Convexite — Learna

Exercices premium — La fonction \(\ln\)

8 exercices (progressifs + pièges) avec corrigés détaillés : domaine, dérivation, limites, équations & inéquations. Corrigés en “Afficher / Masquer” (sans JS).

Exercice 1 — Domaine & simplification (pièges)

Énoncé. Déterminer le domaine de définition de :

\[ f(x)=\ln(2x-3)+\ln(5-x)-\ln(x+1) \]

Puis simplifier \(f(x)\) en une seule expression logarithmique.

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1) Domaine

On impose les arguments strictement positifs :

\[ \begin{cases} 2x-3>0\\ 5-x>0\\ x+1>0 \end{cases} \iff \begin{cases} x>\dfrac32\\ x<5\\ x>-1 \end{cases} \]

Donc \(\mathrm{Dom}(f)=\boxed{\left(\dfrac32;5\right)}\).

2) Simplification

\[ f(x)=\ln(2x-3)+\ln(5-x)-\ln(x+1) =\ln\!\left(\frac{(2x-3)(5-x)}{x+1}\right) \]

Cette écriture est valide sur \(\left(\dfrac32;5\right)\) (tous les arguments y sont \(>0\)).

Réponse : \(\boxed{f(x)=\ln\!\left(\dfrac{(2x-3)(5-x)}{x+1}\right)}\).

Exercice 2 — Dériver (composées) + domaine

Énoncé. Pour chaque fonction, donner le domaine puis calculer la dérivée :

\[ g(x)=\ln(1-2x),\qquad h(x)=\ln(x^2-4x+5),\qquad p(x)=\ln\!\left(\frac{x-1}{x+2}\right) \]

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1) \(g(x)=\ln(1-2x)\)

Domaine : \(1-2x>0\iff x<\dfrac12\) donc \(\boxed{(-\infty;\tfrac12)}\).

\[ g'(x)=\frac{(1-2x)'}{1-2x}=\frac{-2}{1-2x} \]

2) \(h(x)=\ln(x^2-4x+5)\)

\(x^2-4x+5=(x-2)^2+1>0\) pour tout \(x\). Domaine : \(\boxed{\mathbb{R}}\).

\[ h'(x)=\frac{2x-4}{x^2-4x+5} \]

3) \(p(x)=\ln\!\left(\dfrac{x-1}{x+2}\right)\)

Domaine : \(\dfrac{x-1}{x+2}>0\) et \(x\ne -2\). Zéros / interdits : \(x=1\) et \(x=-2\).

\(\dfrac{x-1}{x+2}>0\) quand numérateur et dénominateur ont le même signe : \(x>1\) ou \(x<-2\).

Donc \(\boxed{\mathrm{Dom}(p)=(-\infty;-2)\cup(1;+\infty)}\).

Dérivation : sur le domaine, \(p(x)=\ln(x-1)-\ln(x+2)\).

\[ p'(x)=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+2} =\frac{3}{(x-1)(x+2)} \]

Exercice 3 — Limites & asymptotes (0⁺ et +∞)

Énoncé. Calculer :

\[ \lim_{x\to 0^+}\ln(3x),\qquad \lim_{x\to 0^+}\left(\ln(x)+\frac{1}{x}\right),\qquad \lim_{x\to +\infty}\ln\!\left(\frac{x}{x+1}\right) \]

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1) \(\lim_{x\to 0^+}\ln(3x)\)

Quand \(x\to 0^+\), \(3x\to 0^+\) donc \(\ln(3x)\to -\infty\).

Réponse : \(\boxed{-\infty}\).

2) \(\lim_{x\to 0^+}\left(\ln(x)+\dfrac{1}{x}\right)\)

Quand \(x\to 0^+\), \(\ln(x)\to -\infty\) et \(\dfrac1x\to +\infty\) : forme indéterminée \((-\infty)+(+\infty)\).

Mais près de \(0\), \(\dfrac{1}{x}\) domine fortement \(|\ln(x)|\) (croissance bien plus rapide). Donc la somme tend vers \(+\infty\).

Réponse : \(\boxed{+\infty}\).

3) \(\lim_{x\to +\infty}\ln\!\left(\dfrac{x}{x+1}\right)\)

\[ \frac{x}{x+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\xrightarrow[x\to+\infty]{}1 \]

Donc \(\ln\!\left(\dfrac{x}{x+1}\right)\to \ln(1)=0\).

Réponse : \(\boxed{0}\).

Exercice 4 — Équation \(\ln(A)=\ln(B)\) (domaine obligatoire)

Énoncé. Résoudre sur \(\mathbb{R}\) :

\[ \ln(x^2-5x+6)=\ln(2) \]

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1) Domaine

\[ x^2-5x+6>0 \iff (x-2)(x-3)>0 \]

Produit \(>0\) quand les facteurs ont le même signe :

\[ x<2\ \text{ou}\ x>3 \]

Domaine : \(\boxed{(-\infty;2)\cup(3;+\infty)}\).

2) Résolution

Sur le domaine, \(\ln\) est injective : \(\ln(A)=\ln(B)\iff A=B\).

\[ x^2-5x+6=2 \iff x^2-5x+4=0 \] \[ \Delta=25-16=9,\quad x=\frac{5\pm 3}{2}\Rightarrow x=1\ \text{ou}\ x=4 \]

Vérification : \(1<2\) OK, \(4>3\) OK.

Solutions : \(\boxed{\{1,\ 4\}}\).

