Cours premium — Primitives & équations différentielles
Primitives usuelles • méthodes • équations différentielles \(y' = ay + b\) • conditions initiales • interprétation.
0) Objectifs du chapitre
- Reconnaître et calculer des primitives usuelles.
- Utiliser la linéarité : somme, constante, changement d’échelle simple.
- Résoudre une équation différentielle linéaire du 1er ordre : \(y' = ay + b\).
- Exploiter une condition initiale pour déterminer l’unique solution.
- Interpréter graphiquement : pente, comportements selon le signe de \(a\), solution d’équilibre.
1) Définition : primitive d’une fonction
Définition
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).
Une fonction \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) si, pour tout \(x \in I\),
\[
F'(x)=f(x).
\]
À retenir
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\), alors toutes les primitives de \(f\) sur \(I\) sont :
\[
F(x)+C \quad \text{où } C \in \mathbb{R}.
\]
On parle de famille de primitives.
Piège classique
Une primitive n’est pas unique : on oublie souvent le \(+C\).
2) Propriétés (linéarité)
Somme
Si \(F\) est une primitive de \(f\) et \(G\) primitive de \(g\), alors une primitive de \(f+g\) est :
\[
F+G.
\]
Constante multiplicative
Si \(F\) est une primitive de \(f\) et \(k \in \mathbb{R}\), alors une primitive de \(k f\) est :
\[
kF.
\]
Méthode express
Décomposer \(f(x)\) en somme de termes connus, puis intégrer terme à terme.
3) Primitives usuelles (table indispensable)
Tableau (sur un intervalle \(I\) adapté)
| Fonction \(f(x)\) | Une primitive \(F(x)\) | Remarque |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(kx\) | \((kx)'=k\) |
| \(x^n\) (avec \(n\neq -1\)) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(n\in\mathbb{Z}\) ou réel, sur \(I\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | Sur \(I\subset]-\infty;0[\) ou \(I\subset]0;+\infty[\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | La dérivée de \(e^x\) est elle-même |
| \(\cos x\) | \(\sin x\) | \((\sin x)'=\cos x\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) | \((- \cos x)'=\sin x\) |
Attention domaine
La primitive \(\ln|x|\) implique que l’on travaille sur un intervalle ne traversant pas 0.
On écrit les intervalles en notation FR : \([a ; b]\), \(]-\infty ; 0[\), \(]0 ; +\infty[\).
4) Formes très fréquentes (niveau Bac)
Exponentielle « avec coefficient »
Pour \(a\neq 0\),
\[
\int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax}+C.
\]
Car \(\left(\frac{1}{a}e^{ax}\right)'=e^{ax}\).
Cosinus / sinus « avec coefficient »
Pour \(a\neq 0\),
\[
\int \cos(ax)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax)+C,\qquad
\int \sin(ax)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax)+C.
\]
Astuce
Dès que tu vois \(ax\) dans une fonction connue, pense à « diviser par \(a\) ».
5) Équations différentielles : \(y' = ay + b\)
Définition
Une équation différentielle relie une fonction inconnue \(y\) et sa dérivée \(y'\).
Ici, on étudie les équations :
\[
y' = ay + b
\]
où \(a\) et \(b\) sont des réels constants.
Idée-clé
On cherche d’abord une solution d’équilibre (constante) puis on ajoute la solution générale de l’homogène.
5.1) Solution d’équilibre
Si \(y\) est constante, alors \(y' = 0\). L’équation \(y' = ay + b\) devient : \[ 0 = ay + b. \] Si \(a \neq 0\), on obtient une solution constante (équilibre) : \[ y_e = -\frac{b}{a}. \]
Cas particulier
Si \(a=0\), l’équation devient \(y'=b\), donc
\[
y(x)=bx+C.
\]
5.2) Solution générale (si \(a\neq 0\))
On pose \(u(x)=y(x)-y_e\). Alors \(u'(x)=y'(x)\) et : \[ y' = ay + b \iff u' = a u. \] C’est une équation différentielle homogène classique, dont les solutions sont : \[ u(x)=Ce^{ax}. \] Donc \[ y(x)=y_e + Ce^{ax} = -\frac{b}{a} + Ce^{ax}. \]
Formule finale à connaître
Pour \(a\neq 0\), les solutions de \(y' = ay + b\) sont :
\[
y(x)= -\frac{b}{a} + Ce^{ax}.
