Exercices corrigés de maths Terminale Maths complémentaires : La fonction ln
Cette page propose des exercices corrigés de mathématiques en Terminale Maths complémentaires sur La fonction ln. Tu vas t’entraîner sur lecture graphique, images et antécédents, variations, modélisation avec des questions progressives et des corrections pour vérifier chaque étape.
Énoncé. Déterminer le domaine de définition de :
\[ f(x)=\ln(2x-3)+\ln(5-x)-\ln(x+1) \]Puis simplifier \(f(x)\) en une seule expression logarithmique.
Voir la correction Domaine + propriétés des logs
On impose les arguments strictement positifs :
\[ \begin{cases} 2x-3>0\\ 5-x>0\\ x+1>0 \end{cases} \iff \begin{cases} x>\dfrac{3}{2}\\ x<5\\ x>-1 \end{cases} \]Donc \(\mathrm{Dom}(f)=\boxed{\left(\dfrac{3}{2};5\right)}\).
Sur \(\left(\dfrac{3}{2};5\right)\), cette écriture est valide.
Réponse : \(\boxed{f(x)=\ln\!\left(\dfrac{(2x-3)(5-x)}{x+1}\right)}\).
Énoncé. Pour chaque fonction, donner le domaine puis calculer la dérivée :
\[ g(x)=\ln(1-2x),\qquad h(x)=\ln(x^2-4x+5),\qquad p(x)=\ln\!\left(\frac{x-1}{x+2}\right) \]Voir la correction Domaines + formule \((\ln(u))'=\dfrac{u'}{u}\)
Domaine : \(1-2x>0\iff x<\dfrac{1}{2}\) donc \(\boxed{(-\infty;\tfrac{1}{2})}\).
\[ g'(x)=\frac{(1-2x)'}{1-2x}=\frac{-2}{1-2x} \]\(x^2-4x+5=(x-2)^2+1>0\) pour tout \(x\). Domaine : \(\boxed{\mathbb{R}}\).
\[ h'(x)=\frac{(x^2-4x+5)'}{x^2-4x+5}=\frac{2x-4}{x^2-4x+5} \]Domaine : \(\dfrac{x-1}{x+2}>0\) et \(x\neq -2\).
\[ \frac{x-1}{x+2}>0 \iff (x-1)\ \text{et}\ (x+2)\ \text{même signe} \iff x>1\ \text{ou}\ x<-2 \]Donc \(\boxed{\mathrm{Dom}(p)=(-\infty;-2)\cup(1;+\infty)}\).
Sur le domaine, on peut écrire \(p(x)=\ln(x-1)-\ln(x+2)\), donc :
\[ p'(x)=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+2} =\frac{(x+2)-(x-1)}{(x-1)(x+2)} =\frac{3}{(x-1)(x+2)} \]Énoncé. Calculer :
\[ \lim_{x\to 0^+}\ln(3x),\qquad \lim_{x\to 0^+}\left(\ln(x)+\frac{1}{x}\right),\qquad \lim_{x\to +\infty}\ln\!\left(\frac{x}{x+1}\right) \]Voir la correction Limites usuelles + domination
Quand \(x\to 0^+\), \(3x\to 0^+\) donc \(\ln(3x)\to -\infty\).
Réponse : \(\boxed{-\infty}\).
Quand \(x\to 0^+\), \(\ln(x)\to -\infty\) et \(\dfrac{1}{x}\to +\infty\). Ici, \(\dfrac{1}{x}\) domine \(|\ln(x)|\) au voisinage de 0, donc la somme \(\to +\infty\).
Réponse : \(\boxed{+\infty}\).
Donc \(\ln\!\left(\dfrac{x}{x+1}\right)\to \ln(1)=0\).
Réponse : \(\boxed{0}\).
Énoncé. Résoudre sur \(\mathbb{R}\) :
\[ \ln(x^2-5x+6)=\ln(2) \]Voir la correction Produit nul + domaine
Produit \(>0\) quand les facteurs ont le même signe :
\[ x<2\ \text{ou}\ x>3 \]Domaine : \(\boxed{(-\infty;2)\cup(3;+\infty)}\).
