Exercices corrigés — Limites et continuité (Tle compl.)
Cette page propose des exercices corrigés de mathématiques en Terminale Maths complémentaires sur Limites et continuité. Tu vas t’entraîner sur notions essentielles du chapitre, méthodes attendues en Terminale Maths complémentaires, exemples guidés, exercices d’application avec des questions progressives et des corrections pour vérifier chaque étape.
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Exercices — Limites et continuité
Niveau Bac • Maths complémentaires : lecture graphique, continuité, TVI, transformations simples contre les formes indéterminées.
Exercice 1 — Limites en un point (intuitif)
On considère la fonction
\[
f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}\quad\text{pour }x\neq 2.
\]
- Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to 2} f(x)\).
- Peut-on définir \(f(2)\) pour rendre \(f\) continue en \(2\) ?
Correction (détaillée) :
1) On factorise : \[ x^2-4=(x-2)(x+2). \] Donc, pour \(x\neq 2\), \[ f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2. \] Ainsi, \[ \lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2}(x+2)=4. \] 2) La fonction n’est pas définie en \(2\) (division par zéro). Si l’on pose \(f(2)=4\), alors \(f\) devient continue en \(2\) car \[ \lim_{x\to 2} f(x)=4=f(2). \]
1) On factorise : \[ x^2-4=(x-2)(x+2). \] Donc, pour \(x\neq 2\), \[ f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2. \] Ainsi, \[ \lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2}(x+2)=4. \] 2) La fonction n’est pas définie en \(2\) (division par zéro). Si l’on pose \(f(2)=4\), alors \(f\) devient continue en \(2\) car \[ \lim_{x\to 2} f(x)=4=f(2). \]
✅ On peut rendre \(f\) continue en \(2\) en définissant \(f(2)=4\).
Exercice 2 — Limites à gauche / à droite
On définit \(g\) par :
\[
g(x)=
\begin{cases}
x+1 & \text{si } x<0 \\
2x+1 & \text{si } x\ge 0
\end{cases}
\]
- Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to 0^-} g(x)\) et \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+} g(x)\).
- La limite \(\displaystyle \lim_{x\to 0} g(x)\) existe-t-elle ?
- \(g\) est-elle continue en \(0\) ?
Correction :
1) Si \(x\to 0^-\), on utilise \(g(x)=x+1\), donc \[ \lim_{x\to 0^-} g(x)=\lim_{x\to 0^-}(x+1)=1. \] Si \(x\to 0^+\), on utilise \(g(x)=2x+1\), donc \[ \lim_{x\to 0^+} g(x)=\lim_{x\to 0^+}(2x+1)=1. \] 2) Les deux limites sont égales à \(1\), donc \[ \lim_{x\to 0} g(x)=1. \] 3) On calcule \(g(0)\) : comme \(0\ge 0\), \(g(0)=2\cdot 0+1=1\). Donc \[ \lim_{x\to 0} g(x)=1=g(0), \]
1) Si \(x\to 0^-\), on utilise \(g(x)=x+1\), donc \[ \lim_{x\to 0^-} g(x)=\lim_{x\to 0^-}(x+1)=1. \] Si \(x\to 0^+\), on utilise \(g(x)=2x+1\), donc \[ \lim_{x\to 0^+} g(x)=\lim_{x\to 0^+}(2x+1)=1. \] 2) Les deux limites sont égales à \(1\), donc \[ \lim_{x\to 0} g(x)=1. \] 3) On calcule \(g(0)\) : comme \(0\ge 0\), \(g(0)=2\cdot 0+1=1\). Donc \[ \lim_{x\to 0} g(x)=1=g(0), \]
✅ \(g\) est continue en \(0\).
Exercice 3 — Lecture graphique (limites & continuité)
On donne les informations suivantes sur la courbe de \(h\) :
- Quand \(x\to 1^-\), la courbe se rapproche du niveau \(y=2\).
- Quand \(x\to 1^+\), la courbe se rapproche du niveau \(y=5\).
- La valeur \(h(1)\) est définie et vaut \(4\).
- Déterminer \(\displaystyle \lim_{x\to 1^-} h(x)\) et \(\displaystyle \lim_{x\to 1^+} h(x)\).
