Exercices corrigés — Calcul intégral (Tle compl.)
Cette page propose des exercices corrigés de mathématiques en Terminale Maths complémentaires sur Calcul intégral. Tu vas t’entraîner sur notions essentielles du chapitre, méthodes attendues en Terminale Maths complémentaires, exemples guidés, exercices d’application avec des questions progressives et des corrections pour vérifier chaque étape.
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8 exercices (progressifs + pièges) avec corrigés détaillés : intégrales, aires, valeur absolue,
aire entre deux courbes et applications concrètes.
Exercice 1 — Calculer des intégrales (échauffement)
Calculer :
\[
I_1=\int_0^2 (3x^2-4x+1)\,dx,\qquad
I_2=\int_1^e \frac{1}{x}\,dx,\qquad
I_3=\int_0^1 (2e^{2x})\,dx.
\]
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1) Primitive de \(3x^2-4x+1\) : \(F(x)=x^3-2x^2+x\).
\[
I_1=\left[x^3-2x^2+x\right]_0^2=(8-8+2)-0=2.
\]
2) \(\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx=\ln(x)\) (sur \((0;+\infty)\)).
\[
I_2=\left[\ln(x)\right]_1^e=\ln(e)-\ln(1)=1-0=1.
\]
3) Primitive de \(2e^{2x}\) : \(F(x)=e^{2x}\) (car \((e^{2x})'=2e^{2x}\)).
\[
I_3=\left[e^{2x}\right]_0^1=e^2-1.
\]
Exercice 2 — Propriétés : calcul malin
On sait que \(\displaystyle \int_0^4 f(x)\,dx=6\) et \(\displaystyle \int_0^4 g(x)\,dx=-2\).
Calculer :
\[
A=\int_0^4 (3f(x)-2g(x))\,dx,\qquad
B=\int_4^0 f(x)\,dx,\qquad
C=\int_0^2 f(x)\,dx + \int_2^4 f(x)\,dx.
\]
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1) Linéarité :
\[
A=3\int_0^4 f(x)\,dx - 2\int_0^4 g(x)\,dx=3\cdot 6 -2\cdot(-2)=18+4=22.
\]
2) Bornes inversées :
\[
B=\int_4^0 f(x)\,dx=-\int_0^4 f(x)\,dx=-6.
\]
3) Additivité :
\[
C=\int_0^4 f(x)\,dx=6.
\]
Exercice 3 — Aire sous une courbe (fonction positive)
Soit \(f(x)=x^2+1\). On considère la région située sous la courbe \(y=f(x)\), au-dessus de l’axe des abscisses,
entre \(x=0\) et \(x=3\).
1) Justifier que l’aire demandée est \(\displaystyle \int_0^3 (x^2+1)\,dx\).
2) Calculer cette aire.
3) Donner une valeur approchée au centième.
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1) Sur \([0;3]\), \(x^2+1\ge 1>0\), donc l’aire géométrique = intégrale.
2) Primitive : \(F(x)=\dfrac{x^3}{3}+x\).
\[
\mathcal{A}=\left[\frac{x^3}{3}+x\right]_0^3=\left(\frac{27}{3}+3\right)-0=9+3=12.
\]
3) \(\mathcal{A}=12{,}00\) (unité d’aire).
Exercice 4 — Aire signée et valeur absolue (piège Bac)
On considère \(f(x)=x-1\) sur \([0 ; 3]\).
1) Calculer \(I=\displaystyle \int_0^3 (x-1)\,dx\).
2) Déterminer l’aire géométrique \(A=\displaystyle \int_0^3 |x-1|\,dx\).
3) Expliquer pourquoi \(A\neq |I|\) n’est pas impossible ici (et donner la bonne interprétation).
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1) Primitive : \(\dfrac{x^2}{2}-x\).
\[
I=\left[\frac{x^2}{2}-x\right]_0^3=\left(\frac{9}{2}-3\right)-0=\frac{3}{2}.
