Primitives et équations différentielles

Primitives usuelles • équations différentielles du type \(y' = ay + b\) • résolution, condition initiale et interprétation graphique (programme Terminale Maths complémentaires).

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Exercices premium — Primitives & équations différentielles
8 exercices (progressifs + pièges) avec corrigés détaillés : primitives usuelles, décompositions, équations différentielles \(y' = ay + b\), conditions initiales et interprétation.
Premium Corrigé Bac
Exercice 1 — Primitives usuelles (zéro erreur)
Donner une primitive sur l’intervalle indiqué.
Questions
  1. Sur \(\mathbb{R}\) : \(f(x)=3x^2-7x+4\).
  2. Sur \(]0;+\infty[\) : \(g(x)=\dfrac{5}{x}+2\).
  3. Sur \(\mathbb{R}\) : \(h(x)=4e^{x}-3\cos x\).
  4. Sur \(\mathbb{R}\) : \(p(x)=2\sin x+6\).
Indication
On utilise la table + la linéarité. Ne pas oublier le \(+C\).
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  1. \[ \int (3x^2-7x+4)\,dx = x^3-\frac{7}{2}x^2+4x+C. \]
  2. Sur \(]0;+\infty[\) : \[ \int \left(\frac{5}{x}+2\right)\,dx = 5\ln x + 2x + C. \]
  3. \[ \int (4e^{x}-3\cos x)\,dx = 4e^x - 3\sin x + C. \]
  4. \[ \int (2\sin x+6)\,dx = -2\cos x + 6x + C. \]
Exercice 2 — Le piège de \(\dfrac{1}{x}\) (intervalle obligatoire)
On veut une primitive de \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) sur un intervalle \(I\).
Questions
  1. Expliquer pourquoi on ne peut pas donner une primitive sur \(\mathbb{R}\).
  2. Donner une primitive sur \(]0;+\infty[\) puis sur \(]-\infty;0[\).
  3. Donner une primitive de \(f(x)=\dfrac{2}{x}\) sur \(]0;+\infty[\).
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  1. \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) n’est pas définie en \(0\). Or une primitive se définit sur un intervalle : on ne peut pas traverser la discontinuité en 0.
  2. Sur \(]0;+\infty[\) : une primitive est \(\ln x\).
    Sur \(]-\infty;0[\) : une primitive est \(\ln(-x)\).
    (On peut aussi écrire \(\ln|x|\) mais en précisant l’intervalle.)
  3. \[ \int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln x + C \quad \text{sur } ]0;+\infty[. \]
Exercice 3 — Réflexe : « diviser par \(a\) »
Calculer une primitive sur \(\mathbb{R}\).
Questions
  1. \(\displaystyle \int e^{5x}\,dx\)
  2. \(\displaystyle \int \cos(3x)\,dx\)
  3. \(\displaystyle \int \sin(4x)\,dx\)
  4. \(\displaystyle \int \big(2e^{2x}-6\cos(3x)\big)\,dx\)
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  1. \(\displaystyle \int e^{5x}\,dx=\frac{1}{5}e^{5x}+C\).
  2. \(\displaystyle \int \cos(3x)\,dx=\frac{1}{3}\sin(3x)+C\).
  3. \(\displaystyle \int \sin(4x)\,dx=-\frac{1}{4}\cos(4x)+C\).
  4. \[ \int (2e^{2x}-6\cos(3x))\,dx = 2\cdot\frac{1}{2}e^{2x}-6\cdot\frac{1}{3}\sin(3x)+C = e^{2x}-2\sin(3x)+C. \]
Exercice 4 — Retrouver \(f\) à partir d’une primitive (contrôle)
On te donne \(F\). Trouver \(f\) puis vérifier.
Questions
  1. Si \(F(x)=x^3-2x+1\), déterminer \(f(x)\) telle que \(F'=f\).
  2. Si \(F(x)=3e^{x}+4\sin x\), déterminer \(f(x)\).
  3. Si \(F(x)=\ln x + x\) sur \(]0;+\infty[\), déterminer \(f(x)\).
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  1. \(f(x)=F'(x)=3x^2-2\).
  2. \(f(x)=F'(x)=3e^x+4\cos x\).
  3. Sur \(]0;+\infty[\) : \(f(x)=\dfrac{1}{x}+1\).
Exercice 5 — Résoudre \(y' = ay + b\) (méthode canonique)
Résoudre sur \(\mathbb{R}\) et donner la solution générale.
Questions
  1. \(y' = 3y - 12\)
  2. \(y' = -2y + 5\)
  3. \(y' = -\dfrac{1}{2}y - 4\)
  4. \(y' = 7\) (cas \(a=0\))
Checklist Bac
(1) Identifier \(a,b\) • (2) calculer \(y_e=-\dfrac{b}{a}\) si \(a\neq 0\) • (3) écrire \(y=y_e+Ce^{ax}\).
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  1. \(a=3\), \(b=-12\). Équilibre : \(y_e=-\dfrac{-12}{3}=4\).
    \[ y(x)=4+Ce^{3x}. \]
  2. \(a=-2\), \(b=5\). Équilibre : \(y_e=-\dfrac{5}{-2}=\frac{5}{2}\).
    \[ y(x)=\frac{5}{2}+Ce^{-2x}. \]
  3. \(a=-\frac{1}{2}\), \(b=-4\). Équilibre : \(y_e=-\dfrac{-4}{-1/2}=-8\).
    \[ y(x)=-8+Ce^{-x/2}. \]
  4. Cas \(a=0\) : \(y'=7\) donc \[ y(x)=7x+C. \]
Exercice 6 — Condition initiale : solution unique
Résoudre puis déterminer la constante.
