Fiche de révision — La Fonction Ln (Tle compl.)
Cette fiche de révision de maths en Terminale Maths complémentaires résume le chapitre La Fonction Ln. Elle aide à mémoriser les définitions, les formules, les méthodes et les points de vigilance avant un contrôle.
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Chapitres
Fiche premium — La fonction \(\ln\) (logarithme népérien)
L’essentiel à apprendre : propriétés, dérivée, limites, équations et inéquations (Terminale Maths complémentaires).
1) Définition — Domaine — Valeurs clés
Définition (réversibilité)
\[
\forall x>0,\quad \ln(x)=y \iff e^y=x
\]
Donc \(\ln\) est la fonction réciproque de \(x\mapsto e^x\).
Domaine
\[
\mathrm{Dom}(\ln)=(0;+\infty)
\]
Toujours vérifier : l’argument du \(\ln\) doit être strictement positif.
Valeurs à connaître
\[
\ln(1)=0,\qquad \ln(e)=1
\]
\[
\ln(e^a)=a,\qquad e^{\ln(x)}=x\ (x>0)
\]
2) Variations — Dérivée — Tangente
Dérivée
\[
(\ln x)'=\frac{1}{x}\quad (x>0)
\]
Composée
\[
(\ln(u(x)))'=\frac{u'(x)}{u(x)}\quad \text{si }u(x)>0
\]
Variations
Comme \(\dfrac{1}{x}>0\) sur \((0;+\infty)\), \(\ln\) est strictement croissante.
Point & pente
- La courbe passe par \((1;0)\).
- Pente en \(x=1\) : \((\ln x)'_{x=1}=1\).
3) Propriétés de calcul (indispensables)
Pour \(a>0\) et \(b>0\) :
\[ \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) \] \[ \ln\!\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b) \] \[ \ln(a^r)=r\,\ln(a)\quad (r\in\mathbb{R}) \]⚠️ Erreur classique : \(\ln(a+b)\neq \ln(a)+\ln(b)\).
Signe
- \(0
- \(x=1 \Rightarrow \ln(x)=0\)
- \(x>1 \Rightarrow \ln(x)>0\)
Comparaison
Pour \(a>0, b>0\) :
\[ \ln(a)\le \ln(b)\iff a\le b \]Le sens est conservé car \(\ln\) est croissante.
4) Limites & asymptotes
Près de 0
\[
\lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty
\]
Asymptote verticale : \(\boxed{x=0}\).
À l’infini
\[
\lim_{x\to +\infty}\ln(x)=+\infty
\]
Croissance lente (comparée à \(x\)).
Limites « rapides » à connaître
- \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\ln(ax)=-\infty\) si \(a>0\).
- \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\ln(ax+b)=+\infty\) si \(a>0\).
- \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\ln\!\left(\frac{1}{x}\right)=+\infty\).
5) Équations avec \(\ln\) : recettes (très efficaces)
Recette A — \(\ln(u)=a\)
- Imposer \(u>0\).
- Équivalence : \(\ln(u)=a \iff u=e^a\).
- Résoudre, puis vérifier dans le domaine.
Recette B — \(\ln(u)=\ln(v)\)
- Imposer \(u>0\) et \(v>0\).
- Injectivité : \(\ln(u)=\ln(v)\iff u=v\).
- Résoudre, puis vérifier les conditions.
Exemples flash (corrigés)
Ex 1
\(\ln(2x-1)=3\)
- Domaine : \(2x-1>0 \iff x>\dfrac12\).
- \(2x-1=e^3 \iff x=\dfrac{1+e^3}{2}\).
Ex 2
\(\ln(x+2)=\ln(3x)\)
- Domaine : \(x+2>0\) et \(3x>0\Rightarrow x>0\).
- \(x+2=3x \Rightarrow x=1\).
6) Inéquations avec \(\ln\) : règle + exemples
Règle d’or
Sur \((0;+\infty)\), \(\ln\) est croissante, donc :
\[ \ln(u)\le \ln(v)\iff u\le v\quad (\text{avec }u>0,\ v>0) \]Exemple 1
\(\ln(2x-1)\ge 0\)
- Domaine : \(x>\dfrac12\).
- \(\ln(2x-1)\ge 0 \iff 2x-1\ge 1\iff x\ge 1\).
Solution : \(\boxed{[1;+\infty)}\).
Exemple 2
\(\ln(x+1)\le \ln(3-x)\)
- Domaine : \(x\in(-1;3)\).
- \(x+1\le 3-x \iff x\le 1\).
Solution : \(\boxed{(-1;1]}\).
Pièges à éviter
- Oublier le domaine : c’est la source n°1 d’erreurs.
- Confondre \(\ln(u)\ge 0\) avec \(u\ge 0\) : faux. En réalité \(\ln(u)\ge 0 \iff u\ge 1\).
7) Mini-méthode : étudier une fonction avec \(\ln\)
Check-list (5 étapes)
- Domaine : argument \(>0\).
- Dérivée : \((\ln(u))'=\dfrac{u'}{u}\).
- Signe de \(f'\) : tableau de signes.
- Limites : surtout quand l’argument \(\to 0^+\) et \(\to+\infty\).
- Asymptotes : souvent verticale si argument \(\to 0^+\).
8) Carte mentale — ultra résumé
- Domaine : \((0;+\infty)\).
- Dérivée : \((\ln x)'=\dfrac1x\).
- Propriétés : \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\), \(\ln(a/b)=\ln a-\ln b\), \(\ln(a^r)=r\ln a\).
- Limites : \(x\to0^+\Rightarrow \ln x\to-\infty\) (asymptote \(x=0\)); \(x\to+\infty\Rightarrow \ln x\to+\infty\).
- Équations : \(\ln(u)=a\iff u=e^a\) (avec \(u>0\)).
- Inéquations : \(\ln\) croissante ⇒ sens conservé (avec domaines \(>0\)).
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