié
Indice
Lire directement la forme exponentielle.
Correction
On lit \(|z|=2\) et un argument est \(\frac{\pi}{4}\).
Q7. Vrai ou faux : \(\arg(z_1+z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)\).
Non vérifié
Indice
Aucune formule sur l’argument d’une somme.
Correction
Il n’existe pas de formule générale pour l’argument d’une somme.
Q8. La transformation \(z' = e^{i\pi/3}z\) est :
Non vérifié
Indice
Comparer avec \(z'=e^{i\theta}z\).
Correction
C’est une rotation de centre O et d’angle \(\frac{\pi}{3}\).
Q9. Quel est l’effet de la transformation \(z' = iz\) ?
Non vérifié
Indice
Écrire \(i=e^{i\pi/2}\).
Correction
Multiplier par \(i\) correspond à une rotation d’angle \(\frac{\pi}{2}\).
Q10. Comparer \(|z|\) et \(|z'|\) si \(z'=e^{i\theta}z\).
Non vérifié
Indice
Le module de \(e^{i\theta}\) vaut 1.
Correction
La rotation conserve les distances, donc les modules sont égaux.
Q11. Condition d’alignement des points \(A,B,C\) (affixes \(z_A,z_B,z_C\)) ?
Non vérifié
Indice
Regarder un quotient.
Correction
Les points sont alignés si \(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}\).
Q12. Condition d’orthogonalité de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ?
Non vérifié
Indice
Quotient imaginaire pur.
Correction
Ils sont orthogonaux si \(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in i\mathbb{R}\).
Q13. La transformation \(z' = 2e^{i\pi/6}z\) est une :
Non vérifié
Indice
Forme \(ke^{i\theta}z\).
Correction
C’est une similitude directe de rapport 2 et d’angle \(\frac{\pi}{6}\).
Q14. Quel est le rapport de la similitude \(z' = 3e^{i\theta}z\) ?
Non vérifié
Indice
Regarder le module du coefficient.
Correction
Le rapport est le module du coefficient multiplicatif : 3.
Q15. Quel est le lieu défini par \(|z-z_A|=|z-z_B|\) ?
Non vérifié
Indice
Égalité de distances.
Correction
C’est la médiatrice du segment \([AB]\).
Q16. Quel est le lieu défini par \(|z-z_A|=k|z-z_B|\) avec \(k\neq1\) ?
Non vérifié
Indice
Nom classique.
Correction
C’est un cercle d’Apollonius.
Q17. Vrai ou faux : \(|z_1-z_2|=|z_1|-|z_2|\).
Non vérifié
Indice
Inégalité triangulaire.
Correction
Cette égalité est fausse en général.
Q18. Le module d’un nombre complexe est toujours :
Non vérifié
Indice
Valeur absolue.
Correction
Un module est toujours un réel positif ou nul.
Q19. Le nombre d’arguments d’un complexe non nul est :
Non vérifié
Indice
Modulo \(2\pi\).
Correction
Les arguments sont définis modulo \(2\pi\).
Q20. Si \(z\) est réel strictement négatif, un argument principal est :
Non vérifié
Indice
Axe réel négatif.
Correction
L’axe réel négatif correspond à l’argument \(\pi\).
Q21. Multiplier un complexe par un réel négatif correspond à :
Non vérifié
Indice
Comparer avec \(-1=e^{i\pi}\).
Correction
Multiplier par un réel négatif correspond à une rotation d’angle \(\pi\) (et éventuellement une homothétie).
Clavier