Quiz HARD — Suites : modèles discrets (20 questions)
Récurrence • modélisation • variation • limite (approche intuitive) • rédaction Bac • pièges.
Exercice 1. Une quantité vaut \(u_0=120\). À chaque étape, elle augmente de \(5\%\) puis on retire \(9\) unités. Écrire \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\).
Non vérifié
Indice
Augmenter de \(5\%\) = multiplier par \(1{,}05\), puis retirer \(9\).
Exercice 2. Même situation que Q1, mais on retire d’abord \(9\) unités puis on augmente de \(5\%\). Écrire \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\).
Non vérifié
Indice
Ici le \(-9\) est à l’intérieur de la parenthèse.
Exercice 3. On a \(u_0=800\) et « chaque mois on perd \(3\%\) puis on ajoute \(40\) ». Écrire la récurrence.
Non vérifié
Indice
Perdre \(3\%\) = multiplier par \(0{,}97\).
Exercice 4. On a \(u_0=50\) et \(u_{n+1}=0{,}92u_n+6\). Calculer \(u_1\) et \(u_2\). Donner \(u_2\) exact.
Non vérifié
Indice
Appliquer deux fois la relation.
Exercice 5. Soit \(u_{n+1}=0{,}92u_n+6\). Exprimer \(u_{n+1}-u_n\) en fonction de \(u_n\).
Non vérifié
Indice
Soustraire \(u_n\) des deux côtés.
Exercice 6. Avec \(u_{n+1}-u_n=-0{,}08u_n+6\), pour quelles valeurs de \(u_n\) a-t-on \(u_{n+1}\ge u_n\) ?
Non vérifié
Indice
Résoudre \(-0{,}08u_n+6\ge 0\).
Exercice 7. On définit \(u_{n+1}=0{,}88u_n+15\). Si \(u_n\ge 125\), que peut-on dire du signe de \(u_{n+1}-u_n\) ?
Non vérifié
Indice
Calcule \(u_{n+1}-u_n=-0{,}12u_n+15\).
Exercice 8. Dans Q7, donner la valeur d’équilibre \(L\) (solution de \(L=0{,}88L+15\)).
Non vérifié
Indice
Isoler \(L\).
Exercice 9. Si une suite définie par \(u_{n+1}=au_n+b\) admet une limite \(\ell\), quelle équation vérifie \(\ell\) ?
Non vérifié
Indice
Passer à la limite dans la relation.
Exercice 10. On a \(u_{n+1}=0{,}8u_n+4\). Déterminer \(\ell\) si \(u_n\to\ell\).
Non vérifié
Indice
Résoudre \(\ell=0{,}8\ell+4\).
Exercice 11. On pose \(v_n=u_n-20\) avec \(u_{n+1}=0{,}8u_n+4\). Donner la relation vérifiée par \(v_n\).
Non vérifié
Indice
Remplacer \(u_n=v_n+20\) dans la récurrence.
Exercice 12. Si \(v_{n+1}=0{,}8v_n\) et \(v_0=-10\), donner \(v_n\) puis \(u_n\).
Non vérifié
Indice
Suite géométrique : \(v_n=v_0q^n\).
Exercice 13. Une population vaut \(u_0=1500\). Chaque année, elle augmente de \(2\%\) puis 30 individus quittent la zone. Donner la récurrence.
Non vérifié
Indice
Pourcentage puis variation fixe.
Exercice 14. Dans Q13, si une limite \(\ell\) existe, calculer \(\ell\) (valeur d’équilibre).
Non vérifié
Indice
Résoudre \(\ell=1{,}02\ell-30\).
Exercice 15. On définit \(u_{n+1}=0{,}97u_n+40\) avec \(u_0=800\). La valeur d’équilibre \(L\) est-elle supérieure ou inférieure à 800 ?
Non vérifié
Indice
Calcule \(L\) : \(L=0{,}97L+40\).
Exercice 16. Dans Q15, donner \(L\) exact sous forme fractionnaire.
Non vérifié
Indice
\(40/0{,}03=40/(3/100)=40\cdot 100/3\).
Exercice 17. On a \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=1{,}2u_n-1\). Calculer la valeur d’équilibre \(L\).
Non vérifié
Indice
Résoudre \(L=1{,}2L-1\).
Exercice 18. Toujours Q17. Poser \(v_n=u_n-5\). Donner la relation sur \(v_n\).
Non vérifié
Indice
Même technique de décalage.
Exercice 19. Avec \(v_{n+1}=1{,}2v_n\) et \(v_0=u_0-5=-3\), déterminer la limite de \(u_n\).
Non vérifié
Indice
\(v_n=-3\cdot 1{,}2^n\) diverge vers \(-\infty\).
Exercice 20. Compléter la phrase de conclusion (réponse attendue en mots) : « La suite \((u_n)\) modélise … ; elle tend vers … ; donc … » (cas \(u_{n+1}=0{,}88u_n+15\)).
Non vérifié
Indice
Valeur d’équilibre \(125\). Interpréter : stabilisation.