Exercices — Nombres complexes (géométrique) — HARD 19–20/20
Lieux • rotations • similitudes • démonstrations type Bac • rédaction propre (Maths Expertes)
Lieux
Rotation
Alignement
Orthogonalité
Similitudes
Apollonius
Exercice 1 — Lieu géométrique : médiatrice et cercle
Dans le plan complexe, on considère \(A\) d’affixe \(z_A=2-i\) et \(B\) d’affixe \(z_B=-1+2i\).
#lieu
#distance
#lecture géométrique
1) Déterminer le lieu des points \(M\) d’affixe \(z\) vérifiant :
\[
|z-z_A| = |z-z_B|.
\]
2) Déterminer le lieu des points \(M\) vérifiant :
\[
|z-(2-i)| = 3.
\]
Correction détaillée Afficher / Masquer
1) \(|z-z_A| = |z-z_B|\) signifie \(MA=MB\).
Donc le lieu est la médiatrice du segment \([AB]\).
Rédaction Bac :
« La condition \( |z-z_A|=|z-z_B| \) traduit l’égalité des distances \(MA=MB\).
Le lieu est donc la médiatrice de \([AB]\). »
2) \(|z-(2-i)|=3 \iff MA=3\).
Donc le lieu est le cercle de centre \(A(2; -1)\) et de rayon \(3\).
Piège : vouloir absolument une équation cartésienne alors qu’ici la lecture “distance” suffit.
Exercice 2 — Rotation (centre O) : calcul + interprétation
Soit \(\theta=\dfrac{\pi}{3}\). On définit la transformation \(R\) par :
\[
z' = e^{i\theta}z.
\]
1) Interpréter géométriquement \(R\).
2) Pour \(z=1-\sqrt{3}\,i\), calculer \(z'\) puis donner \(|z'|\) et un argument de \(z'\).
2) Pour \(z=1-\sqrt{3}\,i\), calculer \(z'\) puis donner \(|z'|\) et un argument de \(z'\).
Correction détaillée Afficher / Masquer
1) \(z'=e^{i\theta}z\) est une rotation de centre \(O\) et d’angle \(\theta=\dfrac{\pi}{3}\).
Elle conserve les distances à \(O\) : \(|z'|=|z|\).
2) \(e^{i\pi/3}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\).
\[
z'=\left(\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)\left(1-\sqrt3\,i\right).
\]
Développement :
\[
z'=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i+i\frac{\sqrt3}{2}-i^2\frac{3}{2}
=\frac12+\frac{3}{2}=2.
\]
Donc \(z'=2\), \(|z'|=2\) et un argument est \(0\) (réel positif).
Piège classique : \( -i^2=+1\).
Exercice 3 — Alignement sans coordonnées : quotient réel
On considère \(A\) d’affixe \(z_A=1+i\), \(B\) d’affixe \(z_B=4+3i\) et \(C\) d’affixe \(z_C=7+5i\).
Montrer que \(A,B,C\) sont alignés.
Correction détaillée Afficher / Masquer
On étudie :
\[
\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}.
\]
\[
z_C-z_A=(7+5i)-(1+i)=6+4i,\quad
z_B-z_A=(4+3i)-(1+i)=3+2i.
\]
\[
\frac{6+4i}{3+2i}
=\frac{(6+4i)(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)}
=\frac{18-12i+12i-8i^2}{13}
=\frac{18+8}{13}=2\in\mathbb{R}.
\]
Le quotient est réel, donc \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires :
\(A,B,C\) sont alignés.
Rédaction Bac :
« Le quotient \(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\) est réel, donc \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires,
donc \(A,B,C\) sont alignés. »
Exercice 4 — Orthogonalité : savoir TESTER (piège Bac)
On considère \(A\) d’affixe \(z_A=2-i\), \(B\) d’affixe \(z_B=5+i\) et \(C\) d’affixe \(z_C=1+3i\).
1) Tester si \((AB)\perp(AC)\).
2) Si ce n’est pas le cas, expliquer clairement pourquoi (rédaction Bac).
2) Si ce n’est pas le cas, expliquer clairement pourquoi (rédaction Bac).
Correction détaillée Afficher / Masquer
On peut utiliser un test rapide en coordonnées :
\(A(2;-1)\), \(B(5;1)\), \(C(1;3)\).
\[
\overrightarrow{AB}=(3;2),\quad \overrightarrow{AC}=(-1;4).
\]
Produit scalaire :
\[
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=3(-1)+2\cdot 4=-3+8=5\neq 0.
\]
Donc \((AB)\) n’est pas perpendiculaire à \((AC)\).
Piège : “imaginaire pur” avec un mauvais quotient ou une mauvaise orientation des vecteurs
fait perdre du temps. Ici, un test scalaire est immédiat.
Réflexe 20/20 : on teste puis on conclut (et pas l’inverse).
Exercice 5 — Similitude directe : nature, rapport, angle, centre
On définit \(f\) par :
\[
z' = (2e^{i\pi/6})z + (1-i).
\]
1) Identifier la nature de \(f\).
2) Donner son rapport et son angle.
3) Déterminer l’affixe du point fixe \(\Omega\) (centre).
2) Donner son rapport et son angle.
3) Déterminer l’affixe du point fixe \(\Omega\) (centre).
Correction détaillée Afficher / Masquer
\(z' = az+b\) avec \(a\neq 0\) est une similitude directe.
Ici \(a=2e^{i\pi/6}\).
\[
k=|a|=2,\qquad \theta=\arg(a)=\frac{\pi}{6}.
\]
Le centre \(\Omega\) (point fixe) vérifie \(z_\Omega = a z_\Omega + b\), donc :
\[
(1-a)z_\Omega=b
\quad\Rightarrow\quad
z_\Omega=\frac{b}{1-a}.
\]
Ici :
\[
z_\Omega=\frac{1-i}{1-2e^{i\pi/6}}.
\]
Méthode Bac : sauf demande explicite “forme algébrique”, on peut laisser \(z_\Omega\) sous forme fractionnaire.
Exercice 6 — Lieu : cercle d’Apollonius (HARD)
Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts d’affixes \(z_A\) et \(z_B\).
On fixe un réel \(k>0\), \(k\neq 1\).
Déterminer la nature du lieu des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que :
\[
|z-z_A| = k\,|z-z_B|.
\]
(Conclusion géométrique + justification attendues.)
Correction détaillée Afficher / Masquer
La condition s’écrit \(MA = k\,MB\).
Pour \(k\neq 1\), le lieu des points dont le rapport des distances à \(A\) et \(B\) est constant
est un cercle : le cercle d’Apollonius.
Justification Bac : on peut établir l’existence et l’unicité du cercle par une écriture cartésienne
(en posant \(z=x+iy\)) ou via homothéties. Le cas \(k=1\) redonne la médiatrice de \([AB]\).
Conclusion attendue : cercle si \(k\neq 1\), médiatrice si \(k=1\).
Si tu veux une version “encore plus concours” : équation cartésienne explicite du cercle d’Apollonius
+ calcul du centre/rayon en fonction de \(z_A,z_B,k\) (forme algébrique), dis : “upgrade exos”.