Sur le domaine, \(\ln(A)=\ln(B)\iff A=B\).
\[ x^2-5x+6=2 \iff x^2-5x+4=0 \] \[ \Delta=25-16=9,\quad x=\frac{5\pm 3}{2}\Rightarrow x=1\ \text{ou}\ x=4 \]Vérification : \(1<2\) OK, \(4>3\) OK.
Solutions : \(\boxed{\{1,\ 4\}}\).
Énoncé. Résoudre :
\[ \ln\!\left(\frac{2x+1}{x-2}\right)\ge 0 \]Voir la correction Deux tableaux de signes + intersection
Zéros / interdits : \(2x+1=0 \Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}\), et \(x=2\).
Le quotient est positif sur : \[ \boxed{(-\infty;-\tfrac{1}{2})\cup(2;+\infty)} \]
Zéro : \(x=-3\). Interdit : \(x=2\). Donc \(\dfrac{x+3}{x-2}\ge 0\) sur : \[ (-\infty;-3]\cup(2;+\infty) \]
Domaine : \((-\infty;-\tfrac{1}{2})\cup(2;+\infty)\). Condition \(t\ge 1\) : \((-\infty;-3]\cup(2;+\infty)\).
Donc : \[ \boxed{(-\infty;-3]\cup(2;+\infty)} \]
Énoncé. Soit \(f(x)=\ln(x)-\dfrac{2}{x}\) définie sur \((0;+\infty)\).
- Calculer \(f'(x)\) et étudier son signe.
- Dresser le tableau de variations.
- Résoudre \(f(x)=0\) (localisation + argument de monotonie).
Voir la correction Dérivée + monotonie + unique solution
Pour \(x>0\), \(x^2>0\) et \(x+2>0\), donc \(\boxed{f'(x)>0}\) sur \((0;+\infty)\). Ainsi \(f\) est strictement croissante.
\(\lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty\) et \(\lim_{x\to 0^+}-\dfrac{2}{x}=-\infty\) donc \(\boxed{\lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty}\).
\(\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty\) et \(\lim_{x\to+\infty}-\dfrac{2}{x}=0\) donc \(\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}\).
Comme \(f\) est croissante et passe de \(-\infty\) à \(+\infty\), l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution.
Donc l’unique solution \(\alpha\) vérifie : \(\boxed{\alpha\in(2;3)}\).
Énoncé. Résoudre :
\[ \ln(x^2-1) < \ln(3x-2) \]Voir la correction Domaine commun + inéquation de trinôme
Sur \(x<-1\), on a \(3x-2<0\), donc impossible. Domaine commun : \(\boxed{(1;+\infty)}\).
Sur le domaine, \(\ln\) est croissante :
\[ \ln(x^2-1) < \ln(3x-2) \iff x^2-1 < 3x-2 \] \[ x^2-3x+1<0 \] \[ \Delta=9-4=5,\quad x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2} \]Comme le coefficient de \(x^2\) est positif, l’inégalité est vraie entre les racines : \[ x\in\left(\frac{3-\sqrt5}{2}\ ;\ \frac{3+\sqrt5}{2}\right) \]
Intersection avec \((1;+\infty)\) : \[ \boxed{x\in\left(1\ ;\ \frac{3+\sqrt5}{2}\right)} \]
Énoncé. Résoudre sur \(\mathbb{R}\) :
\[ \ln(x-1)=2-\ln(5-x) \]Voir la correction Domaine + équation impossible (astuce)
Donc \(\boxed{x\in(1;5)}\).
Sur \((1;5)\), \((x-1)(5-x)>0\), donc OK.
Or \(e^2\approx 7{,}389\), donc \(4-e^2<0\) et \(\Delta<0\). Il n’y a aucune solution réelle.
Conclusion : \(\boxed{\varnothing}\).
Sur \((1;5)\), le produit \((x-1)(5-x)\) est maximal en \(x=3\) : \((3-1)(5-3)=4\). Or on demande \((x-1)(5-x)=e^2\approx 7{,}389\), impossible.