Exercices corrigés — Modèles Discrets (Tle compl.)
Une plateforme compte \(u_0=12\,000\) abonnés au 1er janvier. Chaque mois :
- elle gagne 8 % d’abonnés,
- puis perd 350 abonnés (désabonnements).
On note \(u_n\) le nombre d’abonnés après \(n\) mois.
- Donner la relation de récurrence définissant \((u_n)\).
- Calculer \(u_1\) puis \(u_2\).
- Interpréter le rôle des deux termes « \(8\%\) » et « \(-350\) ».
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1) Hausse de \(8\%\) puis perte de 350 :
\[ u_{n+1} = 1{,}08\,u_n - 350 \]2)
\[ u_1 = 1{,}08\times 12000 - 350 = 12960 - 350 = 12610 \] \[ u_2 = 1{,}08\times 12610 - 350 = 13618{,}8 - 350 = 13268{,}8 \]Donc \(u_2 \approx 13269\) abonnés (si on arrondit à l’unité).
3) Interprétation :
- \(1{,}08u_n\) : croissance proportionnelle (gain relatif).
- \(-350\) : perte fixe (gain absolu négatif).
On définit la suite \((u_n)\) par :
- Calculer \(u_1\), \(u_2\).
- Exprimer \(u_{n+1}-u_n\) en fonction de \(u_n\).
- Montrer que si \(u_n \le 75\) alors \(u_{n+1} \ge u_n\).
- Conjecturer la valeur vers laquelle \(u_n\) semble tendre.
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1)
\[ u_1 = 0{,}92\cdot 50 + 6 = 46 + 6 = 52 \] \[ u_2 = 0{,}92\cdot 52 + 6 = 47{,}84 + 6 = 53{,}84 \]2)
\[ u_{n+1}-u_n = (0{,}92u_n+6)-u_n = -0{,}08u_n + 6 \]3) Si \(u_n \le 75\), alors \(-0{,}08u_n \ge -0{,}08\times 75=-6\). Donc
\[ -0{,}08u_n + 6 \ge -6 + 6 = 0 \]donc \(u_{n+1}-u_n \ge 0\) et \((u_n)\) est croissante tant que \(u_n \le 75\).
4) Valeur d’équilibre :
\[ \ell = 0{,}92\ell + 6 \Rightarrow 0{,}08\ell = 6 \Rightarrow \boxed{\ell = 75} \]On définit \((u_n)\) par \(u_0=10\) et \(u_{n+1}=0{,}8u_n+4\).
- Montrer que \(u_n\) semble se stabiliser vers une valeur \(L\) (à déterminer).
- On pose \(v_n = u_n - L\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique.
- En déduire une expression de \(u_n\) puis la limite de \((u_n)\).
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1) Valeur d’équilibre \(L\) :
\[ L = 0{,}8L + 4 \Rightarrow 0{,}2L = 4 \Rightarrow L = 20 \]2) Posons \(v_n=u_n-20\). Alors :
\[ v_{n+1} = u_{n+1}-20 = (0{,}8u_n+4)-20 = 0{,}8u_n -16 \] \[ u_n = v_n + 20 \Rightarrow v_{n+1} = 0{,}8(v_n+20)-16 = 0{,}8v_n \]Donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}8\) et \(v_0=10-20=-10\).
\[ v_n = -10\cdot 0{,}8^n \]3)
\[ u_n = v_n + 20 = 20 - 10\cdot 0{,}8^n \]Comme \(0{,}8^n \to 0\), on obtient \(u_n\to 20\).
Une cuve contient \(u_0=180\) litres d’un produit. Chaque jour, on perd \(12\%\) du volume (évaporation) puis on ajoute \(15\) litres.
On note \(u_n\) le volume après \(n\) jours.
- Écrire la relation de récurrence.
- Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
- Le volume passera-t-il sous \(120\) L ? Proposer une méthode et conclure.
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1) Perte de \(12\%\) puis +15 :
\[ u_{n+1} = 0{,}88u_n + 15 \]2)
\[ u_1 = 0{,}88\cdot 180 + 15 = 173{,}4 \] \[ u_2 = 0{,}88\cdot 173{,}4 + 15 = 167{,}592 \]3) Si une limite \(\ell\) existe, elle vérifie :
\[ \ell = 0{,}88\ell + 15 \Rightarrow 0{,}12\ell = 15 \Rightarrow \ell = 125 \]La suite se stabilise vers \(125\) L, donc elle ne descend pas durablement sous \(120\).
On définit \((u_n)\) par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=1{,}2u_n-1\).
- Déterminer la valeur d’équilibre \(L\).
- Poser \(v_n=u_n-L\) et montrer que \((v_n)\) est géométrique.
- En déduire le comportement de \((u_n)\).
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1)
\[ L = 1{,}2L - 1 \Rightarrow -0{,}2L = -1 \Rightarrow L = 5 \]2) \(v_n=u_n-5\) :
\[ v_{n+1}=u_{n+1}-5=(1{,}2u_n-1)-5=1{,}2u_n-6 \] \[ u_n=v_n+5 \Rightarrow v_{n+1}=1{,}2(v_n+5)-6=1{,}2v_n \] \[ v_0=u_0-5=-3 \Rightarrow v_n=-3\cdot1{,}2^n \] \[ u_n=v_n+5=5-3\cdot1{,}2^n \]3) Comme \(1{,}2^n\to +\infty\), alors \(-3\cdot1{,}2^n\to -\infty\) et
\[ u_n\to -\infty \]- Suite affine : \(u_{n+1}=au_n+b\) ⇒ chercher l’équilibre \(L\) : \(L=aL+b\)
- Poser \(v_n=u_n-L\) ⇒ \(v_{n+1}=av_n\) (géométrique)
- Conclure : si \(|a|<1\), \(u_n\to L\). Si \(|a|>1\), divergence (selon le signe de \(v_0\)).