Quiz — Limites et continuité (20 questions • Bac MC)
Limites en un point et à l’infini • continuité • TVI • lecture graphique • asymptotes • pièges et transformations simples.
Exercice 1. Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{x^2-4}{x-2}\).
Non vérifié
Indice
Factoriser \(x^2-4\) puis simplifier par \(x-2\) (pour \(x\neq 2\)).
Exercice 2. Une fonction \(f\) vérifie : \(\displaystyle \lim_{x\to 3} f(x)=5\) et \(f(3)=2\). \(f\) est-elle continue en \(3\) ?
Non vérifié
Indice
Test de continuité en \(a\) : \(\lim_{x\to a} f(x)=f(a)\).
Exercice 3. On sait que \(\displaystyle \lim_{x\to 1^-} g(x)=2\) et \(\lim_{x\to 1^+} g(x)=2\). Peut-on conclure que \(\lim_{x\to 1} g(x)=2\) ?
Non vérifié
Indice
La limite en \(1\) existe si les limites à gauche et à droite existent et sont égales.
Exercice 4. On sait que \(\displaystyle \lim_{x\to 1^-} h(x)=2\) et \(\lim_{x\to 1^+} h(x)=5\). La limite \(\lim_{x\to 1} h(x)\) existe-t-elle ?
Non vérifié
Indice
Comparer gauche et droite.
Exercice 5. Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{3x+1}{x+2}\).
Non vérifié
Indice
Diviser numérateur et dénominateur par \(x\).
Exercice 6. Si \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)= -2\), quelle est une asymptote horizontale possible ?
Non vérifié
Indice
Asymptote horizontale : \(y=L\) si la limite vaut \(L\).
Exercice 7. Déterminer \(\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{5x-7}{2x+1}\).
Non vérifié
Indice
Même méthode : diviser par \(x\).
Exercice 8. Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\).
Non vérifié
Indice
Multiplier par le conjugué pour éviter \(+\infty-\infty\).
Exercice 9. Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} x\left(\frac{1}{x+1}\right)\).
Non vérifié
Indice
Réécrire en quotient : \(\frac{x}{x+1}\).
Exercice 10. Évaluer \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x^2+1}{x}-x\right)\).
Non vérifié
Indice
Mettre au même dénominateur ou simplifier : \(\frac{x^2+1}{x}=x+\frac1x\).
Exercice 11. Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x-1}{x^2-1}\).
Non vérifié
Indice
Factoriser \(x^2-1=(x-1)(x+1)\).
Exercice 12. On définit \(f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}\) pour \(x\neq3\). Quelle valeur attribuer à \(f(3)\) pour rendre \(f\) continue en \(3\) ?
Non vérifié
Indice
Simplifier : \(x^2-9=(x-3)(x+3)\).
Exercice 13. Vrai ou faux : si \(f\) est continue en \(a\), alors \(\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)\) existe.
Non vérifié
Indice
Continuité = existence de la limite et égalité avec \(f(a)\).
Exercice 14. Lecture graphique (description) : quand \(x\to 2^+\), la courbe de \(f\) monte sans borne. Quelle limite écrire ?
Non vérifié
Indice
« Monte sans borne » = \(+\infty\). « à droite » = \(2^+\).
Exercice 15. Lecture graphique (description) : \(\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x)=4\). Interprétation : quelle droite est asymptote (à gauche) ?
Non vérifié
Indice
Asymptote horizontale : \(y=L\).
Exercice 16. Lecture graphique (description) : la courbe a un « trou » en \(x=1\) mais se rapproche de \(y=3\) quand \(x\to1\). Quelle est la limite \(\lim_{x\to1} f(x)\) ?
Non vérifié
Indice
La limite décrit le comportement près de 1, même si le point est manquant.
Exercice 17. Soit \(f\) continue sur \([0;2]\) avec \(f(0)=-1\) et \(f(2)=5\). Que peut-on affirmer à propos de l’équation \(f(x)=0\) sur \([0;2]\) ?
Non vérifié
Indice
TVI : si 0 est entre \(f(0)\) et \(f(2)\), alors il existe \(c\) tel que \(f(c)=0\).
Exercice 18. Rédaction Bac (à trous) : Compléter : « \(f\) est … sur \([a;b]\). De plus, \(f(a)=…\) et \(f(b)=…\). Comme \(0\in[\,…\,;…]\), alors, d’après le …, il existe \(c\in[a;b]\) tel que … »
Non vérifié
Indice
Mots attendus : continue, TVI, et la conclusion \(f(c)=0\).
Exercice 19. Soit \(u\) continue sur \([2;5]\) avec \(u(2)=7\) et \(u(5)=1\). Que garantit le TVI pour l’équation \(u(x)=4\) sur \([2;5]\) ?
Non vérifié
Indice
Vérifier que 4 est entre 7 et 1.
Exercice 20. Piège : on sait que \(f(0)=-1\) et \(f(2)=5\). Peut-on toujours conclure qu’il existe \(c\in[0;2]\) tel que \(f(c)=0\) ? (oui/non) Juste un mot.
Non vérifié
Indice
Le TVI exige la continuité sur \([0;2]\).