Fiche — Nombres complexes (géométrique)
Formules essentielles • méthodes Bac • pièges classiques — Maths Expertes
1) Formules à connaître (par cœur)
\[
z = a+ib \quad\leftrightarrow\quad M(a;b)
\]
\[
|z|=\sqrt{a^2+b^2}
\]
\[
z = |z|(\cos\theta+i\sin\theta)
\]
\[
z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A
\]
\[
|z_1z_2|=|z_1||z_2|
\]
\[
\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)\pmod{2\pi}
\]
2) Interprétations géométriques clés
- \(|z|\) = distance \(OM\).
- \(|z_1-z_2|\) = distance entre deux points.
- \(\arg(z)\) = angle orienté \((\vec{i},\overrightarrow{OM})\).
- Multiplier par \(e^{i\theta}\) = rotation de centre \(O\), angle \(\theta\).
3) Méthodes Bac (à automatiser)
Alignement des points \(A,B,C\)
\[
\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}
\]
Orthogonalité de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\)
\[
\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in i\mathbb{R}
\]
Rotation de centre \(O\), angle \(\theta\)
\[
z' = e^{i\theta}z
\]
Distance entre deux points
\[
AB = |z_B-z_A|
\]
4) Pièges classiques (très fréquents)
❌ \(\arg(z_1+z_2)\) n’a pas de formule simple.
❌ \(|z_1-z_2|\neq |z_1|-|z_2|\).
❌ Oublier que les arguments sont définis modulo \(2\pi\).
❌ Confondre angle géométrique et argument orienté.
5) Check-list Bac
- Ai-je utilisé une interprétation géométrique claire ?
- Ai-je précisé “réel pur” ou “imaginaire pur” ?
- Ai-je indiqué le modulo \(2\pi\) pour les arguments ?
- Ai-je évité les coordonnées inutiles ?