Exercices — Limites et continuité
Niveau Bac • Maths complémentaires : lecture graphique, continuité, TVI, transformations simples contre les formes indéterminées.
Exercice 1 — Limites en un point (intuitif)
On considère la fonction
\[
f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}\quad\text{pour }x\neq 2.
\]
- Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to 2} f(x)\).
- Peut-on définir \(f(2)\) pour rendre \(f\) continue en \(2\) ?
Correction (détaillée) :
1) On factorise : \[ x^2-4=(x-2)(x+2). \] Donc, pour \(x\neq 2\), \[ f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2. \] Ainsi, \[ \lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2}(x+2)=4. \] 2) La fonction n’est pas définie en \(2\) (division par zéro). Si l’on pose \(f(2)=4\), alors \(f\) devient continue en \(2\) car \[ \lim_{x\to 2} f(x)=4=f(2). \]
1) On factorise : \[ x^2-4=(x-2)(x+2). \] Donc, pour \(x\neq 2\), \[ f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2. \] Ainsi, \[ \lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2}(x+2)=4. \] 2) La fonction n’est pas définie en \(2\) (division par zéro). Si l’on pose \(f(2)=4\), alors \(f\) devient continue en \(2\) car \[ \lim_{x\to 2} f(x)=4=f(2). \]
✅ On peut rendre \(f\) continue en \(2\) en définissant \(f(2)=4\).
Exercice 2 — Limites à gauche / à droite
On définit \(g\) par :
\[
g(x)=
\begin{cases}
x+1 & \text{si } x<0 \\
2x+1 & \text{si } x\ge 0
\end{cases}
\]
- Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to 0^-} g(x)\) et \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+} g(x)\).
- La limite \(\displaystyle \lim_{x\to 0} g(x)\) existe-t-elle ?
- \(g\) est-elle continue en \(0\) ?
Correction :
1) Si \(x\to 0^-\), on utilise \(g(x)=x+1\), donc \[ \lim_{x\to 0^-} g(x)=\lim_{x\to 0^-}(x+1)=1. \] Si \(x\to 0^+\), on utilise \(g(x)=2x+1\), donc \[ \lim_{x\to 0^+} g(x)=\lim_{x\to 0^+}(2x+1)=1. \] 2) Les deux limites sont égales à \(1\), donc \[ \lim_{x\to 0} g(x)=1. \] 3) On calcule \(g(0)\) : comme \(0\ge 0\), \(g(0)=2\cdot 0+1=1\). Donc \[ \lim_{x\to 0} g(x)=1=g(0), \]
1) Si \(x\to 0^-\), on utilise \(g(x)=x+1\), donc \[ \lim_{x\to 0^-} g(x)=\lim_{x\to 0^-}(x+1)=1. \] Si \(x\to 0^+\), on utilise \(g(x)=2x+1\), donc \[ \lim_{x\to 0^+} g(x)=\lim_{x\to 0^+}(2x+1)=1. \] 2) Les deux limites sont égales à \(1\), donc \[ \lim_{x\to 0} g(x)=1. \] 3) On calcule \(g(0)\) : comme \(0\ge 0\), \(g(0)=2\cdot 0+1=1\). Donc \[ \lim_{x\to 0} g(x)=1=g(0), \]
✅ \(g\) est continue en \(0\).
Exercice 3 — Lecture graphique (limites & continuité)
On donne les informations suivantes sur la courbe de \(h\) :
- Quand \(x\to 1^-\), la courbe se rapproche du niveau \(y=2\).
- Quand \(x\to 1^+\), la courbe se rapproche du niveau \(y=5\).
- La valeur \(h(1)\) est définie et vaut \(4\).
- Déterminer \(\displaystyle \lim_{x\to 1^-} h(x)\) et \(\displaystyle \lim_{x\to 1^+} h(x)\).
- La limite \(\displaystyle \lim_{x\to 1} h(x)\) existe-t-elle ?
- La fonction \(h\) est-elle continue en \(1\) ? Justifier.