- La limite \(\displaystyle \lim_{x\to 1} h(x)\) existe-t-elle ?
- La fonction \(h\) est-elle continue en \(1\) ? Justifier.
Correction :
1) \[ \lim_{x\to 1^-} h(x)=2 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to 1^+} h(x)=5. \] 2) Comme \(2\neq 5\), les limites à gauche et à droite sont différentes : \[ \lim_{x\to 1} h(x)\ \text{n’existe pas}. \] 3) Pour être continue en \(1\), il faudrait que la limite en \(1\) existe et soit égale à \(h(1)=4\). Or la limite n’existe pas, donc
1) \[ \lim_{x\to 1^-} h(x)=2 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to 1^+} h(x)=5. \] 2) Comme \(2\neq 5\), les limites à gauche et à droite sont différentes : \[ \lim_{x\to 1} h(x)\ \text{n’existe pas}. \] 3) Pour être continue en \(1\), il faudrait que la limite en \(1\) existe et soit égale à \(h(1)=4\). Or la limite n’existe pas, donc
❌ \(h\) n’est pas continue en \(1\) (discontinuité par saut).
Exercice 4 — Limite à l’infini et asymptote
On considère
\[
p(x)=\frac{3x+1}{x+2}.
\]
- Déterminer \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} p(x)\).
- En déduire une asymptote horizontale à la courbe de \(p\).
- Interpréter graphiquement ce résultat.
Correction :
On divise numérateur et dénominateur par \(x\) : \[ p(x)=\frac{3+\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}}. \] Quand \(x\to +\infty\), \(\frac{1}{x}\to 0\) et \(\frac{2}{x}\to 0\), donc \[ \lim_{x\to +\infty} p(x)=\frac{3+0}{1+0}=3. \] Ainsi, la droite \(y=3\) est une asymptote horizontale.
On divise numérateur et dénominateur par \(x\) : \[ p(x)=\frac{3+\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}}. \] Quand \(x\to +\infty\), \(\frac{1}{x}\to 0\) et \(\frac{2}{x}\to 0\), donc \[ \lim_{x\to +\infty} p(x)=\frac{3+0}{1+0}=3. \] Ainsi, la droite \(y=3\) est une asymptote horizontale.
✅ Graphiquement : la courbe se rapproche de la droite \(y=3\) quand \(x\) devient très grand.
Exercice 5 — Éviter \(+\infty-\infty\) (transformation simple)
Étudier la limite :
\[
\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right).
\]
Indication : on cherche à éviter la forme \(+\infty-\infty\).
Correction (méthode “conjugué”) :
Quand \(x\to +\infty\), \(\sqrt{x^2+x}\to +\infty\) et \(x\to +\infty\), donc on a une forme indéterminée \(+\infty-\infty\).
On multiplie par le conjugué : \[ \sqrt{x^2+x}-x =\frac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x} =\frac{x^2+x-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x} =\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}. \] On factorise \(x\) dans la racine : \[ \sqrt{x^2+x}=\sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x}\right)}=x\sqrt{1+\frac{1}{x}} \quad (x>0). \] Alors \[ \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x}}+x} =\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}. \] Quand \(x\to +\infty\), \(\frac{1}{x}\to 0\), donc \[ \lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{2}. \]
Quand \(x\to +\infty\), \(\sqrt{x^2+x}\to +\infty\) et \(x\to +\infty\), donc on a une forme indéterminée \(+\infty-\infty\).
On multiplie par le conjugué : \[ \sqrt{x^2+x}-x =\frac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x} =\frac{x^2+x-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x} =\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}. \] On factorise \(x\) dans la racine : \[ \sqrt{x^2+x}=\sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x}\right)}=x\sqrt{1+\frac{1}{x}} \quad (x>0). \] Alors \[ \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x}}+x} =\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}. \] Quand \(x\to +\infty\), \(\frac{1}{x}\to 0\), donc \[ \lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{2}. \]
✅ Limite : \(\boxed{\frac{1}{2}}\).
Exercice 6 — Éviter \(0\times\infty\) (réécriture en quotient)
Étudier :
\[
\lim_{x\to +\infty} x\left(\frac{1}{x+1}\right).
