Exercices corrigés — Primitives, Équations Différentielles (Tle compl.)

Cette page propose des exercices corrigés de mathématiques en Terminale Maths complémentaires sur Primitives, Équations Différentielles. Tu vas t’entraîner sur mise en équation, résolution étape par étape, vérification des solutions, problèmes rédigés avec des questions progressives et des corrections pour vérifier chaque étape.
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Exercices premium — Primitives & équations différentielles
8 exercices (progressifs + pièges) avec corrigés détaillés : primitives usuelles, décompositions, équations différentielles \(y' = ay + b\), conditions initiales et interprétation.
Premium Corrigé Bac
Exercice 1 — Primitives usuelles (zéro erreur)
Donner une primitive sur l’intervalle indiqué.
Questions
  1. Sur \(\mathbb{R}\) : \(f(x)=3x^2-7x+4\).
  2. Sur \(]0;+\infty[\) : \(g(x)=\dfrac{5}{x}+2\).
  3. Sur \(\mathbb{R}\) : \(h(x)=4e^{x}-3\cos x\).
  4. Sur \(\mathbb{R}\) : \(p(x)=2\sin x+6\).
Indication
On utilise la table + la linéarité. Ne pas oublier le \(+C\).
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  1. \[ \int (3x^2-7x+4)\,dx = x^3-\frac{7}{2}x^2+4x+C. \]
  2. Sur \(]0;+\infty[\) : \[ \int \left(\frac{5}{x}+2\right)\,dx = 5\ln x + 2x + C. \]
  3. \[ \int (4e^{x}-3\cos x)\,dx = 4e^x - 3\sin x + C. \]
  4. \[ \int (2\sin x+6)\,dx = -2\cos x + 6x + C. \]
Exercice 2 — Le piège de \(\dfrac{1}{x}\) (intervalle obligatoire)
On veut une primitive de \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) sur un intervalle \(I\).
Questions
  1. Expliquer pourquoi on ne peut pas donner une primitive sur \(\mathbb{R}\).
  2. Donner une primitive sur \(]0;+\infty[\) puis sur \(]-\infty;0[\).
  3. Donner une primitive de \(f(x)=\dfrac{2}{x}\) sur \(]0;+\infty[\).
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  1. \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) n’est pas définie en \(0\). Or une primitive se définit sur un intervalle : on ne peut pas traverser la discontinuité en 0.
  2. Sur \(]0;+\infty[\) : une primitive est \(\ln x\).
    Sur \(]-\infty;0[\) : une primitive est \(\ln(-x)\).
    (On peut aussi écrire \(\ln|x|\) mais en précisant l’intervalle.)
  3. \[ \int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln x + C \quad \text{sur } ]0;+\infty[. \]
Exercice 3 — Réflexe : « diviser par \(a\) »
Calculer une primitive sur \(\mathbb{R}\).
Questions
  1. \(\displaystyle \int e^{5x}\,dx\)
  2. \(\displaystyle \int \cos(3x)\,dx\)
  3. \(\displaystyle \int \sin(4x)\,dx\)
  4. \(\displaystyle \int \big(2e^{2x}-6\cos(3x)\big)\,dx\)
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  1. \(\displaystyle \int e^{5x}\,dx=\frac{1}{5}e^{5x}+C\).
  2. \(\displaystyle \int \cos(3x)\,dx=\frac{1}{3}\sin(3x)+C\).
  3. \(\displaystyle \int \sin(4x)\,dx=-\frac{1}{4}\cos(4x)+C\).
  4. \[ \int (2e^{2x}-6\cos(3x))\,dx = 2\cdot\frac{1}{2}e^{2x}-6\cdot\frac{1}{3}\sin(3x)+C = e^{2x}-2\sin(3x)+C. \]
Exercice 4 — Retrouver \(f\) à partir d’une primitive (contrôle)
On te donne \(F\). Trouver \(f\) puis vérifier.
Questions
  1. Si \(F(x)=x^3-2x+1\), déterminer \(f(x)\) telle que \(F'=f\).
  2. Si \(F(x)=3e^{x}+4\sin x\), déterminer \(f(x)\).
  3. Si \(F(x)=\ln x + x\) sur \(]0;+\infty[\), déterminer \(f(x)\).
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  1. \(f(x)=F'(x)=3x^2-2\).
  2. \(f(x)=F'(x)=3e^x+4\cos x\).
  3. Sur \(]0;+\infty[\) : \(f(x)=\dfrac{1}{x}+1\).
Exercice 5 — Résoudre \(y' = ay + b\) (méthode canonique)
Résoudre sur \(\mathbb{R}\) et donner la solution générale.
Questions
  1. \(y' = 3y - 12\)
  2. \(y' = -2y + 5\)
  3. \(y' = -\dfrac{1}{2}y - 4\)
  4. \(y' = 7\) (cas \(a=0\))
Checklist Bac
(1) Identifier \(a,b\) • (2) calculer \(y_e=-\dfrac{b}{a}\) si \(a\neq 0\) • (3) écrire \(y=y_e+Ce^{ax}\).
