Quiz HARD — Limites et continuité (20 questions)
Limites en un point • limites à l'infini • opérations sur les limites • continuité • théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Q9. La fonction \(f(x) = rac{x^2 - 4}{x - 2}\) est-elle continue en \(x = 2\) ? Justifiez votre réponse.
Non vérifié
Indice
Vérifiez la limite à gauche et à droite.
Correction
La fonction est discontinue en \(x = 2\), car la limite existe mais la fonction n'est pas définie en ce point.
Q10. Déterminez la limite de la fonction \(f(x) = rac{3x^4 - x^3 + 2}{x^4 + 5x^2}\) lorsque \(x o +\infty\).
Non vérifié
Indice
Divisez le numérateur et le dénominateur par \(x^4\).
Correction
La limite à l'infini de \(f(x)\) est égale à \(3\) car les termes dominants dans le numérateur et le dénominateur sont \(3x^4\) et \(x^4\).
Q11. Soit \(f(x) = x^2 - 3x + 1\) sur l'intervalle \([0, 2]\). Appliquez le théorème des valeurs intermédiaires pour montrer qu’il existe un point \(c \in [0, 2]\) tel que \(f(c) = 0\).
Non vérifié
Indice
Vérifiez les valeurs de \(f(x)\) aux extrémités de l'intervalle et appliquez le TVI.
Correction
D’après le TVI, puisque \(f(0) = 1\) et \(f(2) = -1\), il existe un point \(c\) tel que \(f(c) = 0\).
Q12. La fonction \(g(x) = rac{x^2 - 1}{x - 1}\) est-elle continue en \(x = 1\) ? Justifiez votre réponse.
Non vérifié
Indice
Vérifiez la limite à gauche et à droite.
Correction
La fonction est discontinue en \(x = 1\) car elle présente une discontinuité de type \( rac{0}{0} \) à ce point.
Q13. Déterminez si la fonction \(h(x) = rac{x^3 - 3x}{x^2 + 1}\) est continue pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
Non vérifié
Indice
La fonction est définie et polynomiale, donc continue sur l’ensemble de \(\mathbb{R}\).
Correction
La fonction est continue sur \(\mathbb{R}\) car le dénominateur \(x^2 + 1\) est toujours positif, donc la fonction est définie et continue partout.
Q14. Soit \(f(x) = rac{5x^2 - 3}{x^2 + 4x + 3}\). Déterminez les asymptotes de cette fonction et analysez son comportement à l’infini.
Non vérifié
Indice
Vérifiez le comportement aux bornes et identifiez les valeurs pour lesquelles le dénominateur est nul.
Correction
La fonction a une asymptote verticale en \(x = -3\) et une asymptote horizontale en \(y = 5\) lorsque \(x o \infty\).
Q15. Soient \(f(x) = rac{3x^2 - 2}{x - 1}\) et \(g(x) = rac{x^2 + 2x}{x + 1}\). Calculez :
\[
\lim_{x o 1} \left( f(x) + g(x)
ight)
\]
Non vérifié
Indice
Appliquez les propriétés des limites en addition, factorisez et simplifiez.
Correction
La limite de \(f(x) + g(x)\) en \(x = 1\) est \(3\). Après simplification, on obtient cette valeur.
Q16. Déterminez la limite à l’infini de la fonction \(f(x) = rac{6x^2 - 5x + 4}{x^2 + 3}\).
Non vérifié
Indice
Divisez le numérateur et le dénominateur par \(x^2\).
Correction
La limite à l’infini est égale à \(6\) car les termes de plus haut degré dominent.
Q17. Soit \(g(x) = x^3 - 4x + 1\). Appliquez le théorème des valeurs intermédiaires pour montrer qu'il existe un point \(c \in [0, 2]\) tel que \(g(c) = 0\).
Non vérifié
Indice
Vérifiez les valeurs de \(g(x)\) aux extrémités de l'intervalle et appliquez le TVI.
Correction
D’après le TVI, \(g(0) = 1\) et \(g(2) = -3\), donc il existe un point \(c\) tel que \(g(c) = 0\).
Q18. Soit \(h(x) = rac{2x - 4}{x^2 + 2x - 3}\). Déterminez les asymptotes de cette fonction et son comportement à l’infini.
Non vérifié
Indice
Identifiez les valeurs pour lesquelles le dénominateur est nul, et analysez les limites à l’infini.
Correction
La fonction a une asymptote verticale en \(x = -3\) et une asymptote horizontale en \(y = 0\) lorsque \(x o \infty\).
Q19. Soit \(f(x) = rac{x^3 + x}{x^2 - 1}\). Calculez la limite de \(f(x)\) en \(x = 1\).
Non vérifié
Indice
Factorisez le numérateur et le dénominateur.
Correction
La limite en \(x = 1\) est \(2\), après simplification et évaluation.
Q20. La fonction \(g(x) = rac{x^2 - 2x + 1}{x - 1}\) est-elle continue en \(x = 1\) ? Justifiez votre réponse.
Non vérifié
Indice
Vérifiez si la fonction a une limite en \(x = 1\) et comparez avec la valeur de \(g(1)\).
Correction
La fonction est discontinue en \(x = 1\) car \( rac{0}{0}\) à ce point.
Q21. Soit \(f(x) = rac{x^2 - 1}{x^2 + 3x - 4}\). Déterminez les asymptotes et les limites à l’infini.
Non vérifié
Indice
Factorisez le dénominateur pour identifier les asymptotes.
Correction
Les asymptotes sont \(x = -4\) et \(y = 1\) en raison du comportement à l’infini.
Clavier