La fonction ln

Fonction logarithme népérien • propriétés • dérivée • limites • résolution d’équations et inéquations (programme Terminale Maths complémentaires).

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Fiche premium — La fonction \(\ln\) (logarithme népérien)
L’essentiel à apprendre : propriétés, dérivée, limites, équations et inéquations (Terminale Maths complémentaires).
1) Définition — Domaine — Valeurs clés
Définition (réversibilité)
\[ \forall x>0,\quad \ln(x)=y \iff e^y=x \]

Donc \(\ln\) est la fonction réciproque de \(x\mapsto e^x\).

Domaine
\[ \mathrm{Dom}(\ln)=(0;+\infty) \]

Toujours vérifier : l’argument du \(\ln\) doit être strictement positif.

Valeurs à connaître
\[ \ln(1)=0,\qquad \ln(e)=1 \] \[ \ln(e^a)=a,\qquad e^{\ln(x)}=x\ (x>0) \]
2) Variations — Dérivée — Tangente
Dérivée
\[ (\ln x)'=\frac{1}{x}\quad (x>0) \]
Composée
\[ (\ln(u(x)))'=\frac{u'(x)}{u(x)}\quad \text{si }u(x)>0 \]
Variations

Comme \(\dfrac{1}{x}>0\) sur \((0;+\infty)\), \(\ln\) est strictement croissante.

Point & pente
  • La courbe passe par \((1;0)\).
  • Pente en \(x=1\) : \((\ln x)'_{x=1}=1\).
3) Propriétés de calcul (indispensables)

Pour \(a>0\) et \(b>0\) :

\[ \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) \] \[ \ln\!\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b) \] \[ \ln(a^r)=r\,\ln(a)\quad (r\in\mathbb{R}) \]

⚠️ Erreur classique : \(\ln(a+b)\neq \ln(a)+\ln(b)\).

Signe
  • \(0
  • \(x=1 \Rightarrow \ln(x)=0\)
  • \(x>1 \Rightarrow \ln(x)>0\)
Comparaison

Pour \(a>0, b>0\) :

\[ \ln(a)\le \ln(b)\iff a\le b \]

Le sens est conservé car \(\ln\) est croissante.

4) Limites & asymptotes
Près de 0
\[ \lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty \]

Asymptote verticale : \(\boxed{x=0}\).

À l’infini
\[ \lim_{x\to +\infty}\ln(x)=+\infty \]

Croissance lente (comparée à \(x\)).

Limites « rapides » à connaître
  • \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\ln(ax)=-\infty\) si \(a>0\).
  • \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\ln(ax+b)=+\infty\) si \(a>0\).
  • \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\ln\!\left(\frac{1}{x}\right)=+\infty\).
5) Équations avec \(\ln\) : recettes (très efficaces)
Recette A — \(\ln(u)=a\)
  1. Imposer \(u>0\).
  2. Équivalence : \(\ln(u)=a \iff u=e^a\).
  3. Résoudre, puis vérifier dans le domaine.
Recette B — \(\ln(u)=\ln(v)\)
  1. Imposer \(u>0\) et \(v>0\).
  2. Injectivité : \(\ln(u)=\ln(v)\iff u=v\).
  3. Résoudre, puis vérifier les conditions.
Exemples flash (corrigés)
Ex 1

\(\ln(2x-1)=3\)

  • Domaine : \(2x-1>0 \iff x>\dfrac12\).
  • \(2x-1=e^3 \iff x=\dfrac{1+e^3}{2}\).
Ex 2

\(\ln(x+2)=\ln(3x)\)

  • Domaine : \(x+2>0\) et \(3x>0\Rightarrow x>0\).
  • \(x+2=3x \Rightarrow x=1\).
6) Inéquations avec \(\ln\) : règle + exemples
Règle d’or

Sur \((0;+\infty)\), \(\ln\) est croissante, donc :

\[ \ln(u)\le \ln(v)\iff u\le v\quad (\text{avec }u>0,\ v>0) \]
Exemple 1

\(\ln(2x-1)\ge 0\)

  • Domaine : \(x>\dfrac12\).
  • \(\ln(2x-1)\ge 0 \iff 2x-1\ge 1\iff x\ge 1\).

Solution : \(\boxed{[1;+\infty)}\).

Exemple 2

\(\ln(x+1)\le \ln(3-x)\)

  • Domaine : \(x\in(-1;3)\).
  • \(x+1\le 3-x \iff x\le 1\).

Solution : \(\boxed{(-1;1]}\).

Pièges à éviter
  • Oublier le domaine : c’est la source n°1 d’erreurs.
  • Confondre \(\ln(u)\ge 0\) avec \(u\ge 0\) : faux. En réalité \(\ln(u)\ge 0 \iff u\ge 1\).
7) Mini-méthode : étudier une fonction avec \(\ln\)
Check-list (5 étapes)
  1. Domaine : argument \(>0\).
  2. Dérivée : \((\ln(u))'=\dfrac{u'}{u}\).
  3. Signe de \(f'\) : tableau de signes.
  4. Limites : surtout quand l’argument \(\to 0^+\) et \(\to+\infty\).
  5. Asymptotes : souvent verticale si argument \(\to 0^+\).
8) Carte mentale — ultra résumé
  • Domaine : \((0;+\infty)\).
  • Dérivée : \((\ln x)'=\dfrac1x\).
  • Propriétés : \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\), \(\ln(a/b)=\ln a-\ln b\), \(\ln(a^r)=r\ln a\).
  • Limites : \(x\to0^+\Rightarrow \ln x\to-\infty\) (asymptote \(x=0\)); \(x\to+\infty\Rightarrow \ln x\to+\infty\).
  • Équations : \(\ln(u)=a\iff u=e^a\) (avec \(u>0\)).
  • Inéquations : \(\ln\) croissante ⇒ sens conservé (avec domaines \(>0\)).