\]
5.3) Condition initiale : déterminer \(C\)
Si on connaît une condition du type \(y(x_0)=y_0\), on remplace dans la solution générale : \[ y_0 = -\frac{b}{a} + Ce^{ax_0} \quad \Rightarrow \quad C = \left(y_0 + \frac{b}{a}\right)e^{-ax_0}. \]
Mini-exemple guidé
Résoudre \(y' = 2y - 6\) avec \(y(0)=5\).
Équilibre : \(y_e = -\frac{-6}{2}=3\).
Solution générale : \(y(x)=3+Ce^{2x}\).
Condition : \(5=3+C\Rightarrow C=2\).
Donc \[ y(x)=3+2e^{2x}. \]
Équilibre : \(y_e = -\frac{-6}{2}=3\).
Solution générale : \(y(x)=3+Ce^{2x}\).
Condition : \(5=3+C\Rightarrow C=2\).
Donc \[ y(x)=3+2e^{2x}. \]
6) Interprétation et lecture graphique
Interprétation
L’équation \(y' = ay + b\) décrit une pente \(y'\) dépendant de \(y\).
La droite horizontale \(y=y_e\) (si \(a\neq 0\)) est la solution d’équilibre.
Si \(a < 0\) : stabilité
\(e^{ax}\) décroît vers 0 quand \(x\to +\infty\).
Donc \(y(x)\to y_e\). On dit que \(y_e\) est attractif (stable).
Donc \(y(x)\to y_e\). On dit que \(y_e\) est attractif (stable).
Si \(a > 0\) : instabilité
\(e^{ax}\) croît quand \(x\to +\infty\).
Donc \(y(x)\) s’éloigne de \(y_e\) si \(C\neq 0\). \(y_e\) est répulsif.
Donc \(y(x)\) s’éloigne de \(y_e\) si \(C\neq 0\). \(y_e\) est répulsif.
Lecture rapide
- si \(y>y_e\) et \(a<0\), alors \(y'<0\) : la solution redescend vers \(y_e\).
- si \(y<y_e\) et \(a<0\), alors \(y'>0\) : la solution remonte vers \(y_e\).
- si \(y<y_e\) et \(a<0\), alors \(y'>0\) : la solution remonte vers \(y_e\).
7) Méthode Bac : résolution propre en 5 lignes
- Identifier le type : \(y' = ay + b\) et relever \(a\) et \(b\).
- Cas \(a=0\) : \(y=bx+C\). Sinon continuer.
- Calculer l’équilibre : \(y_e=-\dfrac{b}{a}\).
- Écrire la solution générale : \[ y(x)=y_e+Ce^{ax}. \]
- Utiliser la condition initiale \(y(x_0)=y_0\) pour trouver \(C\).
Vérification
Remplacer \(y\) dans l’équation : si tu retombes sur \(y'=ay+b\), c’est bon.
8) Erreurs fréquentes (à éviter)
- Oublier le \(+C\) dans une primitive.
- Oublier de traiter le cas \(a=0\) dans \(y'=ay+b\).
- Se tromper de signe dans \(y_e=-\dfrac{b}{a}\).
- Écrire \(y=Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}\) sans expliquer l’équilibre (rédaction Bac incomplète).
- Oublier la condition initiale : on laisse \(C\) alors qu’on peut le déterminer.
✅ Mini-synthèse
- Primitive : \(F' = f\). Toutes les primitives : \(F+C\).
- Table de primitives : \(x^n\), \(\frac{1}{x}\), \(e^x\), \(\cos\), \(\sin\) (indispensable).
- \(y' = ay + b\) :
- si \(a=0\) : \(y=bx+C\)
- si \(a\neq 0\) : \(\displaystyle y(x)= -\frac{b}{a} + Ce^{ax}\)
- Condition initiale \(\Rightarrow\) unique solution.