Questions
  1. \(y' = 4y - 8\) et \(y(0)=1\).
  2. \(y' = -3y + 6\) et \(y(2)=0\).
  3. \(y' = \frac{1}{2}y + 1\) et \(y(0)=4\).
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  1. Équilibre : \(y_e=-\dfrac{-8}{4}=2\). Solution : \(y(x)=2+Ce^{4x}\).
    Condition : \(1=2+C\Rightarrow C=-1\). Donc \[ y(x)=2-e^{4x}. \]
  2. Équilibre : \(y_e=-\dfrac{6}{-3}=2\). Solution : \(y(x)=2+Ce^{-3x}\).
    Condition : \(0=2+Ce^{-6}\Rightarrow C=-2e^{6}\). Donc \[ y(x)=2-2e^{6}e^{-3x}=2-2e^{6-3x}. \]
  3. \(a=\frac{1}{2}\), \(b=1\). Équilibre : \(y_e=-\dfrac{1}{1/2}=-2\).
    Solution : \(y(x)=-2+Ce^{x/2}\). Condition : \(4=-2+C\Rightarrow C=6\). Donc \[ y(x)=-2+6e^{x/2}. \]
Exercice 7 — Interprétation : stabilité et limite
Étudier le comportement quand \(x\to +\infty\).
Questions
  1. Pour \(a<0\), expliquer pourquoi toute solution de \(y'=ay+b\) tend vers \(y_e=-\dfrac{b}{a}\) quand \(x\to +\infty\).
  2. Appliquer à l’équation \(y'=-2y+6\) : calculer \(y_e\) et la limite de toute solution.
  3. Pour \(a>0\), expliquer pourquoi \(y_e\) n’est pas attractif (sauf si \(C=0\)).
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  1. Si \(a<0\), une solution s’écrit \(y(x)=y_e+Ce^{ax}\). Or \(e^{ax}\to 0\) quand \(x\to +\infty\) (car \(a<0\)). Donc \(y(x)\to y_e\).
  2. Ici \(a=-2\), \(b=6\) donc \(y_e=-\dfrac{6}{-2}=3\). Toute solution vérifie : \[ y(x)=3+Ce^{-2x}\ \Rightarrow\ \lim_{x\to +\infty}y(x)=3. \]
  3. Si \(a>0\), alors \(e^{ax}\to +\infty\) quand \(x\to +\infty\). Donc \(y(x)=y_e+Ce^{ax}\) diverge si \(C\neq 0\). Seule la solution d’équilibre (\(C=0\)) reste égale à \(y_e\).
Exercice 8 — Problème type Bac (rédaction + vérification)
On considère une fonction \(y\) solution de \(y' = -y + 4\). On impose \(y(0)=10\).
Questions
  1. Déterminer la solution \(y(x)\) sur \(\mathbb{R}\).
  2. Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}y(x)\) et interpréter.
  3. Résoudre \(y(x)=5\) puis interpréter (instant où la solution atteint 5).
  4. Vérifier par dérivation que ta fonction est bien solution.
Indication
Équilibre \(y_e=-\dfrac{b}{a}\) avec \(a=-1\), \(b=4\). Puis utiliser \(y(0)=10\).
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  1. Ici \(a=-1\), \(b=4\). Équilibre : \[ y_e=-\frac{4}{-1}=4. \] Solution générale : \[ y(x)=4+Ce^{-x}. \] Condition \(y(0)=10\) : \[ 10=4+C \Rightarrow C=6. \] Donc \[ y(x)=4+6e^{-x}. \]
  2. Comme \(e^{-x}\to 0\) quand \(x\to +\infty\), \[ \lim_{x\to +\infty}y(x)=4. \] Interprétation : \(4\) est la valeur d’équilibre (attractif car \(a=-1<0\)).
  3. Résoudre \(4+6e^{-x}=5\) : \[ 6e^{-x}=1 \Rightarrow e^{-x}=\frac{1}{6} \Rightarrow -x=\ln\left(\frac{1}{6}\right) \Rightarrow x=\ln 6. \] L’instant où la solution atteint \(5\) est \(x=\ln 6\).
  4. Vérification : \[ y'(x)=6(-e^{-x})=-6e^{-x}. \] Et \[ -y(x)+4=-(4+6e^{-x})+4=-6e^{-x}=y'(x). \] Donc \(y\) est bien solution.
🎯 Conseils niveau 19–20/20
  • Primitive : toujours terminer par « \(+C\) » et vérifier par dérivation.
  • \(\frac{1}{x}\) : préciser l’intervalle (pas de primitive sur \(\mathbb{R}\)).
  • \(y' = ay + b\) : écrire l’équilibre \(y_e=-\dfrac{b}{a}\), puis \(y=y_e+Ce^{ax}\), puis condition.
  • Interprétation : signe de \(a\) ⇒ attractif (si \(a<0\)) ou répulsif (si \(a>0\)).