Correction :
1) \[ \lim_{x\to 1^-} h(x)=2 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to 1^+} h(x)=5. \] 2) Comme \(2\neq 5\), les limites à gauche et à droite sont différentes : \[ \lim_{x\to 1} h(x)\ \text{n’existe pas}. \] 3) Pour être continue en \(1\), il faudrait que la limite en \(1\) existe et soit égale à \(h(1)=4\). Or la limite n’existe pas, donc
1) \[ \lim_{x\to 1^-} h(x)=2 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to 1^+} h(x)=5. \] 2) Comme \(2\neq 5\), les limites à gauche et à droite sont différentes : \[ \lim_{x\to 1} h(x)\ \text{n’existe pas}. \] 3) Pour être continue en \(1\), il faudrait que la limite en \(1\) existe et soit égale à \(h(1)=4\). Or la limite n’existe pas, donc
❌ \(h\) n’est pas continue en \(1\) (discontinuité par saut).
Exercice 4 — Limite à l’infini et asymptote
On considère
\[
p(x)=\frac{3x+1}{x+2}.
\]
- Déterminer \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} p(x)\).
- En déduire une asymptote horizontale à la courbe de \(p\).
- Interpréter graphiquement ce résultat.
Correction :
On divise numérateur et dénominateur par \(x\) : \[ p(x)=\frac{3+\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}}. \] Quand \(x\to +\infty\), \(\frac{1}{x}\to 0\) et \(\frac{2}{x}\to 0\), donc \[ \lim_{x\to +\infty} p(x)=\frac{3+0}{1+0}=3. \] Ainsi, la droite \(y=3\) est une asymptote horizontale.
On divise numérateur et dénominateur par \(x\) : \[ p(x)=\frac{3+\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}}. \] Quand \(x\to +\infty\), \(\frac{1}{x}\to 0\) et \(\frac{2}{x}\to 0\), donc \[ \lim_{x\to +\infty} p(x)=\frac{3+0}{1+0}=3. \] Ainsi, la droite \(y=3\) est une asymptote horizontale.
✅ Graphiquement : la courbe se rapproche de la droite \(y=3\) quand \(x\) devient très grand.
Exercice 5 — Éviter \(+\infty-\infty\) (transformation simple)
Étudier la limite :
\[
\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right).
\]
Indication : on cherche à éviter la forme \(+\infty-\infty\).
Correction (méthode “conjugué”) :
Quand \(x\to +\infty\), \(\sqrt{x^2+x}\to +\infty\) et \(x\to +\infty\), donc on a une forme indéterminée \(+\infty-\infty\).
On multiplie par le conjugué : \[ \sqrt{x^2+x}-x =\frac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x} =\frac{x^2+x-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x} =\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}. \] On factorise \(x\) dans la racine : \[ \sqrt{x^2+x}=\sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x}\right)}=x\sqrt{1+\frac{1}{x}} \quad (x>0). \] Alors \[ \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x}}+x} =\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}. \] Quand \(x\to +\infty\), \(\frac{1}{x}\to 0\), donc \[ \lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{2}. \]
Quand \(x\to +\infty\), \(\sqrt{x^2+x}\to +\infty\) et \(x\to +\infty\), donc on a une forme indéterminée \(+\infty-\infty\).
On multiplie par le conjugué : \[ \sqrt{x^2+x}-x =\frac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x} =\frac{x^2+x-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x} =\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}. \] On factorise \(x\) dans la racine : \[ \sqrt{x^2+x}=\sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x}\right)}=x\sqrt{1+\frac{1}{x}} \quad (x>0). \] Alors \[ \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x}}+x} =\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}. \] Quand \(x\to +\infty\), \(\frac{1}{x}\to 0\), donc \[ \lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{2}. \]
✅ Limite : \(\boxed{\frac{1}{2}}\).
Exercice 6 — Éviter \(0\times\infty\) (réécriture en quotient)
Étudier :
\[
\lim_{x\to +\infty} x\left(\frac{1}{x+1}\right).
\]
On veut éviter une analyse “floue” du produit : on transforme en quotient simple.
