Énoncé. Déterminer le domaine de définition de :
\[ f(x)=\ln(2x-3)+\ln(5-x)-\ln(x+1) \]Puis simplifier \(f(x)\) en une seule expression logarithmique.
Voir la correction Domaine + propriétés des logs
On impose les arguments strictement positifs :
\[ \begin{cases} 2x-3>0\\ 5-x>0\\ x+1>0 \end{cases} \iff \begin{cases} x>\dfrac{3}{2}\\ x<5\\ x>-1 \end{cases} \]Donc \(\mathrm{Dom}(f)=\boxed{\left(\dfrac{3}{2};5\right)}\).
Sur \(\left(\dfrac{3}{2};5\right)\), cette écriture est valide.
Réponse : \(\boxed{f(x)=\ln\!\left(\dfrac{(2x-3)(5-x)}{x+1}\right)}\).
Énoncé. Pour chaque fonction, donner le domaine puis calculer la dérivée :
\[ g(x)=\ln(1-2x),\qquad h(x)=\ln(x^2-4x+5),\qquad p(x)=\ln\!\left(\frac{x-1}{x+2}\right) \]Voir la correction Domaines + formule \((\ln(u))'=\dfrac{u'}{u}\)
Domaine : \(1-2x>0\iff x<\dfrac{1}{2}\) donc \(\boxed{(-\infty;\tfrac{1}{2})}\).
\[ g'(x)=\frac{(1-2x)'}{1-2x}=\frac{-2}{1-2x} \]\(x^2-4x+5=(x-2)^2+1>0\) pour tout \(x\). Domaine : \(\boxed{\mathbb{R}}\).
\[ h'(x)=\frac{(x^2-4x+5)'}{x^2-4x+5}=\frac{2x-4}{x^2-4x+5} \]Domaine : \(\dfrac{x-1}{x+2}>0\) et \(x\neq -2\).
\[ \frac{x-1}{x+2}>0 \iff (x-1)\ \text{et}\ (x+2)\ \text{même signe} \iff x>1\ \text{ou}\ x<-2 \]Donc \(\boxed{\mathrm{Dom}(p)=(-\infty;-2)\cup(1;+\infty)}\).
Sur le domaine, on peut écrire \(p(x)=\ln(x-1)-\ln(x+2)\), donc :
\[ p'(x)=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+2} =\frac{(x+2)-(x-1)}{(x-1)(x+2)} =\frac{3}{(x-1)(x+2)} \]Énoncé. Calculer :
\[ \lim_{x\to 0^+}\ln(3x),\qquad \lim_{x\to 0^+}\left(\ln(x)+\frac{1}{x}\right),\qquad \lim_{x\to +\infty}\ln\!\left(\frac{x}{x+1}\right) \]Voir la correction Limites usuelles + domination
Quand \(x\to 0^+\), \(3x\to 0^+\) donc \(\ln(3x)\to -\infty\).
Réponse : \(\boxed{-\infty}\).
Quand \(x\to 0^+\), \(\ln(x)\to -\infty\) et \(\dfrac{1}{x}\to +\infty\). Ici, \(\dfrac{1}{x}\) domine \(|\ln(x)|\) au voisinage de 0, donc la somme \(\to +\infty\).
Réponse : \(\boxed{+\infty}\).
Donc \(\ln\!\left(\dfrac{x}{x+1}\right)\to \ln(1)=0\).
Réponse : \(\boxed{0}\).
Énoncé. Résoudre sur \(\mathbb{R}\) :
\[ \ln(x^2-5x+6)=\ln(2) \]Voir la correction Produit nul + domaine
Produit \(>0\) quand les facteurs ont le même signe :
\[ x<2\ \text{ou}\ x>3 \]Domaine : \(\boxed{(-\infty;2)\cup(3;+\infty)}\).
