Cours — Calcul intégral (Tle compl.)
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Chapitres
Cours — Calcul intégral
Aire sous une courbe • primitive • intégrale définie • valeur moyenne • propriétés
1. Idée centrale
L’intégrale \(\int_a^b f(x)\,dx\) mesure une accumulation. Lorsque \(f\) est positive sur \([a;b]\), elle représente l’aire située sous la courbe de \(f\), entre les droites \(x=a\) et \(x=b\).
2. Calcul avec une primitive
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \([a;b]\), alors :
\[\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).\]
Exemple : \(\int_1^3 2x\,dx = [x^2]_1^3 = 9-1=8\).
3. Propriétés à connaître
- Linéarité : \(\int_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g\).
- Relation de Chasles : \(\int_a^b f+\int_b^c f=\int_a^c f\).
- Positivité : si \(f\ge0\), alors \(\int_a^b f\ge0\).
- Ordre : si \(f\le g\), alors \(\int_a^b f\le\int_a^b g\).
4. Valeur moyenne
La valeur moyenne de \(f\) sur \([a;b]\) est :
\[m=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.\]
Elle correspond à la hauteur du rectangle qui aurait la même aire que l’aire sous la courbe.
5. Méthode
- Identifier la fonction à intégrer et les bornes.
- Trouver une primitive adaptée.
- Calculer \(F(b)-F(a)\) en gardant les valeurs exactes.
- Interpréter le résultat : aire, accumulation ou valeur moyenne.
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