Correction :
On réécrit : \[ x\cdot \frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1}. \] On divise numérateur et dénominateur par \(x\) : \[ \frac{x}{x+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}. \] Donc, quand \(x\to +\infty\), \[ \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1}{1+0}=1. \]
On réécrit : \[ x\cdot \frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1}. \] On divise numérateur et dénominateur par \(x\) : \[ \frac{x}{x+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}. \] Donc, quand \(x\to +\infty\), \[ \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1}{1+0}=1. \]
✅ Limite : \(\boxed{1}\).
Exercice 7 — TVI : existence d’une solution (rédaction type Bac)
On considère la fonction
\[
f(x)=x^3+x-1.
\]
- Montrer que \(f\) est continue sur \([0;1]\).
- Calculer \(f(0)\) et \(f(1)\).
- En déduire qu’il existe au moins un réel \(\alpha\in[0;1]\) tel que \(f(\alpha)=0\).
- (Bonus) Justifier qu’il n’y a qu’une seule solution sur \([0;1]\) (argument simple accepté).
Correction (rédaction Bac) :
1) Continuité. \(f(x)=x^3+x-1\) est un polynôme, donc \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\), en particulier sur \([0;1]\).
2) Valeurs aux bornes. \[ f(0)=0+0-1=-1 \qquad\text{et}\qquad f(1)=1+1-1=1. \]
3) Application du TVI. La fonction \(f\) est continue sur \([0;1]\) et \(0\in[-1;1]=[f(0);f(1)]\). Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe \(\alpha\in[0;1]\) tel que \(f(\alpha)=0\).
4) Bonus (unicité, argument simple). Sur \([0;1]\), la fonction \(x\mapsto x^3+x\) est strictement croissante, donc \(f(x)=x^3+x-1\) est strictement croissante. Une fonction strictement croissante ne peut couper l’axe des abscisses qu’une seule fois.
1) Continuité. \(f(x)=x^3+x-1\) est un polynôme, donc \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\), en particulier sur \([0;1]\).
2) Valeurs aux bornes. \[ f(0)=0+0-1=-1 \qquad\text{et}\qquad f(1)=1+1-1=1. \]
3) Application du TVI. La fonction \(f\) est continue sur \([0;1]\) et \(0\in[-1;1]=[f(0);f(1)]\). Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe \(\alpha\in[0;1]\) tel que \(f(\alpha)=0\).
4) Bonus (unicité, argument simple). Sur \([0;1]\), la fonction \(x\mapsto x^3+x\) est strictement croissante, donc \(f(x)=x^3+x-1\) est strictement croissante. Une fonction strictement croissante ne peut couper l’axe des abscisses qu’une seule fois.
✅ Il existe une unique solution \(\alpha\in[0;1]\).
Exercice 8 — TVI + lecture graphique (horizontale)
On sait qu’une fonction \(u\) est continue sur \([2;5]\) et que
\[
u(2)=7 \quad \text{et} \quad u(5)=1.
\]
- Montrer qu’il existe au moins un \(c\in[2;5]\) tel que \(u(c)=4\).
- Interpréter graphiquement ce résultat.
Correction :
1) \(u\) est continue sur \([2;5]\). Or \(4\in[1;7]=[u(5);u(2)]\). Donc, par TVI, il existe \(c\in[2;5]\) tel que \(u(c)=4\).
2) Graphiquement : la droite horizontale \(y=4\) coupe la courbe de \(u\) au moins une fois entre les abscisses \(2\) et \(5\).
1) \(u\) est continue sur \([2;5]\). Or \(4\in[1;7]=[u(5);u(2)]\). Donc, par TVI, il existe \(c\in[2;5]\) tel que \(u(c)=4\).
2) Graphiquement : la droite horizontale \(y=4\) coupe la courbe de \(u\) au moins une fois entre les abscisses \(2\) et \(5\).
✅ Existence d’une intersection assurée.
Bilan :
Tu sais maintenant calculer des limites simples, lire limites/continuité sur un graphe,
identifier une asymptote horizontale, et utiliser le TVI pour garantir l’existence de solutions.