\]
2) \(x-1=0\) en \(x=1\). Sur \([0;1]\), \(x-1\le 0\) donc \(|x-1|=1-x\).
Sur \([1;3]\), \(x-1\ge 0\) donc \(|x-1|=x-1\).
\[
A=\int_0^1 (1-x)\,dx + \int_1^3 (x-1)\,dx.
\]
Calcul :
\[
\int_0^1 (1-x)\,dx=\left[x-\frac{x^2}{2}\right]_0^1=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2},
\]
\[
\int_1^3 (x-1)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-x\right]_1^3=\left(\frac{9}{2}-3\right)-\left(\frac{1}{2}-1\right)=\frac{3}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)=2.
\]
Donc \(\boxed{A=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}}\).
3) \(I=\dfrac{3}{2}\) est une aire signée : l’aire négative (sur \([0;1]\)) “retire” de l’aire positive.
\(A=\dfrac{5}{2}\) est l’aire géométrique totale, sans compensation.
Exercice 5 — Aire entre deux courbes (découpage obligatoire)
On considère \(f(x)=x^2\) et \(g(x)=2x\).
1) Résoudre \(x^2=2x\) et en déduire les points d’intersection.
2) Sur quel intervalle \(g(x)\ge f(x)\) ? Justifier.
3) Calculer l’aire comprise entre les deux courbes sur \([0 ; 2]\).
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1) \(x^2=2x \iff x(x-2)=0 \iff x=0\) ou \(x=2\).
Intersections : \((0;0)\) et \((2;4)\).
2) Comparer \(g-f=2x-x^2=x(2-x)\).
Sur \([0;2]\), on a \(x\ge 0\) et \(2-x\ge 0\), donc \(g-f\ge 0\) ⇒ \(g\ge f\).
3) Aire :
\[
A=\int_0^2 (g(x)-f(x))\,dx=\int_0^2 (2x-x^2)\,dx.
\]
Primitive : \(x^2-\dfrac{x^3}{3}\).
\[
A=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2= \left(4-\frac{8}{3}\right)-0=\frac{4}{3}.
\]
\(\boxed{A=\dfrac{4}{3}}\) (unité d’aire).
Exercice 6 — Encadrement d’une intégrale (raisonnement Bac)
Soit \(f\) continue sur \([0 ; 2]\) et telle que, pour tout \(x\in[0;2]\),
\[
1 \le f(x) \le 3.
\]
1) Encadrer \(\displaystyle \int_0^2 f(x)\,dx\).
2) En déduire un encadrement de la valeur moyenne de \(f\) sur \([0 ; 2]\).
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1) Encadrement :
\[
1\cdot(2-0)\le \int_0^2 f(x)\,dx \le 3\cdot(2-0)
\quad\Rightarrow\quad
\boxed{2 \le \int_0^2 f(x)\,dx \le 6}.
\]
2) Valeur moyenne :
\[
f_{\text{moy}}=\frac{1}{2-0}\int_0^2 f(x)\,dx=\frac{1}{2}\int_0^2 f(x)\,dx.
\]
Donc en divisant l’encadrement par 2 :
\[
\boxed{1 \le f_{\text{moy}} \le 3}.
\]
Exercice 7 — Modélisation : distance parcourue (accumulation)
Un mobile se déplace sur une droite. Sa vitesse (en m/s) est donnée, pour \(t\in[0 ; 5]\), par :
\[
v(t)=2t+1.
\]
1) Justifier que la distance parcourue entre 0 s et 5 s vaut \(\displaystyle \int_0^5 v(t)\,dt\).
2) Calculer cette distance.
3) Donner une interprétation physique du résultat (unité).
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1) La vitesse est la dérivée de la position : la distance parcourue est l’intégrale de \(v\) si \(v\ge 0\).
Ici \(v(t)=2t+1\ge 1>0\) sur \([0;5]\).
2)
\[
d=\int_0^5 (2t+1)\,dt=\left[t^2+t\right]_0^5=25+5=30.
\]
3) \(\boxed{d=30}\) mètres. (Unité : m, car \(v\) est en m/s et \(t\) en s.)