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  1. \(a=3\), \(b=-12\). Équilibre : \(y_e=-\dfrac{-12}{3}=4\).
    \[ y(x)=4+Ce^{3x}. \]
  2. \(a=-2\), \(b=5\). Équilibre : \(y_e=-\dfrac{5}{-2}=\frac{5}{2}\).
    \[ y(x)=\frac{5}{2}+Ce^{-2x}. \]
  3. \(a=-\frac{1}{2}\), \(b=-4\). Équilibre : \(y_e=-\dfrac{-4}{-1/2}=-8\).
    \[ y(x)=-8+Ce^{-x/2}. \]
  4. Cas \(a=0\) : \(y'=7\) donc \[ y(x)=7x+C. \]
Exercice 6 — Condition initiale : solution unique
Résoudre puis déterminer la constante.
Questions
  1. \(y' = 4y - 8\) et \(y(0)=1\).
  2. \(y' = -3y + 6\) et \(y(2)=0\).
  3. \(y' = \frac{1}{2}y + 1\) et \(y(0)=4\).
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  1. Équilibre : \(y_e=-\dfrac{-8}{4}=2\). Solution : \(y(x)=2+Ce^{4x}\).
    Condition : \(1=2+C\Rightarrow C=-1\). Donc \[ y(x)=2-e^{4x}. \]
  2. Équilibre : \(y_e=-\dfrac{6}{-3}=2\). Solution : \(y(x)=2+Ce^{-3x}\).
    Condition : \(0=2+Ce^{-6}\Rightarrow C=-2e^{6}\). Donc \[ y(x)=2-2e^{6}e^{-3x}=2-2e^{6-3x}. \]
  3. \(a=\frac{1}{2}\), \(b=1\). Équilibre : \(y_e=-\dfrac{1}{1/2}=-2\).
    Solution : \(y(x)=-2+Ce^{x/2}\). Condition : \(4=-2+C\Rightarrow C=6\). Donc \[ y(x)=-2+6e^{x/2}. \]
Exercice 7 — Interprétation : stabilité et limite
Étudier le comportement quand \(x\to +\infty\).
Questions
  1. Pour \(a<0\), expliquer pourquoi toute solution de \(y'=ay+b\) tend vers \(y_e=-\dfrac{b}{a}\) quand \(x\to +\infty\).
  2. Appliquer à l’équation \(y'=-2y+6\) : calculer \(y_e\) et la limite de toute solution.
  3. Pour \(a>0\), expliquer pourquoi \(y_e\) n’est pas attractif (sauf si \(C=0\)).
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  1. Si \(a<0\), une solution s’écrit \(y(x)=y_e+Ce^{ax}\). Or \(e^{ax}\to 0\) quand \(x\to +\infty\) (car \(a<0\)). Donc \(y(x)\to y_e\).
  2. Ici \(a=-2\), \(b=6\) donc \(y_e=-\dfrac{6}{-2}=3\). Toute solution vérifie : \[ y(x)=3+Ce^{-2x}\ \Rightarrow\ \lim_{x\to +\infty}y(x)=3. \]
  3. Si \(a>0\), alors \(e^{ax}\to +\infty\) quand \(x\to +\infty\). Donc \(y(x)=y_e+Ce^{ax}\) diverge si \(C\neq 0\). Seule la solution d’équilibre (\(C=0\)) reste égale à \(y_e\).
Exercice 8 — Problème type Bac (rédaction + vérification)
On considère une fonction \(y\) solution de \(y' = -y + 4\). On impose \(y(0)=10\).
Questions
  1. Déterminer la solution \(y(x)\) sur \(\mathbb{R}\).
  2. Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}y(x)\) et interpréter.
  3. Résoudre \(y(x)=5\) puis interpréter (instant où la solution atteint 5).
  4. Vérifier par dérivation que ta fonction est bien solution.
Indication
Équilibre \(y_e=-\dfrac{b}{a}\) avec \(a=-1\), \(b=4\). Puis utiliser \(y(0)=10\).
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  1. Ici \(a=-1\), \(b=4\). Équilibre : \[ y_e=-\frac{4}{-1}=4. \] Solution générale : \[ y(x)=4+Ce^{-x}. \] Condition \(y(0)=10\) : \[ 10=4+C \Rightarrow C=6. \] Donc \[ y(x)=4+6e^{-x}. \]
  2. Comme \(e^{-x}\to 0\) quand \(x\to +\infty\), \[ \lim_{x\to +\infty}y(x)=4. \] Interprétation : \(4\) est la valeur d’équilibre (attractif car \(a=-1<0\)).
  3. Résoudre \(4+6e^{-x}=5\) : \[ 6e^{-x}=1 \Rightarrow e^{-x}=\frac{1}{6} \Rightarrow -x=\ln\left(\frac{1}{6}\right) \Rightarrow x=\ln 6. \] L’instant où la solution atteint \(5\) est \(x=\ln 6\).
  4. Vérification : \[ y'(x)=6(-e^{-x})=-6e^{-x}. \] Et \[ -y(x)+4=-(4+6e^{-x})+4=-6e^{-x}=y'(x). \] Donc \(y\) est bien solution.
🎯 Conseils niveau 19–20/20
  • Primitive : toujours terminer par « \(+C\) » et vérifier par dérivation.
  • \(\frac{1}{x}\) : préciser l’intervalle (pas de primitive sur \(\mathbb{R}\)).
  • \(y' = ay + b\) : écrire l’équilibre \(y_e=-\dfrac{b}{a}\), puis \(y=y_e+Ce^{ax}\), puis condition.
  • Interprétation : signe de \(a\) ⇒ attractif (si \(a<0\)) ou répulsif (si \(a>0\)).
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