Cours — Nombres Complexes (Géométrique) (Tle expertes)
Cette page propose un cours de mathématiques en Terminale Maths expertes sur Nombres Complexes (Géométrique). Tu y retrouves les notions essentielles, les méthodes à connaître et des exemples pour travailler forme algébrique, forme trigonométrique, module et argument, applications géométriques.
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Cours — Nombres complexes (point de vue géométrique)
Affixe • module • argument • interprétation géométrique • rotations • méthodes Bac (Maths Expertes)
1) Plan complexe et affixe
On identifie le plan complexe au plan muni d’un repère orthonormé \((O;\vec{i},\vec{j})\).
\[
z = a+ib \;\longleftrightarrow\; M(a;b)
\]
- L’affixe d’un point \(M\) est le complexe \(z_M\).
- L’axe des abscisses correspond aux réels, l’axe des ordonnées aux imaginaires purs.
2) Affixe d’un vecteur
Soient \(A\) et \(B\) deux points d’affixes \(z_A\) et \(z_B\).
\[
z_{\overrightarrow{AB}} = z_B - z_A
\]
Cette écriture permet de traduire géométriquement les calculs algébriques.
3) Module d’un complexe
\[
|z| = \sqrt{a^2+b^2}
\]
- \(|z|\) représente la distance \(OM\).
- \(|z_1-z_2|\) est la distance entre les points d’affixes \(z_1\) et \(z_2\).
⚠️ Attention : en général,
\[
|z_1-z_2| \neq |z_1|-|z_2|
\]
4) Argument d’un complexe
Soit \(z\neq0\). On appelle argument de \(z\) tout réel \(\theta\) tel que :
\[
z = |z|(\cos\theta+i\sin\theta)
\]
- Les arguments sont définis modulo \(2\pi\).
- L’argument principal est choisi dans \((-\pi;\pi]\).
Exemples :
- réel positif : argument \(0\)
- imaginaire pur positif : \(\frac{\pi}{2}\)
- réel négatif : \(\pi\)
5) Multiplication et transformations géométriques
Soit \(\theta\in\mathbb{R}\). Multiplier par \(e^{i\theta}\) correspond à :
\[
z' = z\,e^{i\theta}
\]
- une rotation de centre \(O\) et d’angle \(\theta\),
- sans changement de module.
Plus généralement, si \(z' = k e^{i\theta} z\) avec \(k>0\), la transformation est une similitude directe.
6) Alignement et orthogonalité
Alignement des points \(A,B,C\) :
\[
\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}
\]
Orthogonalité des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) :
\[
\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in i\mathbb{R}
\]
✔️ Méthode centrale au Bac pour éviter les coordonnées.
✔️ Chapitre fondamental pour les rotations, similitudes et raisonnements géométriques en Maths Expertes.
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