Cours — Convexité (Tle compl.)
Cette page propose un cours de mathématiques en Terminale Maths complémentaires sur Convexité. Tu y retrouves les notions essentielles, les méthodes à connaître et des exemples pour travailler notions essentielles du chapitre, méthodes attendues en Terminale Maths complémentaires, exemples guidés, exercices d’application.
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Chapitres
Cours — Convexité
Dérivée seconde • convexité • concavité • point d’inflexion • position par rapport aux tangentes
1. Définition intuitive
Une fonction est convexe lorsque sa courbe est tournée vers le haut. Elle est concave lorsque sa courbe est tournée vers le bas.
2. Critère avec la dérivée seconde
- Si \(f''(x)\ge0\) sur un intervalle, alors \(f\) est convexe sur cet intervalle.
- Si \(f''(x)\le0\) sur un intervalle, alors \(f\) est concave sur cet intervalle.
- Si \(f''\) change de signe en \(a\), la courbe peut admettre un point d’inflexion d’abscisse \(a\).
3. Tangentes
Si \(f\) est convexe, sa courbe est au-dessus de ses tangentes. Si \(f\) est concave, sa courbe est en dessous de ses tangentes.
4. Exemple
Pour \(f(x)=x^3-3x\), on a \(f''(x)=6x\). La fonction est concave sur \(]-\infty;0]\), convexe sur \([0;+\infty[\), et admet un point d’inflexion en \(x=0\).
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