Les suites — modèles discrets

Suites définies par récurrence • modèles discrets d’évolution • sens de variation • limites (approche intuitive) • interprétation de situations concrètes (programme Maths complémentaires).

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Les suites — modèles discrets
Suites définies par récurrence • modèles discrets d’évolution • sens de variation • limites (approche intuitive)
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1) Pourquoi utiliser des suites ?

Une suite numérique permet de modéliser une grandeur observée à des instants discrets : années, mois, générations, étapes successives.

Contrairement aux fonctions (temps continu), les suites sont adaptées aux phénomènes évoluant par paliers.

📌 Exemples : population chaque année, capital bancaire après chaque mois, nombre d’utilisateurs à la fin de chaque semaine.
2) Définition d’une suite
Définition

Une suite numérique est une fonction définie sur ℕ (ou une partie de ℕ) qui, à tout entier \(n\), associe un nombre réel noté \(u_n\).

\[ u : n \longmapsto u_n \]
Deux modes de définition
  • Formule explicite : \(u_n = f(n)\)
  • Définition par récurrence : \(u_{n+1} = g(u_n)\)
3) Suites définies par récurrence
Principe

Une suite est définie par récurrence lorsque chaque terme est calculé à partir du précédent.

\[ \begin{cases} u_0 \text{ donné} \\ u_{n+1} = f(u_n) \end{cases} \]
Exemple
\[ \begin{cases} u_0 = 100 \\ u_{n+1} = 1{,}05\,u_n \end{cases} \]

Cette suite modélise une augmentation de 5 % à chaque étape.

📌 Les suites définies par récurrence sont centrales en maths complémentaires pour décrire des évolutions successives.
4) Sens de variation d’une suite
Définitions
  • La suite \((u_n)\) est croissante si \(u_{n+1} \ge u_n\).
  • Elle est décroissante si \(u_{n+1} \le u_n\).
Méthode classique
\[ u_{n+1} - u_n \quad \text{ou} \quad \frac{u_{n+1}}{u_n} \]

Le signe de cette expression permet de conclure sur le sens de variation.

⚠️ Toujours préciser à partir de quel rang la propriété est vraie.
5) Limite d’une suite (approche intuitive)
Idée

Dire que la suite \((u_n)\) a pour limite \(\ell\) signifie que les termes \(u_n\) se rapprochent de \(\ell\) quand \(n\) devient grand.

Exemples
\[ u_n = \frac{1}{n} \longrightarrow 0 \qquad u_n = 1{,}05^n \longrightarrow +\infty \]
📌 En maths complémentaires, la limite est souvent admise par intuition, graphique ou numérique.
6) Suites et modèles discrets d’évolution
Principe de modélisation
  • Choisir une grandeur \(u_n\)
  • Identifier la règle d’évolution
  • Écrire la relation de récurrence
  • Interpréter le comportement global
Exemple type Bac
\[ u_{n+1} = u_n + 20 \]

La suite modélise une augmentation linéaire et diverge vers \(+\infty\).

7) Pièges classiques (Bac)
  • Confondre suite et fonction continue
  • Oublier de préciser le rang initial
  • Conclure sur une limite sans justification
  • Interprétation absente (perte de points)
À retenir
  • Les suites modélisent des évolutions discrètes
  • La récurrence est l’outil central
  • Variation + limite = compréhension du modèle
  • Interprétation finale indispensable