Quiz — Modèles Discrets (Tle compl.)
Ce quiz de mathématiques en Terminale Maths complémentaires permet de vérifier rapidement tes acquis sur Modèles Discrets. Les questions ciblent notamment notions essentielles du chapitre, méthodes attendues en Terminale Maths complémentaires, exemples guidés, exercices d’application pour repérer les points à revoir.
Cours
Cours de mathématiques en Terminale Maths complémentaires : Modèles Discrets
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Exercices corrigés de mathématiques en Terminale Maths complémentaires : Modèles Discrets
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Quiz de maths Terminale Maths complémentaires : Modèles Discrets
Terminale Maths complémentaires
Chapitres
Quiz HARD — Suites : modèles discrets (20 questions)
Récurrence • modélisation • variation • limite (approche intuitive) • rédaction Bac • pièges.
Q1. Une quantité vaut \(u_0=120\). À chaque étape, elle augmente de \(5\%\) puis on retire \(9\) unités. Écrire \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\).
Non vérifié
Indice
Augmenter de \(5\%\) = multiplier par \(1{,}05\), puis retirer \(9\).
Correction
On applique d’abord le pourcentage puis la variation fixe : \(u_{n+1}=1{,}05u_n-9\).
Q2. Même situation que Q1, mais on retire d’abord \(9\) unités puis on augmente de \(5\%\). Écrire \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\).
Non vérifié
Indice
Ici le \(-9\) est à l’intérieur de la parenthèse.
Correction
On retire puis on applique \(\times 1{,}05\) : \(u_{n+1}=1{,}05(u_n-9)=1{,}05u_n-9{,}45\).
Q3. On a \(u_0=800\) et « chaque mois on perd \(3\%\) puis on ajoute \(40\) ». Écrire la récurrence.
Non vérifié
Indice
Perdre \(3\%\) = multiplier par \(0{,}97\).
Correction
Après la perte : \(0{,}97u_n\), puis \(+40\) : \(u_{n+1}=0{,}97u_n+40\).
Q4. On a \(u_0=50\) et \(u_{n+1}=0{,}92u_n+6\). Calculer \(u_1\) et \(u_2\). Donner \(u_2\) exact.
Non vérifié
Indice
Appliquer deux fois la relation.
Correction
\(u_1=0{,}92\times 50+6=52\). Puis \(u_2=0{,}92\times 52+6=53{,}84\).
Q5. Soit \(u_{n+1}=0{,}92u_n+6\). Exprimer \(u_{n+1}-u_n\) en fonction de \(u_n\).
Non vérifié
Indice
Soustraire \(u_n\) des deux côtés.
Correction
\(u_{n+1}-u_n=(0{,}92u_n+6)-u_n=-0{,}08u_n+6\).
Q6. Avec \(u_{n+1}-u_n=-0{,}08u_n+6\), pour quelles valeurs de \(u_n\) a-t-on \(u_{n+1}\ge u_n\) ?
Non vérifié
Indice
Résoudre \(-0{,}08u_n+6\ge 0\).
Correction
\(-0{,}08u_n+6\ge 0\iff 6\ge 0{,}08u_n\iff u_n\le 75\).
Q7. On définit \(u_{n+1}=0{,}88u_n+15\). Si \(u_n\ge 125\), que peut-on dire du signe de \(u_{n+1}-u_n\) ?
Non vérifié
Indice
Calcule \(u_{n+1}-u_n=-0{,}12u_n+15\).
Correction
\(u_{n+1}-u_n=0{,}88u_n+15-u_n=-0{,}12u_n+15\). Si \(u_n\ge125\), alors \(-0{,}12u_n\le-15\) donc somme \(\le 0\).
Q8. Dans Q7, donner la valeur d’équilibre \(L\) (solution de \(L=0{,}88L+15\)).
Non vérifié
Indice
Isoler \(L\).
Correction
\(L-0{,}88L=15\Rightarrow 0{,}12L=15\Rightarrow L=125\).
Q9. Si une suite définie par \(u_{n+1}=au_n+b\) admet une limite \(\ell\), quelle équation vérifie \(\ell\) ?
Non vérifié
Indice
Passer à la limite dans la relation.
Correction
En passant à la limite (intuition) : \(\ell=a\ell+b\). C’est la valeur d’équilibre (point fixe).