Exercice 8 — Aire et paramètre (niveau 19–20/20)
On considère la fonction \(f_a(x)=x^2-ax\) où \(a\) est un réel.
On note \(A(a)\) l’aire géométrique comprise entre la courbe de \(f_a\) et l’axe des abscisses sur \([0 ; 2]\).
1) Étudier le signe de \(f_a(x)\) sur \([0 ; 2]\) en fonction de \(a\).
2) Exprimer \(A(a)\) à l’aide d’une intégrale avec valeur absolue : \(\displaystyle A(a)=\int_0^2 |f_a(x)|\,dx\).
3) Calculer \(A(a)\) explicitement dans les cas \(a\le 0\), \(0\le a\le 2\) et \(a\ge 2\).
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1) Factorisation :
\[
f_a(x)=x^2-ax=x(x-a).
\]
Sur \([0;2]\), \(x\ge 0\). Le signe dépend donc de \(x-a\).
Le point \(x=a\) est un zéro (s’il appartient à \([0;2]\)).
Cas 1 : \(a\le 0\). Alors, pour tout \(x\in[0;2]\), \(x-a\ge x\ge 0\) donc \(f_a(x)\ge 0\).
Donc \(A(a)=\int_0^2 (x^2-ax)\,dx\).
Cas 2 : \(0\le a\le 2\). Alors \(a\in[0;2]\) : sur \([0;a]\), \(x-a\le 0\) donc \(f_a(x)\le 0\).
Sur \([a;2]\), \(x-a\ge 0\) donc \(f_a(x)\ge 0\).
Donc
\[
A(a)=\int_0^a (ax-x^2)\,dx+\int_a^2 (x^2-ax)\,dx.
\]
Cas 3 : \(a\ge 2\). Alors, pour tout \(x\in[0;2]\), on a \(x-a\le 0\) donc \(f_a(x)\le 0\).
Donc \(A(a)=\int_0^2 (ax-x^2)\,dx\).
2) & 3) Calculs. On utilise :
\[
\int_0^2 (x^2-ax)\,dx=\left[\frac{x^3}{3}-\frac{a}{2}x^2\right]_0^2=\frac{8}{3}-2a,
\]
\[
\int_0^2 (ax-x^2)\,dx=\left[\frac{a}{2}x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2=2a-\frac{8}{3}.
\]
Résultats (forme finale)
• Si \(a\le 0\) :
\[
\boxed{A(a)=\frac{8}{3}-2a}.
\]
• Si \(0\le a\le 2\) :
\[
A(a)=\int_0^a (ax-x^2)\,dx+\int_a^2 (x^2-ax)\,dx.
\]
Calcul :
\[
\int_0^a (ax-x^2)\,dx=\left[\frac{a}{2}x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^a=\frac{a^3}{2}-\frac{a^3}{3}=\frac{a^3}{6},
\]
\[
\int_a^2 (x^2-ax)\,dx=\left[\frac{x^3}{3}-\frac{a}{2}x^2\right]_a^2
=\left(\frac{8}{3}-2a\right)-\left(\frac{a^3}{3}-\frac{a^3}{2}\right)
=\frac{8}{3}-2a+\frac{a^3}{6}.
\]
Donc
\[
\boxed{A(a)=\frac{8}{3}-2a+\frac{a^3}{3}}.
\]
• Si \(a\ge 2\) :
\[
\boxed{A(a)=2a-\frac{8}{3}}.
\]
Contrôle rapide
Pour \(a=0\) : \(f_a(x)=x^2\) ⇒ aire \(=\int_0^2 x^2 dx=\dfrac{8}{3}\) (ok).
Pour \(a=2\) : \(f_a(x)=x(x-2)\) (négative sur \([0;2]\) sauf aux bornes) ⇒ aire \(=\int_0^2 (2x-x^2)\,dx=\dfrac{4}{3}\). La formule \(a\ge2\) donne \(2a-\dfrac{8}{3}=\dfrac{4}{3}\) (ok).
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