Terminale Maths complémentaires — La fonction ln

Cours — La fonction \(\ln\) (logarithme népérien)

Domaine • propriétés • dérivée • limites • équations & inéquations • méthodes-types (Terminale Maths complémentaires).

0) Définition et idées fondamentales

Définition (réciproque de l’exponentielle)

La fonction logarithme népérien \(\ln\) est définie sur \((0;+\infty)\) et vérifie :

\[ \forall x>0,\quad \ln(x)=y \iff e^y=x \]

Donc \(\ln\) est la fonction réciproque de \(x\mapsto e^x\).

Identités très utiles (à connaître)

\[ \forall x>0,\quad e^{\ln(x)}=x \] \[ \forall y\in\mathbb{R},\quad \ln(e^y)=y \]

⚠️ La première nécessite \(x>0\) (c’est le domaine de \(\ln\)).

Valeurs repères

\(\ln(1)=0\) (car \(e^0=1\))
\(\ln(e)=1\) (car \(e^1=e\))
\(\ln(e^2)=2\), \(\ln(\sqrt{e})=\dfrac12\), \(\ln\!\left(\dfrac1e\right)=-1\)

1) Domaine, variations, lecture graphique

Domaine

\[ \mathrm{Dom}(\ln)=(0;+\infty) \]

\(\ln(x)\) n’existe pas pour \(x\le 0\). Donc : avant tout calcul, on impose « argument \(>0\) ».

Dérivée (clé des variations)

\[ \forall x>0,\quad (\ln x)'=\frac{1}{x} \]

Comme \(\dfrac1x>0\) sur \((0;+\infty)\), \(\ln\) est strictement croissante.

Tableau de variations (résultat)

Sur \((0;+\infty)\) : \(\ln\) est croissante, avec \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty\) et \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\ln(x)=+\infty\).

\(x\)	\((0;+\infty)\)
\(\ln(x)\)	\(-\infty \ \nearrow\ +\infty\)

Conséquences graphiques

La courbe passe par \((1;0)\).
La pente en \(x=1\) vaut \(1\) (car \((\ln x)'_{x=1}=1\)).
\(\ln(x)\) croît lentement : multiplier \(x\) par \(10\) n’ajoute que \(\ln(10)\) à la valeur.

2) Propriétés essentielles (règles de calcul)

Règles de base (avec conditions)

Pour \(a>0\) et \(b>0\) :

\[ \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) \] \[ \ln\!\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b) \] \[ \ln(a^r)=r\,\ln(a)\quad (r\in\mathbb{R}) \]

⚠️ Erreur classique : \(\ln(a+b)\neq \ln(a)+\ln(b)\).

Signe de \(\ln(x)\)

Si \(0
Si \(x=1\), alors \(\ln(1)=0\).
Si \(x>1\), alors \(\ln(x)>0\).

C’est une conséquence directe de : \(\ln\) croissante et \(\ln(1)=0\).

Comparaisons (très utile)

Pour \(a>0\) et \(b>0\) :

\[ \ln(a)\le \ln(b)\iff a\le b \]

Le sens de l’inégalité est conservé car \(\ln\) est croissante.

Mini-exemples flash (pièges)

\(\ln(12)=\ln(3)+\ln(4)\).
\(\ln\!\left(\dfrac{5}{2}\right)=\ln(5)-\ln(2)\).
\(\ln(9)=2\ln(3)\).
\(\ln(2+3)\) ne se simplifie pas en somme de logs.

3) Dérivation : formules indispensables

Formules

Pour \(x>0\) :

\[ (\ln x)'=\frac{1}{x} \]

Pour une composée \(u(x)>0\) :

\[ (\ln(u(x)))'=\frac{u'(x)}{u(x)} \]

Exemples (avec domaines)

\(f(x)=\ln(3x-2)\) : domaine \(3x-2>0\iff x>\dfrac23\) et \[ f'(x)=\frac{3}{3x-2} \]
\(g(x)=\ln(x^2+1)\) : domaine \(\mathbb{R}\) (car \(x^2+1>0\)) et \[ g'(x)=\frac{2x}{x^2+1} \]
\(h(x)=\ln\!\left(\dfrac{x-1}{x+2}\right)\) : d’abord domaine \(\dfrac{x-1}{x+2}>0\), puis sur ce domaine : \[ h(x)=\ln(x-1)-\ln(x+2)\Rightarrow h'(x)=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+2}=\frac{3}{(x-1)(x+2)} \]

Pièges fréquents

Oublier \(u(x)>0\) avant d’écrire \(\ln(u(x))\).
Écrire \((\ln(u))'=\ln(u')\) : faux.
Oublier que \(\dfrac{1}{x}\) n’existe pas en \(x=0\) (mais ici le domaine est \(x>0\)).

