Quiz HARD — Primitives & équations différentielles (20 questions)
Primitives usuelles • linéarité • pièges de domaine • exponentielle/trigo avec coefficient • équations diff. \(y'=ay+b\) • équilibre • condition initiale • stabilité.
Exercice 1. Donner une primitive de \(f(x)=3x^2-7x+4\) sur \(\mathbb{R}\).
Non vérifié
Indice
Primitive de \(x^2\) : \(x^3/3\). Ici \(3x^2\) ⇒ \(x^3\).
Exercice 2. Sur \(]0;+\infty[\), une primitive de \(f(x)=\dfrac{5}{x}+2\) est :
Non vérifié
Indice
Sur \(]0;+\infty[\), \(\int \frac{1}{x}dx=\ln x\).
Exercice 3. Une primitive de \(f(x)=4e^x-3\cos x\) sur \(\mathbb{R}\) est :
Non vérifié
Indice
Primitive de \(\cos x\) : \(\sin x\).
Exercice 4. Sur quel(s) intervalle(s) une primitive de \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) est-elle définie ?
Non vérifié
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Il faut un intervalle qui ne traverse pas 0.
Exercice 5. Une primitive de \(f(x)=2\sin x+6\) sur \(\mathbb{R}\) est :
Non vérifié
Indice
Primitive de \(\sin x\) : \(-\cos x\).
Exercice 6. Une primitive de \(e^{5x}\) est :
Non vérifié
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Quand tu dérives \(e^{5x}\), tu fais apparaître un \(5\).
Exercice 7. Une primitive de \(\cos(3x)\) est :
Non vérifié
Indice
Dérive \(\sin(3x)\) : tu obtiens \(3\cos(3x)\).
Exercice 8. Une primitive de \(\sin(4x)\) est :
Non vérifié
Indice
Primitive de \(\sin\) : \(-\cos\), puis ajuster le coefficient 4.
Exercice 9. Calculer une primitive de \(2e^{2x}-6\cos(3x)\).
Non vérifié
Indice
\(\int 2e^{2x}=e^{2x}\). Et \(\int -6\cos(3x)=-2\sin(3x)\).
Exercice 10. Si \(F(x)=x^3-2x+1\), alors \(f(x)=F'(x)\) vaut :
Non vérifié
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Dérive : \((x^3)'=3x^2\), \((-2x)'=-2\).
Exercice 11. Sur \(]0;+\infty[\), si \(F(x)=\ln x + x\), alors \(F'(x)=\) :
Non vérifié
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\((\ln x)'=1/x\) sur \(]0;+\infty[\).
Exercice 12. La solution d’équilibre de \(y'=ay+b\) (avec \(a\neq 0\)) est :
Non vérifié
Indice
Équilibre : solution constante donc \(y'=0\).
Exercice 13. Résoudre \(y' = 3y-12\) sur \(\mathbb{R}\) (solution générale).
Non vérifié
Indice
Ici \(a=3\), \(b=-12\).
Exercice 14. Résoudre \(y' = -2y+5\) (solution générale).
Non vérifié
Indice
Équilibre : \(y_e=-b/a\). Ici \(a=-2\), \(b=5\).
Exercice 15. Cas \(a=0\) : résoudre \(y'=7\) sur \(\mathbb{R}\).
Non vérifié
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Quand \(y'\) est constant, \(y\) est affine.
Exercice 16. Résoudre \(y'=4y-8\) avec \(y(0)=1\).
Non vérifié
Indice
Équilibre \(y_e=2\). Puis \(y=2+Ce^{4x}\) et utiliser \(y(0)=1\).
Exercice 17. Résoudre \(y'=-3y+6\) avec \(y(2)=0\).
Non vérifié
Indice
Équilibre \(y_e=2\). Puis \(y=2+Ce^{-3x}\) et utiliser \(y(2)=0\).
Exercice 18. Pour \(a\neq 0\), si \(y(x)=y_e+Ce^{ax}\), alors \(\lim_{x\to +\infty}y(x)=y_e\) est vrai lorsque :
Non vérifié
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Regarder \(e^{ax}\) quand \(x\to +\infty\).
Exercice 19. Pour \(y'=-y+4\), l’équilibre est \(y_e=4\). On impose \(y(0)=10\). À quel instant \(x\) a-t-on \(y(x)=5\) ?
Non vérifié
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Solution : \(y(x)=4+6e^{-x}\). Puis résoudre \(4+6e^{-x}=5\).
Exercice 20. Dans \(y'=ay+b\) avec \(a<0\), l’équilibre \(y_e\) est :
Non vérifié
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Si \(a<0\), alors \(e^{ax}\to 0\) quand \(x\to +\infty\).