Suites Modeles Discrets
TERMINALE-MATHS-COMPLEMENTAIRES • MATHS — Learna
Quiz HARD — Suites : modèles discrets (20 questions)
Récurrence • modélisation • variation • limite (approche intuitive) • rédaction Bac • pièges.
Q2. Une quantité vaut \(u_0=120\). À chaque étape, elle augmente de \(5\%\) puis on retire \(9\) unités. Écrire \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\).
Non vérifié
Indice
Augmenter de \(5\%\) = multiplier par \(1{,}05\), puis retirer \(9\).
Correction
On applique d’abord le pourcentage puis la variation fixe : \(u_{n+1}=1{,}05u_n-9\).
Q3. Même situation que Q1, mais on retire d’abord \(9\) unités puis on augmente de \(5\%\). Écrire \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\).
Non vérifié
Indice
Ici le \(-9\) est à l’intérieur de la parenthèse.
Correction
On retire puis on applique \(\times 1{,}05\) : \(u_{n+1}=1{,}05(u_n-9)=1{,}05u_n-9{,}45\).
Q4. On a \(u_0=800\) et « chaque mois on perd \(3\%\) puis on ajoute \(40\) ». Écrire la récurrence.
Non vérifié
Indice
Perdre \(3\%\) = multiplier par \(0{,}97\).
Correction
Après la perte : \(0{,}97u_n\), puis \(+40\) : \(u_{n+1}=0{,}97u_n+40\).
Q5. On a \(u_0=50\) et \(u_{n+1}=0{,}92u_n+6\). Calculer \(u_1\) et \(u_2\). Donner \(u_2\) exact.
Non vérifié
Indice
Appliquer deux fois la relation.
Correction
\(u_1=0{,}92\times 50+6=52\). Puis \(u_2=0{,}92\times 52+6=53{,}84\).
Q6. Soit \(u_{n+1}=0{,}92u_n+6\). Exprimer \(u_{n+1}-u_n\) en fonction de \(u_n\).
Non vérifié
Indice
Soustraire \(u_n\) des deux côtés.
Correction
\(u_{n+1}-u_n=(0{,}92u_n+6)-u_n=-0{,}08u_n+6\).
Q7. Avec \(u_{n+1}-u_n=-0{,}08u_n+6\), pour quelles valeurs de \(u_n\) a-t-on \(u_{n+1}\ge u_n\) ?
Non vérifié
Indice
Résoudre \(-0{,}08u_n+6\ge 0\).
Correction
\(-0{,}08u_n+6\ge 0\iff 6\ge 0{,}08u_n\iff u_n\le 75\).
Q8. On définit \(u_{n+1}=0{,}88u_n+15\). Si \(u_n\ge 125\), que peut-on dire du signe de \(u_{n+1}-u_n\) ?
Non vérifié
Indice
Calcule \(u_{n+1}-u_n=-0{,}12u_n+15\).
Correction
\(u_{n+1}-u_n=0{,}88u_n+15-u_n=-0{,}12u_n+15\). Si \(u_n\ge125\), alors \(-0{,}12u_n\le-15\) donc somme \(\le 0\).
Q9. Dans Q7, donner la valeur d’équilibre \(L\) (solution de \(L=0{,}88L+15\)).
Non vérifié
Indice
Isoler \(L\).
Correction
\(L-0{,}88L=15\Rightarrow 0{,}12L=15\Rightarrow L=125\).
Q10. Si une suite définie par \(u_{n+1}=au_n+b\) admet une limite \(\ell\), quelle équation vérifie \(\ell\) ?
Non vérifié
Indice
Passer à la limite dans la relation.
Correction
En passant à la limite (intuition) : \(\ell=a\ell+b\). C’est la valeur d’équilibre (point fixe).
Q11. On a \(u_{n+1}=0{,}8u_n+4\). Déterminer \(\ell\) si \(u_n\to\ell\).
Non vérifié
Indice
Résoudre \(\ell=0{,}8\ell+4\).