Exercice 5 — Inéquation \(\ln(u)\ge 0\) (piège classique)

Énoncé. Résoudre :

\[ \ln\!\left(\frac{2x+1}{x-2}\right)\ge 0 \]

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Étape 1 — Domaine

Il faut \(\dfrac{2x+1}{x-2}>0\) et \(x\ne 2\). Zéros / interdits : \(x=-\dfrac12\) et \(x=2\).

Résultat du signe : \(\dfrac{2x+1}{x-2}>0\) sur \(\boxed{(-\infty;-\tfrac12)\cup(2;+\infty)}\).

Étape 2 — Inéquation

Pour \(t>0\), \(\ln(t)\ge 0 \iff t\ge 1\).

\[ \ln\!\left(\frac{2x+1}{x-2}\right)\ge 0 \iff \frac{2x+1}{x-2}\ge 1 \] \[ \frac{2x+1}{x-2}-1=\frac{2x+1-(x-2)}{x-2}=\frac{x+3}{x-2}\ge 0 \]

Zéro : \(x=-3\). Interdit : \(x=2\). Donc \(\dfrac{x+3}{x-2}\ge 0\) sur \(\boxed{(-\infty;-3]\cup(2;+\infty)}\).

Étape 3 — Intersection avec le domaine

Domaine : \((-\infty;-\tfrac12)\cup(2;+\infty)\). Inéquation : \((-\infty;-3]\cup(2;+\infty)\).

Solution : \(\boxed{(-\infty;-3]\cup(2;+\infty)}\).

Exercice 6 — Étude de fonction (variations) avec \(\ln\)

Énoncé. Soit \(f(x)=\ln(x)-\dfrac{2}{x}\) définie sur \((0;+\infty)\).

Calculer \(f'(x)\) et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations.
Résoudre \(f(x)=0\) (localisation + argument de monotonie).

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1) Dérivée et signe

\[ f'(x)=\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}=\frac{x+2}{x^2} \]

Pour \(x>0\), \(x^2>0\) et \(x+2>0\), donc \(\boxed{f'(x)>0}\) sur \((0;+\infty)\). Ainsi \(f\) est strictement croissante.

2) Limites et variations

\(x\to0^+\) : \(\ln(x)\to-\infty\) et \(-\dfrac{2}{x}\to-\infty\) donc \(\boxed{f(x)\to-\infty}\).

\(x\to+\infty\) : \(\ln(x)\to+\infty\) et \(-\dfrac{2}{x}\to0\) donc \(\boxed{f(x)\to+\infty}\).

\(f\) croît de \(-\infty\) vers \(+\infty\) : l’équation \(f(x)=0\) a une unique solution.

3) Localisation de la solution

\[ f(2)=\ln(2)-1\approx 0{,}693-1<0 \] \[ f(3)=\ln(3)-\frac{2}{3}\approx 1{,}099-0{,}667>0 \]

Comme \(f\) est croissante, l’unique solution \(\alpha\) vérifie \(\boxed{\alpha\in(2;3)}\).

Exercice 7 — Inégalité logarithmique (comparaison + domaine)

Énoncé. Résoudre :

\[ \ln(x^2-1) < \ln(3x-2) \]

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1) Domaine

\[ x^2-1>0 \iff x<-1\ \text{ou}\ x>1 \] \[ 3x-2>0 \iff x>\frac23 \]

Domaine commun : \(\boxed{(1;+\infty)}\) (car si \(x<-1\), alors \(3x-2<0\)).

2) Comparaison (ln croissante)

\[ \ln(x^2-1) < \ln(3x-2) \iff x^2-1 < 3x-2 \] \[ \iff x^2-3x+1<0 \]

Racines : \(\Delta=9-4=5\), donc \[ x=\frac{3\pm\sqrt5}{2} \] Comme le coefficient de \(x^2\) est positif, \[ x^2-3x+1<0 \iff x\in\left(\frac{3-\sqrt5}{2}\ ;\ \frac{3+\sqrt5}{2}\right) \]

Intersection avec \((1;+\infty)\) : \[ \boxed{x\in\left(1\ ;\ \frac{3+\sqrt5}{2}\right)} \]

Exercice 8 — Challenge 19–20/20 (ln + exp, piège de domaine)

Énoncé. Résoudre sur \(\mathbb{R}\) :

\[ \ln(x-1)=2-\ln(5-x) \]

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1) Domaine

\[ x-1>0 \iff x>1,\qquad 5-x>0 \iff x<5 \]

Donc \(\boxed{x\in(1;5)}\).

2) Réécriture

\[ \ln(x-1)=2-\ln(5-x) \iff \ln(x-1)+\ln(5-x)=2 \] \[ \iff \ln\!\big((x-1)(5-x)\big)=2 \]

3) Résolution

\[ \ln\!\big((x-1)(5-x)\big)=2 \iff (x-1)(5-x)=e^2 \] \[ (x-1)(5-x)=-x^2+6x-5 \] \[ -x^2+6x-5=e^2 \iff x^2-6x+(5+e^2)=0 \] \[ \Delta=36-4(5+e^2)=16-4e^2=4(4-e^2)<0 \]

Donc aucune solution réelle. Conclusion : \(\boxed{\varnothing}\).

Bonus (lecture intelligente)

Sur \((1;5)\), le produit \((x-1)(5-x)\) est maximal en \(x=3\) et vaut \(4\). Or \(e^2\approx 7{,}389>4\) ⇒ impossible.