\]
On veut éviter une analyse “floue” du produit : on transforme en quotient simple.
Correction :
On réécrit : \[ x\cdot \frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1}. \] On divise numérateur et dénominateur par \(x\) : \[ \frac{x}{x+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}. \] Donc, quand \(x\to +\infty\), \[ \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1}{1+0}=1. \]
On réécrit : \[ x\cdot \frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1}. \] On divise numérateur et dénominateur par \(x\) : \[ \frac{x}{x+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}. \] Donc, quand \(x\to +\infty\), \[ \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1}{1+0}=1. \]
✅ Limite : \(\boxed{1}\).
Exercice 7 — TVI : existence d’une solution (rédaction type Bac)
On considère la fonction
\[
f(x)=x^3+x-1.
\]
- Montrer que \(f\) est continue sur \([0;1]\).
- Calculer \(f(0)\) et \(f(1)\).
- En déduire qu’il existe au moins un réel \(\alpha\in[0;1]\) tel que \(f(\alpha)=0\).
- (Bonus) Justifier qu’il n’y a qu’une seule solution sur \([0;1]\) (argument simple accepté).
Correction (rédaction Bac) :
1) Continuité. \(f(x)=x^3+x-1\) est un polynôme, donc \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\), en particulier sur \([0;1]\).
2) Valeurs aux bornes. \[ f(0)=0+0-1=-1 \qquad\text{et}\qquad f(1)=1+1-1=1. \]
3) Application du TVI. La fonction \(f\) est continue sur \([0;1]\) et \(0\in[-1;1]=[f(0);f(1)]\). Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe \(\alpha\in[0;1]\) tel que \(f(\alpha)=0\).
4) Bonus (unicité, argument simple). Sur \([0;1]\), la fonction \(x\mapsto x^3+x\) est strictement croissante, donc \(f(x)=x^3+x-1\) est strictement croissante. Une fonction strictement croissante ne peut couper l’axe des abscisses qu’une seule fois.
1) Continuité. \(f(x)=x^3+x-1\) est un polynôme, donc \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\), en particulier sur \([0;1]\).
2) Valeurs aux bornes. \[ f(0)=0+0-1=-1 \qquad\text{et}\qquad f(1)=1+1-1=1. \]
3) Application du TVI. La fonction \(f\) est continue sur \([0;1]\) et \(0\in[-1;1]=[f(0);f(1)]\). Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe \(\alpha\in[0;1]\) tel que \(f(\alpha)=0\).
4) Bonus (unicité, argument simple). Sur \([0;1]\), la fonction \(x\mapsto x^3+x\) est strictement croissante, donc \(f(x)=x^3+x-1\) est strictement croissante. Une fonction strictement croissante ne peut couper l’axe des abscisses qu’une seule fois.
✅ Il existe une unique solution \(\alpha\in[0;1]\).
Exercice 8 — TVI + lecture graphique (horizontale)
On sait qu’une fonction \(u\) est continue sur \([2;5]\) et que
\[
u(2)=7 \quad \text{et} \quad u(5)=1.
\]
- Montrer qu’il existe au moins un \(c\in[2;5]\) tel que \(u(c)=4\).
- Interpréter graphiquement ce résultat.
Correction :
1) \(u\) est continue sur \([2;5]\). Or \(4\in[1;7]=[u(5);u(2)]\). Donc, par TVI, il existe \(c\in[2;5]\) tel que \(u(c)=4\).
2) Graphiquement : la droite horizontale \(y=4\) coupe la courbe de \(u\) au moins une fois entre les abscisses \(2\) et \(5\).
1) \(u\) est continue sur \([2;5]\). Or \(4\in[1;7]=[u(5);u(2)]\). Donc, par TVI, il existe \(c\in[2;5]\) tel que \(u(c)=4\).
2) Graphiquement : la droite horizontale \(y=4\) coupe la courbe de \(u\) au moins une fois entre les abscisses \(2\) et \(5\).
✅ Existence d’une intersection assurée.
Bilan :
Tu sais maintenant calculer des limites simples, lire limites/continuité sur un graphe,
identifier une asymptote horizontale, et utiliser le TVI pour garantir l’existence de solutions.
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