Exercices corrigés — Nombres Complexes (Géométrique) (Tle expertes)

1. \(\boxed{A(2;-1)}\) et \(\boxed{B(-1;3)}\).

2. \[z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=(-1+3i)-(2-i)=\boxed{-3+4i}.\]

3. \[z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}=\dfrac{1+2i}{2}=\boxed{\dfrac12+i}.\]

4. \(z_{A'}=\overline{z_A}\), donc \(\boxed{z_{A'}=2+i}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(\boxed{a=-2+i,\ b=1+5i,\ c=4+i}\).

2. \[AB=|3+4i|=5,\qquad BC=|3-4i|=5,\qquad AC=|6|=6.\]

3. Comme \(AB=BC=5\), \(\boxed{ABC\text{ est isocèle en }B}\).

4. \(z_I=1+i\). Alors \(IA=IC=3\) et \(IB=4\). Ainsi \(I\) n'est pas le centre du cercle circonscrit.

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \[z\bar z=(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2=|z|^2.\] Donc \(\boxed{|z|^2=z\bar z}\).

2. \[|zw|^2=zw\,\overline{zw}=(z\bar z)(w\bar w)=|z|^2|w|^2.\] Les modules étant positifs, \(\boxed{|zw|=|z||w|}\).

3. Par application répétée, \(\boxed{|z^n|=|z|^n}\).

4. \(|1-2i|=\sqrt5\), donc \(\left|(1-2i)^8\right|=(\sqrt5)^8=\boxed{625}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \[|u|=1,\qquad |v|=1.\] Donc \(\boxed{u,v\in\mathbb U}\).

2. \(|uv|=|u||v|=1\), donc \(\boxed{uv\in\mathbb U}\).

3. Comme \(u\bar u=|u|^2=1\), \(\boxed{u^{-1}=\bar u}\).

4. \(u\bar u=v\bar v=1\), donc \(\boxed{u\bar u+v\bar v=2}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(|z|=2\) et \(\boxed{\arg(z)\equiv\dfrac{2\pi}{3}\ [2\pi]}\).

2. \(|w|=\sqrt2\) et \(\boxed{\arg(w)\equiv-\dfrac{\pi}{4}\ [2\pi]}\).

3. \(\arg(zw)\equiv\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}=\boxed{\dfrac{5\pi}{12}}\ [2\pi]\).

4. \(\arg(z/w)\equiv\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}=\boxed{\dfrac{11\pi}{12}}\ [2\pi]\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(\boxed{z_1=2\left(\cos\dfrac\pi6+i\sin\dfrac\pi6\right)}\).

2. \(\boxed{z_2=2\sqrt2\left(\cos\dfrac{3\pi}{4}+i\sin\dfrac{3\pi}{4}\right)}\).

3. \(\boxed{z_3=3\left(\cos\left(-\dfrac\pi2\right)+i\sin\left(-\dfrac\pi2\right)\right)}\).

4. \(\boxed{z_1z_2=4\sqrt2\left(\cos\dfrac{11\pi}{12}+i\sin\dfrac{11\pi}{12}\right)}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(\boxed{z_1z_2=6e^{i\pi/6}}\).

2. \(\boxed{\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac23e^{i\pi/2}}\).

3. \(\boxed{\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac23i}\).

4. \(\boxed{z_1^6=64}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. En ajoutant \(e^{i\theta}\) et \(e^{-i\theta}\), les parties imaginaires s'annulent : \(\boxed{\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2}\).

2. \(\boxed{\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2}}\).

3. Après développement et regroupement, \(\boxed{\cos^3\theta=\dfrac{3\cos\theta+\cos3\theta}{4}}\).

4. De même, \(\boxed{\sin^3\theta=\dfrac{3\sin\theta-\sin3\theta}{4}}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(\boxed{z=2e^{i\pi/6}}\).

2. \(z^6=2^6e^{i\pi}=\boxed{-64}\).

3. \(z^{12}=(-64)^2=\boxed{4096}\).

4. \(z^n\) est réel si \(n\pi/6\equiv0\ [\pi]\), soit \(\boxed{n\equiv0\ [6]}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. Le produit vaut \((\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)+i(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)\).

2. \(\boxed{\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}\).

3. \(\boxed{\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}\).

4. \(\boxed{\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}\) et \(\boxed{\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(\boxed{\dfrac{b-a}{c-a}=-1}\).

2. Le quotient est réel, donc \(\boxed{A,B,C\text{ sont alignés}}\).

3. \(AB=AC=2\sqrt2\).

4. \(\boxed{A\text{ est le milieu de }[BC]}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(\boxed{\dfrac{c-a}{b-a}=-i}\).

