Fiche — Limites et continuité
Tableaux essentiels • méthodes rapides • pièges classiques • TVI.
Terminale • Maths complémentaires
0) Vocabulaire express
- Voisinage de \(a\) : valeurs de \(x\) très proches de \(a\) (mais pas forcément \(x=a\)).
- Limite : valeur vers laquelle \(f(x)\) se rapproche lorsque \(x\) se rapproche de \(a\) (ou \(\pm\infty\)).
- Continuité en \(a\) : pas de rupture au point \(a\).
- Asymptote horizontale : droite \(y=L\) si \(\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=L\).
1) Tableau — limites : définitions utiles
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\textbf{Écriture} & \textbf{Lecture / sens} \\
\hline
\lim_{x\to a} f(x)=L & f(x)\ \text{se rapproche de}\ L\ \text{quand}\ x\ \text{se rapproche de}\ a \\
\hline
\lim_{x\to a^-} f(x)=L & \text{limite à gauche : } xa\ \text{et}\ x\to a \\
\hline
\lim_{x\to +\infty} f(x)=L & f(x)\ \text{se stabilise vers}\ L\ \text{quand}\ x\ \text{grandit} \\
\hline
\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty & f(x)\ \text{augmente sans borne} \\
\hline
\end{array}
\]
⚠️ Existence : \(\lim_{x\to a} f(x)\) existe
ssi \(\lim_{x\to a^-} f(x)\) et \(\lim_{x\to a^+} f(x)\) existent et sont égales.
2) Tableau — opérations sur les limites (quand ça marche)
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\textbf{Si } \lim f = A \text{ et } \lim g = B & \textbf{Alors} \\
\hline
\lim (f+g) & A+B \\
\hline
\lim (f-g) & A-B \\
\hline
\lim (\lambda f) & \lambda A \\
\hline
\lim (f\cdot g) & A\cdot B \\
\hline
\text{Si } B\neq 0,\ \lim\left(\frac{f}{g}\right) & \frac{A}{B} \\
\hline
\end{array}
\]
Pièges “formes indéterminées” (à traiter autrement) :
- \(+\infty - \infty\)
- \(\dfrac{\infty}{\infty}\)
- \(0\times \infty\)
3) Continuité : le test en 10 secondes
\[
f\ \text{est continue en}\ a \iff
\left\{
\begin{array}{l}
f(a)\ \text{existe} \\
\lim_{x\to a} f(x)\ \text{existe} \\
\lim_{x\to a} f(x)=f(a)
\end{array}
\right.
\]
Lecture graphique :
- trou (point manquant) → pas continue
- saut (limites gauche/droite différentes) → pas continue
- pointe possible mais peut rester continue (on ne parle pas de dérivabilité ici)
4) TVI : version “outil” (à appliquer en Bac)
\[
\text{Si } f \text{ est continue sur } [a;b]
\text{ et } k\in [f(a);f(b)] \text{ alors }
\exists c\in [a;b]\ \text{tel que } f(c)=k.
\]
✅ Cas le plus fréquent : montrer qu’une équation \(f(x)=0\) a une solution sur \([a;b]\).
Méthode TVI (plan de rédaction court) :
- Vérifier/affirmer : \(f\) est continue sur \([a;b]\).
- Calculer \(f(a)\) et \(f(b)\).
- Montrer que \(0\in [f(a);f(b)]\) (donc \(f(a)\) et \(f(b)\) de signes opposés ou l’un vaut 0).
- Conclure : il existe \(c\in [a;b]\) tel que \(f(c)=0\).
5) Checklist — interprétation graphique
- Limite en \(a\) : regarder ce que devient \(y\) quand \(x\) se rapproche de \(a\) (gauche/droite).
- Limite finie : la courbe se rapproche d’un niveau \(y=L\) près de \(a\).
- Limite infinie : la courbe “part” vers le haut/bas près de \(a\).
- Continuité : pas de rupture au point d’abscisse \(a\).
- TVI : si la courbe est continue sur \([a;b]\), une horizontale \(y=k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\) coupe la courbe au moins une fois.
6) Pièges classiques (à éviter)
- Confondre limite et valeur : \(\lim_{x\to a} f(x)\) peut exister sans que \(f(a)\) existe.
- Oublier la condition du TVI : il faut \(f\) continue sur \([a;b]\).
- Dire “il y a une solution” sans vérifier que \(0\) est entre \(f(a)\) et \(f(b)\).
- Conclure “limite existe” sans comparer gauche et droite.
Résumé :
\(\lim\) décrit le comportement de \(f(x)\) quand \(x\) approche un point ou \(\pm\infty\) ;
\(f\) est continue en \(a\) si \(\lim_{x\to a} f(x)=f(a)\) ;
le TVI garantit l’existence d’une solution à \(f(x)=k\) sur \([a;b]\) si \(k\) est entre \(f(a)\) et \(f(b)\).