Limites et continuité

Limites en un point et à l’infini • opérations sur les limites • continuité • théorème des valeurs intermédiaires (TVI) • interprétation graphique (programme Terminale Maths complémentaires).

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Limites et continuité

Ce chapitre permet de décrire le comportement d’une fonction lorsque la variable se rapproche d’un nombre ou devient très grande.
On introduit la notion de continuité et le théorème des valeurs intermédiaires, outils essentiels pour justifier l’existence de solutions.
Programme Terminale • Maths complémentaires

1) Limite d’une fonction en un point

Soit une fonction \(f\) définie au voisinage d’un nombre \(a\). Étudier la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) se rapproche de \(a\), c’est observer ce que deviennent les valeurs de \(f(x)\) lorsque \(x\) est très proche de \(a\).

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]

Cela signifie que les valeurs de \(f(x)\) se rapprochent du nombre \(L\) lorsque \(x\) se rapproche de \(a\).

⚠️ La limite ne dépend pas forcément de la valeur de \(f(a)\). La fonction peut même ne pas être définie en \(a\).
Lecture graphique :
La limite en \(a\) correspond à l’ordonnée du point vers lequel la courbe se rapproche lorsque l’abscisse se rapproche de \(a\).
2) Limites à droite et à gauche

Il arrive que le comportement de la fonction soit différent selon que l’on s’approche de \(a\) par valeurs supérieures ou inférieures.

\[ \lim_{x \to a^-} f(x) \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to a^+} f(x) \]

La limite en \(a\) existe si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont égales.

3) Limites à l’infini

On étudie le comportement d’une fonction lorsque \(x\) devient très grand ou très négatif.

\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) \qquad \text{ou} \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x) \]

Trois situations sont possibles :

  • la limite est un nombre réel
  • la limite est \(+\infty\)
  • la limite est \(-\infty\)

Si la limite est un nombre réel \(L\), la droite d’équation \(y = L\) est appelée asymptote horizontale.

4) Opérations sur les limites

Lorsque les limites de deux fonctions existent, on peut effectuer certaines opérations.

\[ \begin{aligned} \lim (f + g) &= \lim f + \lim g \\ \lim (f - g) &= \lim f - \lim g \\ \lim (\lambda f) &= \lambda \lim f \end{aligned} \]
⚠️ Certaines expressions conduisent à des formes indéterminées comme \(+\infty - \infty\). Dans ce cas, une étude graphique ou une transformation algébrique est nécessaire.
5) Continuité d’une fonction

Une fonction \(f\) est continue en un point \(a\) si :

\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]

Intuitivement, cela signifie que la courbe représentative de la fonction ne présente ni trou, ni saut au point considéré.

✏️ Image mentale :
Une fonction continue peut être tracée sans lever le crayon.
6) Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \([a ; b]\). Alors, pour tout nombre \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un nombre \(c \in [a ; b]\) tel que \(f(c)=k\).

\[ \forall k \in [f(a) ; f(b)],\ \exists c \in [a ; b]\ \text{tel que } f(c)=k \]
✅ Le TVI permet de justifier l’existence d’au moins une solution à une équation \(f(x)=k\).
7) Interprétation graphique globale
  • limite finie : la courbe se rapproche d’un point
  • limite infinie : la courbe s’éloigne sans borne
  • continuité : pas de rupture
  • TVI : toute droite horizontale entre \(f(a)\) et \(f(b)\) coupe la courbe
À retenir :
Les limites décrivent le comportement d’une fonction, la continuité garantit l’absence de rupture, et le théorème des valeurs intermédiaires permet d’assurer l’existence de solutions à certaines équations.