Sur le domaine, \(\ln(A)=\ln(B)\iff A=B\).
\[ x^2-5x+6=2 \iff x^2-5x+4=0 \] \[ \Delta=25-16=9,\quad x=\frac{5\pm 3}{2}\Rightarrow x=1\ \text{ou}\ x=4 \]Vérification : \(1<2\) OK, \(4>3\) OK.
Solutions : \(\boxed{\{1,\ 4\}}\).
Énoncé. Résoudre :
\[ \ln\!\left(\frac{2x+1}{x-2}\right)\ge 0 \]Voir la correction Deux tableaux de signes + intersection
Zéros / interdits : \(2x+1=0 \Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}\), et \(x=2\).
Le quotient est positif sur : \[ \boxed{(-\infty;-\tfrac{1}{2})\cup(2;+\infty)} \]
Zéro : \(x=-3\). Interdit : \(x=2\). Donc \(\dfrac{x+3}{x-2}\ge 0\) sur : \[ (-\infty;-3]\cup(2;+\infty) \]
Domaine : \((-\infty;-\tfrac{1}{2})\cup(2;+\infty)\). Condition \(t\ge 1\) : \((-\infty;-3]\cup(2;+\infty)\).
Donc : \[ \boxed{(-\infty;-3]\cup(2;+\infty)} \]
Énoncé. Soit \(f(x)=\ln(x)-\dfrac{2}{x}\) définie sur \((0;+\infty)\).
- Calculer \(f'(x)\) et étudier son signe.
- Dresser le tableau de variations.
- Résoudre \(f(x)=0\) (localisation + argument de monotonie).
Voir la correction Dérivée + monotonie + unique solution
Pour \(x>0\), \(x^2>0\) et \(x+2>0\), donc \(\boxed{f'(x)>0}\) sur \((0;+\infty)\). Ainsi \(f\) est strictement croissante.
\(\lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty\) et \(\lim_{x\to 0^+}-\dfrac{2}{x}=-\infty\) donc \(\boxed{\lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty}\).
\(\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty\) et \(\lim_{x\to+\infty}-\dfrac{2}{x}=0\) donc \(\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}\).
Comme \(f\) est croissante et passe de \(-\infty\) à \(+\infty\), l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution.
Donc l’unique solution \(\alpha\) vérifie : \(\boxed{\alpha\in(2;3)}\).
Énoncé. Résoudre :
\[ \ln(x^2-1) < \ln(3x-2) \]Voir la correction Domaine commun + inéquation de trinôme
Sur \(x<-1\), on a \(3x-2<0\), donc impossible. Domaine commun : \(\boxed{(1;+\infty)}\).
Sur le domaine, \(\ln\) est croissante :
\[ \ln(x^2-1) < \ln(3x-2) \iff x^2-1 < 3x-2 \] \[ x^2-3x+1<0 \] \[ \Delta=9-4=5,\quad x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2} \]Comme le coefficient de \(x^2\) est positif, l’inégalité est vraie entre les racines : \[ x\in\left(\frac{3-\sqrt5}{2}\ ;\ \frac{3+\sqrt5}{2}\right) \]
Intersection avec \((1;+\infty)\) : \[ \boxed{x\in\left(1\ ;\ \frac{3+\sqrt5}{2}\right)} \]
Énoncé. Résoudre sur \(\mathbb{R}\) :
\[ \ln(x-1)=2-\ln(5-x) \]Voir la correction Domaine + équation impossible (astuce)
Donc \(\boxed{x\in(1;5)}\).
Sur \((1;5)\), \((x-1)(5-x)>0\), donc OK.
Or \(e^2\approx 7{,}389\), donc \(4-e^2<0\) et \(\Delta<0\). Il n’y a aucune solution réelle.
Conclusion : \(\boxed{\varnothing}\).
Sur \((1;5)\), le produit \((x-1)(5-x)\) est maximal en \(x=3\) : \((3-1)(5-3)=4\). Or on demande \((x-1)(5-x)=e^2\approx 7{,}389\), impossible.