Fiche ultra-synthèse — Primitives & équations différentielles
Formules indispensables • méthodes Bac • pièges • check-lists rapides sur \( \int \) et sur \(y' = ay + b\).
1) Définition flash
Primitive
\(F\) est une primitive de \(f\) sur un intervalle \(I\) si :
\[
F'(x)=f(x)\quad (\forall x\in I).
\]
Si \(F\) est une primitive, alors toutes les primitives sont :
\[
F(x)+C,\quad C\in\mathbb{R}.
\]
Piège
Ne jamais oublier le \(+C\). Et pour \(\ln|x|\), on travaille sur un intervalle ne traversant pas 0 :
\(]-\infty;0[\) ou \(]0;+\infty[\).
2) Propriétés utiles (à savoir par cœur)
Linéarité
\[
\int \big(f(x)+g(x)\big)\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx.
\]
\[
\int k f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx \quad (k\in\mathbb{R}).
\]
Réflexe Bac
- Réécrire comme somme de termes connus.
- Si tu vois \(ax\), pense à « diviser par \(a\) ».
- Vérifier en dérivant (10 secondes).
3) Table des primitives usuelles
| \(f(x)\) | Une primitive \(F(x)\) | Condition / Remarque |
|---|---|---|
| \(k\) | \(kx\) | \((kx)'=k\) |
| \(x^n\) (\(n\neq -1\)) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | Valable sur tout intervalle où \(x^n\) est définie |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(I\subset]0;+\infty[\) ou \(I\subset]-\infty;0[\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \((e^x)'=e^x\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x\) | \((\sin x)'=\cos x\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) | \((- \cos x)'=\sin x\) |
Extensions “avec \(a\)”
Pour \(a\neq 0\) :
\[
\int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax}+C,\qquad
\int \cos(ax)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax)+C,
\]
\[
\int \sin(ax)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax)+C.
\]
4) Checklist — calcul de primitive (Bac)
Plan en 4 étapes
- Décomposer \(f\) (sommes, constantes).
- Reconnaître le modèle (puissance, \(1/x\), \(e^x\), trig).
- Appliquer la table (penser au \(ax\)).
- Ajouter \(+C\) et vérifier en dérivant.
Micro-exemples (réflexes)
\[
\int (3x^2-5)\,dx = x^3-5x+C.
\]
\[
\int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln|x|+C.
\]
\[
\int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x}+C.
\]
5) Équations différentielles : \(y' = ay + b\)
Formule à connaître
Si \(a\neq 0\), les solutions de \(y' = ay + b\) sont :
\[
y(x)= -\frac{b}{a} + Ce^{ax}.
\]
Si \(a=0\), alors \(y'=b\) et :
\[
y(x)=bx+C.
\]
Solution d’équilibre
Si \(a\neq 0\), la solution constante (équilibre) est :
\[
y_e=-\frac{b}{a}.
\]
C’est la valeur vers laquelle (ou depuis laquelle) les solutions évoluent selon le signe de \(a\).
Condition initiale
Avec \(y(x_0)=y_0\) :
\[
y_0=-\frac{b}{a}+Ce^{ax_0}
\Rightarrow
C=\left(y_0+\frac{b}{a}\right)e^{-ax_0}.
\]
3 pièges Bac
- Oublier le cas \(a=0\).
- Erreur de signe dans \(\displaystyle y_e=-\frac{b}{a}\).
- Oublier d’utiliser la condition initiale (donc laisser \(C\)).
6) Interprétation express (stabilité)
Si \(a<0\) : attractif
\(e^{ax}\to 0\) quand \(x\to +\infty\).
Donc \(y(x)\to y_e\). La droite \(y=y_e\) est stable.
Donc \(y(x)\to y_e\). La droite \(y=y_e\) est stable.
Si \(a>0\) : répulsif
\(e^{ax}\) grandit quand \(x\to +\infty\).
Si \(C\neq 0\), la solution s’éloigne de \(y_e\). \(y_e\) est instable.
Si \(C\neq 0\), la solution s’éloigne de \(y_e\). \(y_e\) est instable.
Lecture rapide
On regarde le signe de \(y' = ay+b = a(y-y_e)\).
Si \(a<0\) : au-dessus de \(y_e\) on redescend, en dessous on remonte \(\Rightarrow\) on converge vers \(y_e\).
Si \(a<0\) : au-dessus de \(y_e\) on redescend, en dessous on remonte \(\Rightarrow\) on converge vers \(y_e\).
✅ Synthèse flash
- Primitive : \(F' = f\) ; toutes les primitives : \(F+C\).
- Table : \(x^n\), \(1/x\), \(e^x\), \(\cos\), \(\sin\) (penser au \(ax\)).
- \(y'=ay+b\) :
- si \(a=0\) : \(y=bx+C\)
- si \(a\neq 0\) : \(\displaystyle y(x)= -\frac{b}{a}+Ce^{ax}\)
- équilibre \(\displaystyle y_e=-\frac{b}{a}\)
- Condition initiale \(\Rightarrow\) détermination de \(C\) \(\Rightarrow\) solution unique.