Calcul Integral
TERMINALE-MATHS-COMPLEMENTAIRES • MATHS — Learna
Fiche ultra-synthèse — Calcul intégral
Intégrales • aires • propriétés • applications — l’essentiel pour réussir au Bac.
1) Intégrale définie — l’idée clé
Pour une fonction continue \(f\) sur \([a ; b]\),
\[
\int_a^b f(x)\,dx
\]
représente l’aire signée comprise entre la courbe \(y=f(x)\),
l’axe des abscisses et les droites \(x=a\) et \(x=b\).
Interprétation rapide
\(f(x)\ge 0\) ⇒ aire positive.
\(f(x)\le 0\) ⇒ aire négative.
Changement de signe ⇒ compensations possibles.
2) Formule fondamentale (primitives)
Formule clé
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \([a ; b]\), alors :
\[
\boxed{\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)}
\]
Méthode express (4 étapes)
1) Trouver une primitive \(F\).
2) Calculer \(F(b)\).
3) Calculer \(F(a)\).
4) Faire \(F(b)-F(a)\).
3) Propriétés indispensables
Linéarité
\[
\int_a^b (\alpha f+\beta g)
= \alpha\int_a^b f + \beta\int_a^b g
\]
Additivité
\[
\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f
\]
Bornes inversées
\[
\int_a^b f = -\int_b^a f
\]
Encadrement
Si \(m\le f(x)\le M\) sur \([a ; b]\),
\[
m(b-a)\le \int_a^b f(x)\,dx \le M(b-a)
\]
4) Aires — les 3 cas types
Aire sous une courbe
Si \(f(x)\ge 0\) sur \([a ; b]\) :
\[
A = \int_a^b f(x)\,dx
\]
Aire géométrique
Si \(f\) change de signe :
\[
A = \int_a^b |f(x)|\,dx
\]
Aire entre deux courbes
Si \(f(x)\ge g(x)\) sur \([a ; b]\) :
\[
A = \int_a^b (f(x)-g(x))\,dx
\]
À toujours vérifier
Les points d’intersection.
Quelle courbe est au-dessus.
Les changements de signe.
5) Applications concrètes
Distance
Si \(v(t)\ge 0\),
\[
d=\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt
\]
Quantité / production
\[
Q=\int_{t_1}^{t_2} r(t)\,dt
\]
6) Checklist Bac — intégrales & aires
☑ Intervalle \([a ; b]\) clairement défini.
☑ Signe de la fonction étudié.
☑ Bonne formule choisie (\(\int f\), \(\int |f|\), \(\int(f-g)\)).
☑ Primitive correcte.
☑ Conclusion rédigée + unité si contexte.
Erreurs éliminatoires
Oublier les valeurs absolues quand \(f\) change de signe.
Inverser les bornes sans changer le signe.
Donner un nombre sans phrase finale.