Q10. On a \(u_{n+1}=0{,}8u_n+4\). Déterminer \(\ell\) si \(u_n\to\ell\).
Non vérifié
Indice
Résoudre \(\ell=0{,}8\ell+4\).
Correction
\(\ell-0{,}8\ell=4\Rightarrow 0{,}2\ell=4\Rightarrow \ell=20\).
Q11. On pose \(v_n=u_n-20\) avec \(u_{n+1}=0{,}8u_n+4\). Donner la relation vérifiée par \(v_n\).
Non vérifié
Indice
Remplacer \(u_n=v_n+20\) dans la récurrence.
Correction
\(v_{n+1}=u_{n+1}-20=(0{,}8u_n+4)-20=0{,}8u_n-16=0{,}8(v_n+20)-16=0{,}8v_n\).
Q12. Si \(v_{n+1}=0{,}8v_n\) et \(v_0=-10\), donner \(v_n\) puis \(u_n\).
Non vérifié
Indice
Suite géométrique : \(v_n=v_0q^n\).
Correction
\(v_n=-10\cdot 0{,}8^n\). Donc \(u_n=v_n+20=20-10\cdot 0{,}8^n\).
Q13. Une population vaut \(u_0=1500\). Chaque année, elle augmente de \(2\%\) puis 30 individus quittent la zone. Donner la récurrence.
Non vérifié
Indice
Pourcentage puis variation fixe.
Correction
Augmenter de \(2\%\) : \(1{,}02u_n\), puis \(-30\) : \(u_{n+1}=1{,}02u_n-30\).
Q14. Dans Q13, si une limite \(\ell\) existe, calculer \(\ell\) (valeur d’équilibre).
Non vérifié
Indice
Résoudre \(\ell=1{,}02\ell-30\).
Correction
\(\ell=1{,}02\ell-30\Rightarrow -0{,}02\ell=-30\Rightarrow \ell=1500\).
Q15. On définit \(u_{n+1}=0{,}97u_n+40\) avec \(u_0=800\). La valeur d’équilibre \(L\) est-elle supérieure ou inférieure à 800 ?
Non vérifié
Indice
Calcule \(L\) : \(L=0{,}97L+40\).
Correction
\(0{,}03L=40\Rightarrow L=\frac{40}{0{,}03}=1333{,}\overline{3}\), donc \(L>800\) (elle est supérieure).
Q16. Dans Q15, donner \(L\) exact sous forme fractionnaire.
Non vérifié
Indice
\(40/0{,}03=40/(3/100)=40\cdot 100/3\).
Correction
\(L=\dfrac{40}{0{,}03}=\dfrac{40}{3/100}=\dfrac{4000}{3}\).
Q17. On a \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=1{,}2u_n-1\). Calculer la valeur d’équilibre \(L\).
Non vérifié
Indice
Résoudre \(L=1{,}2L-1\).
Correction
\(L-1{,}2L=-1\Rightarrow -0{,}2L=-1\Rightarrow L=5\).
Q18. Toujours Q17. Poser \(v_n=u_n-5\). Donner la relation sur \(v_n\).
Non vérifié
Indice
Même technique de décalage.
Correction
\(v_{n+1}=u_{n+1}-5=(1{,}2u_n-1)-5=1{,}2u_n-6=1{,}2(v_n+5)-6=1{,}2v_n\).
Q19. Avec \(v_{n+1}=1{,}2v_n\) et \(v_0=u_0-5=-3\), déterminer la limite de \(u_n\).
Non vérifié
Indice
\(v_n=-3\cdot 1{,}2^n\) diverge vers \(-\infty\).
Correction
\(v_n=-3\cdot 1{,}2^n\to-\infty\). Donc \(u_n=v_n+5\to-\infty\). Piège : raison \(>1\) mais signe négatif.
Q20. Compléter la phrase de conclusion (réponse attendue en mots) : « La suite \((u_n)\) modélise … ; elle tend vers … ; donc … » (cas \(u_{n+1}=0{,}88u_n+15\)).
Non vérifié
Indice
Valeur d’équilibre \(125\). Interpréter : stabilisation.
Correction
Rédaction type : « Le volume évolue par étapes ; il se stabilise vers \(125\) ; donc à long terme la grandeur se rapproche de \(125\) (unités). »
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