Exercices corrigés — Convexité (Tle compl.)
Soit \(f(x)=x^2-4x+1\). Étudier la convexité de \(f\) sur \(\mathbb R\).
Correction
On a \(f'(x)=2x-4\), puis \(f''(x)=2\). Comme \(f''(x)>0\) pour tout \(x\), la fonction est convexe sur \(\mathbb R\).
Soit \(g(x)=-x^2+3x+2\). Étudier la convexité de \(g\).
Correction
\(g''(x)=-2<0\). La fonction est donc concave sur \(\mathbb R\).
Soit \(h(x)=x^3-3x\). Déterminer l’éventuel point d’inflexion.
Correction
\(h'(x)=3x^2-3\), puis \(h''(x)=6x\). La dérivée seconde change de signe en \(0\), donc il y a un point d’inflexion d’abscisse \(0\). Son ordonnée vaut \(h(0)=0\).
On admet qu’une fonction \(f\) est convexe sur un intervalle \(I\). Que peut-on dire de sa courbe par rapport à ses tangentes sur \(I\) ?
Correction
Pour une fonction convexe, la courbe représentative est située au-dessus de chacune de ses tangentes sur l’intervalle considéré.