4) Limites et asymptotes

Limites fondamentales

\[ \lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty \] \[ \lim_{x\to +\infty}\ln(x)=+\infty \]

Donc la courbe admet une asymptote verticale : \(\boxed{x=0}\).

Limites utiles (avec paramètres)

\(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\ln(ax)=-\infty\) si \(a>0\).
\(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\ln(ax+b)=+\infty\) si \(a>0\).
\(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\ln\!\left(\frac{1}{x}\right)=+\infty\).

Croissance comparée (idée niveau complémentaires)

Quand \(x\to +\infty\), \(\ln(x)\) augmente mais beaucoup plus lentement que \(x\).

(On admet souvent : \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0\).)

5) Équations avec \(\ln\) : méthodes-types

Méthode générale (à appliquer systématiquement)

Domaine : imposer « arguments \(>0\) ».
Transformer l’équation en utilisant injectivité / propriétés.
Résoudre l’équation algébrique obtenue.
Vérifier que les solutions sont dans le domaine.

Type 1 — \(\ln(u)=a\)

\[ \ln(u)=a \iff u=e^a\quad(\text{avec }u>0) \]

Exemple : \(\ln(2x-1)=3\).

Domaine : \(2x-1>0\iff x>\dfrac12\).
\(\ln(2x-1)=3 \iff 2x-1=e^3 \iff x=\dfrac{1+e^3}{2}\).

Type 2 — \(\ln(u)=\ln(v)\)

\[ \ln(u)=\ln(v)\iff u=v \quad (\text{avec }u>0,\ v>0) \]

Exemple : \(\ln(x+2)=\ln(3x)\).

Domaine : \(x+2>0\) et \(3x>0\Rightarrow x>0\).
\(x+2=3x \Rightarrow x=1\) (valide).

Type 3 — Regrouper les logs

Exemple : \(\ln(x)-\ln(4)=2\).

\[ \ln(x)-\ln(4)=\ln\!\left(\frac{x}{4}\right) \]

Domaine : \(x>0\).
\(\ln\!\left(\dfrac{x}{4}\right)=2 \iff \dfrac{x}{4}=e^2 \iff x=4e^2\).

6) Inéquations avec \(\ln\)

Règle clé : \(\ln\) est croissante

Pour \(u>0\) et \(v>0\) :

\[ \ln(u)\le \ln(v)\iff u\le v \]

Le sens de l’inégalité est conservé (fonction croissante).

Astuce : \(\ln(t)\ge 0\) et \(\ln(t)\le 0\)

\(\ln(t)\ge 0 \iff t\ge 1\) (avec \(t>0\)).
\(\ln(t)\le 0 \iff 0

Exemple 1 — \(\ln(2x-1)\ge 0\)

Domaine : \(2x-1>0 \iff x>\dfrac12\).
\(\ln(2x-1)\ge 0 \iff 2x-1\ge 1 \iff x\ge 1\).

Solution : \(\boxed{[1;+\infty)}\).

Exemple 2 — \(\ln(x+1)\le \ln(3-x)\)

Domaine : \(x+1>0\) et \(3-x>0\Rightarrow x\in(-1;3)\).
\(\ln(x+1)\le \ln(3-x)\iff x+1\le 3-x \iff x\le 1\).

Solution : \(\boxed{(-1;1]}\).

7) Étude de fonction avec \(\ln\) : méthode

Check-list (très efficace)

Domaine : imposer l’argument du \(\ln\) strictement positif.
Dérivée : \((\ln(u))'=\dfrac{u'}{u}\).
Signe de \(f'\) : tableau de signes → variations.
Limites : notamment quand l’argument \(\to 0^+\) et \(\to +\infty\).
Asymptotes : souvent verticale si argument \(\to 0^+\).

Mini-exemple guidé (propre et complet)

Soit \(f(x)=\ln(x)-\dfrac{1}{x}\) définie sur \((0;+\infty)\).

Domaine : \(x>0\).
Dérivée : \[ f'(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=\frac{x+1}{x^2}>0 \quad (x>0) \] donc \(f\) est strictement croissante.
Limites : \[ \lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty \]

Conclusion : \(f\) croissante de \(-\infty\) vers \(+\infty\) ⇒ l’équation \(f(x)=0\) a une unique solution.

8) Résumé à retenir

Domaine : \((0;+\infty)\).
Dérivée : \((\ln x)'=\dfrac1x\) ⇒ \(\ln\) croissante.
Propriétés : \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\), \(\ln(a/b)=\ln a-\ln b\), \(\ln(a^r)=r\ln a\).
Limites : \(\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty\) (asymptote \(x=0\)), \(\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\).
Équations : \(\ln(u)=a\iff u=e^a\) (avec \(u>0\)).
Inéquations : \(\ln\) croissante ⇒ sens conservé (toujours vérifier les domaines).