2. Un argument de \(-i\) vaut \(-\pi/2\), donc \(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}\).

3. Le module vaut \(1\), donc \(AC=AB\).

4. \(\boxed{ABC\text{ est rectangle isocèle en }A}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(\boxed{\dfrac{c-a}{b-a}=\dfrac{1+i\sqrt3}{2}}\).

2. Son module vaut \(\boxed{1}\), donc \(AC=AB\).

3. Un argument vaut \(\boxed{\pi/3}\).

4. \(\boxed{ABC\text{ est équilatéral}}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(\boxed{\omega=3+3i}\).

2. Les quatre modules valent \(\boxed{2\sqrt2}\).

3. Les quatre points appartiennent au cercle de centre \(\Omega(3;3)\) et de rayon \(\boxed{2\sqrt2}\).

4. Les côtés valent \(4\) et deux côtés consécutifs sont perpendiculaires. Donc \(\boxed{ABCD\text{ est un carré}}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. La condition signifie \(MA=MB\) : on cherche la médiatrice de \([AB]\).

2. \((x+2)^2+(y-1)^2=(x-4)^2+(y-1)^2\).

3. On obtient \(\boxed{x=1}\).

4. Le lieu est la droite \(\boxed{x=1}\), médiatrice de \([AB]\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. La condition est \(\boxed{MA=2MB}\).

2. On obtient \(3x^2-10x+3y^2+3=0\).

3. \(\boxed{\left(x-\dfrac53\right)^2+y^2=\dfrac{16}{9}}\).

4. Le lieu est le cercle de centre \(\boxed{(5/3;0)}\) et de rayon \(\boxed{4/3}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. L'argument du quotient traduit l'angle entre les directions de \(AM\) et \(BM\).

2. La condition équivaut à \(\boxed{AM\perp BM}\).

3. Le lieu est le cercle de diamètre \([AB]\), privé de \(A,B\).

4. Son équation est \(\boxed{x^2+y^2=1}\), avec \(M\neq A,B\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(\boxed{\dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C}=i\sqrt3}\).

2. L'argument vaut \(\pi/2\), donc \(CA\perp CB\). Ainsi \(\boxed{ABC\text{ est rectangle en }C}\).

3. Les quatre modules \(|z_X-1|\) valent \(2\). Le cercle a donc pour centre l'affixe \(\boxed{1}\) et pour rayon \(\boxed{2}\).

4. \(\boxed{D\text{ est le symétrique de }C\text{ par rapport à l'axe réel}}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(|z'-a|=|i||z-a|=|z-a|\), donc \(\boxed{AM'=AM}\).

2. \(\arg((z'-a)/(z-a))=\arg(i)=\boxed{\pi/2}\ [2\pi]\).

3. \(z_B-a=2+2i\), donc \(i(z_B-a)=-2+2i\), puis \(\boxed{z_{B'}=-1+i}\).

4. Il s'agit de la \(\boxed{\text{rotation de centre }A\text{ et d'angle }\pi/2}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. En prenant les modules, \[ \dfrac{AC}{AB}=\left|e^{i\pi/3}\right|=1, \] donc \(\boxed{AC=AB}\).

2. En prenant les arguments, \[ \arg\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)\equiv\dfrac{\pi}{3}\pmod{2\pi}. \] Ainsi l'angle orienté de \(\overrightarrow{AB}\) vers \(\overrightarrow{AC}\) vaut \(\boxed{\pi/3}\).

3. On a \[ z_B-z_A=(4+i)-(1-i)=3+2i. \] Donc \[ z_C-z_A=\left(\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}\right)(3+2i) =\left(\dfrac32-\sqrt3\right) +i\left(1+\dfrac{3\sqrt3}{2}\right). \] En ajoutant \(z_A=1-i\), \[ \boxed{ z_C=\dfrac52-\sqrt3+i\,\dfrac{3\sqrt3}{2} }. \]

4. La relation initiale donne déjà \(AC=AB\) et \(\widehat{BAC}=60^\circ\). Par la loi des cosinus, \[ BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos60^\circ=AB^2. \] Donc \(BC=AB=AC\), et \(\boxed{ABC\text{ est équilatéral}}\).

Conclusion : le quotient d'affixes permet ici de construire le troisième sommet d'un triangle équilatéral.

1. \(r^3=1\), donc \(\boxed{r=1}\).

2. \(\boxed{\theta\equiv0,\ 2\pi/3,\ 4\pi/3\ [2\pi]}\).

3. \(\boxed{1,\ -\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2},\ -\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}{2}}\).