Correction
\(\ell-0{,}8\ell=4\Rightarrow 0{,}2\ell=4\Rightarrow \ell=20\).
Q12. On pose \(v_n=u_n-20\) avec \(u_{n+1}=0{,}8u_n+4\). Donner la relation vérifiée par \(v_n\).
Non vérifié
Indice
Remplacer \(u_n=v_n+20\) dans la récurrence.
Correction
\(v_{n+1}=u_{n+1}-20=(0{,}8u_n+4)-20=0{,}8u_n-16=0{,}8(v_n+20)-16=0{,}8v_n\).
Q13. Si \(v_{n+1}=0{,}8v_n\) et \(v_0=-10\), donner \(v_n\) puis \(u_n\).
Non vérifié
Indice
Suite géométrique : \(v_n=v_0q^n\).
Correction
\(v_n=-10\cdot 0{,}8^n\). Donc \(u_n=v_n+20=20-10\cdot 0{,}8^n\).
Q14. Une population vaut \(u_0=1500\). Chaque année, elle augmente de \(2\%\) puis 30 individus quittent la zone. Donner la récurrence.
Non vérifié
Indice
Pourcentage puis variation fixe.
Correction
Augmenter de \(2\%\) : \(1{,}02u_n\), puis \(-30\) : \(u_{n+1}=1{,}02u_n-30\).
Q15. Dans Q13, si une limite \(\ell\) existe, calculer \(\ell\) (valeur d’équilibre).
Non vérifié
Indice
Résoudre \(\ell=1{,}02\ell-30\).
Correction
\(\ell=1{,}02\ell-30\Rightarrow -0{,}02\ell=-30\Rightarrow \ell=1500\).
Q16. On définit \(u_{n+1}=0{,}97u_n+40\) avec \(u_0=800\). La valeur d’équilibre \(L\) est-elle supérieure ou inférieure à 800 ?
Non vérifié
Indice
Calcule \(L\) : \(L=0{,}97L+40\).
Correction
\(0{,}03L=40\Rightarrow L=\frac{40}{0{,}03}=1333{,}\overline{3}\), donc \(L>800\) (elle est supérieure).
Q17. Dans Q15, donner \(L\) exact sous forme fractionnaire.
Non vérifié
Indice
\(40/0{,}03=40/(3/100)=40\cdot 100/3\).
Correction
\(L=\dfrac{40}{0{,}03}=\dfrac{40}{3/100}=\dfrac{4000}{3}\).
Q18. On a \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=1{,}2u_n-1\). Calculer la valeur d’équilibre \(L\).
Non vérifié
Indice
Résoudre \(L=1{,}2L-1\).
Correction
\(L-1{,}2L=-1\Rightarrow -0{,}2L=-1\Rightarrow L=5\).
Q19. Toujours Q17. Poser \(v_n=u_n-5\). Donner la relation sur \(v_n\).
Non vérifié
Indice
Même technique de décalage.
Correction
\(v_{n+1}=u_{n+1}-5=(1{,}2u_n-1)-5=1{,}2u_n-6=1{,}2(v_n+5)-6=1{,}2v_n\).
Q20. Avec \(v_{n+1}=1{,}2v_n\) et \(v_0=u_0-5=-3\), déterminer la limite de \(u_n\).
Non vérifié
Indice
\(v_n=-3\cdot 1{,}2^n\) diverge vers \(-\infty\).
Correction
\(v_n=-3\cdot 1{,}2^n\to-\infty\). Donc \(u_n=v_n+5\to-\infty\). Piège : raison \(>1\) mais signe négatif.
Q21. Compléter la phrase de conclusion (réponse attendue en mots) : « La suite \((u_n)\) modélise … ; elle tend vers … ; donc … » (cas \(u_{n+1}=0{,}88u_n+15\)).
Non vérifié
Indice
Valeur d’équilibre \(125\). Interpréter : stabilisation.
Correction
Rédaction type : « Le volume évolue par étapes ; il se stabilise vers \(125\) ; donc à long terme la grandeur se rapproche de \(125\) (unités). »
Clavier