- Comprendre ce qu’est une densité et pourquoi une probabilité se lit comme une aire.
- Savoir calculer des probabilités avec une densité : intégrales et lecture graphique.
- Maîtriser la loi uniforme sur \([a ; b]\) : densité, espérance, interprétation.
- Maîtriser la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) : densité, fonction de répartition, espérance.
- Interpréter la loi exponentielle comme un temps d’attente (pannes, appels, arrivées...).
Si \(f(x)\ge 0\) sur \([a ; b]\), alors \[ \int_a^b f(x)\,dx \] représente l’aire sous la courbe \(y=f(x)\) entre \(x=a\) et \(x=b\).
Pour une variable aléatoire continue, on calcule \(P(\alpha \le X \le \beta)\) comme une aire sous une densité \(f\).
Une variable aléatoire \(X\) admet une densité \(f\) si :
- \(f(x)\ge 0\) pour tout \(x\) (densité \(\Rightarrow\) jamais négative),
- \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1\) (aire totale = 1),
- pour tous réels \(\alpha \le \beta\) : \[ P(\alpha \le X \le \beta)=\int_\alpha^\beta f(x)\,dx. \]
\(P(\alpha \le X \le \beta)\) est l’aire sous la courbe \(y=f(x)\) entre \(\alpha\) et \(\beta\).
Plus l’aire est grande, plus l’événement \(\{\alpha \le X \le \beta\}\) est probable.
- \(P(X=a)=0\).
- \(P(\alpha
- \(P(X\in I)\) = aire sur l’intervalle \(I\).
On définit \(F(x)=P(X\le x)\). Si \(X\) a pour densité \(f\), alors : \[ F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt. \]
En Terminale MC, on l’utilise surtout comme outil pour calculer des probabilités, notamment pour la loi exponentielle.
Une loi uniforme signifie : toutes les valeurs de \([a ; b]\) sont “aussi probables”. Graphiquement, la densité est une constante sur \([a ; b]\) : un rectangle.
Si \(X \sim \mathcal U([a ; b])\), alors la densité vaut : \[ f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{b-a} & \text{si } x\in [a ; b],\\[6pt] 0 & \text{sinon.} \end{cases} \]
Vérification : l’aire totale vaut \[ \int_a^b \frac{1}{b-a}\,dx = \frac{b-a}{b-a}=1. \]
Pour \(\alpha,\beta \in [a ; b]\) avec \(\alpha \le \beta\), \[ P(\alpha \le X \le \beta)=\int_\alpha^\beta \frac{1}{b-a}\,dx =\frac{\beta-\alpha}{b-a}. \]
Si \(X \sim \mathcal U([a ; b])\), alors \[ \mathbb E(X)=\frac{a+b}{2}. \] Interprétation : le “centre” de l’intervalle.
On suppose \(X \sim \mathcal U([10 ; 18])\). Calculer \(P(12 \le X \le 15)\).
La loi exponentielle modélise un temps d’attente jusqu’à un événement : panne d’un appareil, temps entre deux appels, durée avant arrivée d’un client, etc.
On note \(X \sim \mathcal E(\lambda)\) avec \(\lambda>0\) (paramètre, “rythme” moyen).
\[ f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & \text{si } x\ge 0,\\ 0 & \text{si } x<0. \end{cases} \]
Aire totale : \[ \int_0^{+\infty} \lambda e^{-\lambda x}\,dx = 1. \]
Pour \(x\ge 0\), \[ F(x)=P(X\le x)=\int_0^x \lambda e^{-\lambda t}\,dt =1-e^{-\lambda x}. \]
Donc, pour \(x\ge 0\), \[ P(X>x)=1-F(x)=e^{-\lambda x}. \]
Pour \(x\ge 0\), \[ P(X>x)=e^{-\lambda x}. \]
Pour \(0\le a \le b\), \[ P(a \le X \le b)=F(b)-F(a) =(1-e^{-\lambda b})-(1-e^{-\lambda a}) =e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}. \]
Si \(X \sim \mathcal E(\lambda)\), alors \[ \mathbb E(X)=\frac{1}{\lambda}. \] Donc \(\lambda\) mesure un rythme : plus \(\lambda\) est grand, plus l’attente moyenne est courte.
Le temps \(X\) (en minutes) avant le prochain appel suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda=0{,}2\). Calculer \(P(X>10)\) puis \(P(5\le X \le 12)\).
1) \(P(X>10)=e^{-0{,}2\times 10}=e^{-2}\).
2) \(P(5\le X\le 12)=e^{-0{,}2\times 5}-e^{-0{,}2\times 12} =e^{-1}-e^{-2{,}4}\).
- Identifier la loi (uniforme / exponentielle / autre) et son domaine (\([a ; b]\) ou \(x\ge 0\)).
- Traduire l’événement en intervalle : \(X\le x\), \(X>x\), \(a\le X\le b\), etc.
- Choisir la bonne formule :
- Uniforme : \(\dfrac{\text{longueur}}{\text{longueur totale}}\)
- Exponentielle : \(P(X>x)=e^{-\lambda x}\), \(F(x)=1-e^{-\lambda x}\)
- Conclure avec une phrase liée au contexte (temps, distance, durée...).
- \(f(x)\ge 0\), aire totale \(=1\).
- \(P(\alpha\le X\le \beta)=\int_\alpha^\beta f(x)\,dx\).
- \(P(X=a)=0\).
- Uniforme \([a ; b]\) : \(f=\dfrac{1}{b-a}\), \(P=\dfrac{\beta-\alpha}{b-a}\), \(\mathbb E=\dfrac{a+b}{2}\).
- Exponentielle \(\lambda\) : \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\) (pour \(x\ge 0\)), \(F(x)=1-e^{-\lambda x}\), \(P(X>x)=e^{-\lambda x}\), \(\mathbb E=\dfrac{1}{\lambda}\).