4. Les images forment \(\boxed{\text{un triangle équilatéral}}\) inscrit dans le cercle unité.

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(\boxed{1,\ e^{i\pi/2},\ e^{i\pi},\ e^{i3\pi/2}}\).

2. \(\boxed{1,\ i,\ -1,\ -i}\).

3. Les images sont les sommets d'un \(\boxed{\text{carré}}\).

4. \(\boxed{1+i-1-i=0}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(|z|^n=1\), donc \(\boxed{|z|=1}\).

2. Si \(z=e^{i\theta}\), alors \(e^{in\theta}=1\), donc \(\boxed{n\theta\equiv0\ [2\pi]}\).

3. \(\boxed{\mathbb U_n=\left\{e^{2ik\pi/n}:0\le k\le n-1\right\}}\).

4. Si deux termes sont égaux, \(2(k-\ell)\pi/n\in2\pi\mathbb Z\). Avec \(0\le k,\ell\le n-1\), on obtient \(k=\ell\). Les \(n\) racines sont distinctes.

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(\boxed{\mathbb U_n=\{1,\omega,\ldots,\omega^{n-1}\}}\).

2. \[S=\dfrac{1-\omega^n}{1-\omega}=\boxed{0}.\]

3. Pour un polygone régulier centré en \(O\), les affixes peuvent s'écrire \(Re^{i\alpha}\omega^k\). Leur somme vaut donc \(Re^{i\alpha}S=\boxed{0}\).

4. La moyenne des affixes des sommets vaut \(0\). Géométriquement, cela traduit le fait que la configuration est équilibrée autour de \(O\), centre du polygone régulier.

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. Les affixes sont \(\boxed{1,\ \dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2},\ -\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2},\ -1,\ -\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}{2},\ \dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}{2}}\).

2. \(A_0A_1=|\omega-1|=\boxed{1}\).

3. \(A_kA_{k+1}=|\omega^k||\omega-1|=\boxed{1}\).

4. Les six sommets sont sur le cercle unité et régulièrement espacés : \(\boxed{\text{hexagone régulier}}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(1+\zeta+\zeta^2+\zeta^3+\zeta^4=\boxed{0}\).

2. Après division par \(\zeta^2\), on obtient \(\boxed{x^2+x-1=0}\).

3. Comme \(x>0\), \(\boxed{x=\dfrac{\sqrt5-1}{2}}\).

4. \(\boxed{\cos\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{\sqrt5-1}{4}}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(\boxed{|z|=2}\).

2. \(\boxed{\theta=\dfrac\pi6+\dfrac{2k\pi}{3},\ k=0,1,2}\).

3. \(\boxed{\sqrt3+i,\ -\sqrt3+i,\ -2i}\).

4. Les images forment \(\boxed{\text{un triangle équilatéral}}\) sur le cercle de rayon \(2\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(\boxed{L=1}\).

2. \(w_{n+1}=i(z_n-1)=\boxed{iw_n}\).

3. \(\boxed{z_n=1+i^n}\).

4. Les affixes sont périodiquement \(2,1+i,0,1-i\). Les points sont les sommets d'un carré sur le cercle de centre \(1\) et de rayon \(1\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(\operatorname{Re}(z\bar w)=|z||w|\cos\theta\le|z||w|\).

2. \(|z+w|^2\le(|z|+|w|)^2\), donc \(\boxed{|z+w|\le|z|+|w|}\).

3. Si \(z=0\) ou \(w=0\), l'égalité est immédiate. Supposons maintenant \(z,w\neq0\). L'égalité exige \(\operatorname{Re}(z\bar w)=|z||w|\), donc \(\cos\theta=1\). Ainsi \(z\) et \(w\) ont le même argument modulo \(2\pi\), c'est-à-dire la même direction et le même sens. Réciproquement, dans ce cas, l'égalité est vérifiée.

4. Pour \(z=x\in[-1,1]\), \(|x-1|+|x+1|=2\). Le minimum vaut \(\boxed{2}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(\Delta=-36\), donc \(\boxed{z=2+3i\text{ ou }z=2-3i}\).

2. \(\dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C}=\boxed{i}\). Son module vaut \(1\) et son argument \(\pi/2\), donc \(\boxed{ABC\text{ est rectangle isocèle en }C}\).

3. \(|z_A-2|=|z_B-2|=|z_C-2|=|z_D-2|=3\). Le cercle a pour centre \(\Omega\) d'affixe \(2\) et rayon \(\boxed{3}\).

4. Les arguments des rayons \(\Omega C,\Omega A,\Omega D,\Omega B\) sont \(0,\pi/2,\pi,-\pi/2\). Les quatre sommets sont donc régulièrement espacés : \(\boxed{CADB\text{ est un carré}}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.