Calcul Integral
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Exercices premium — Calcul intégral
8 exercices (progressifs + pièges) avec corrigés détaillés : intégrales, aires, valeur absolue, aire entre deux courbes et applications concrètes.
19–20/20 Corrigés Bac-ready
Exercice 1 — Calculer des intégrales (échauffement)
Calculer : \[ I_1=\int_0^2 (3x^2-4x+1)\,dx,\qquad I_2=\int_1^e \frac{1}{x}\,dx,\qquad I_3=\int_0^1 (2e^{2x})\,dx. \]
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1) Primitive de \(3x^2-4x+1\) : \(F(x)=x^3-2x^2+x\). \[ I_1=\left[x^3-2x^2+x\right]_0^2=(8-8+2)-0=2. \]
2) \(\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx=\ln(x)\) (sur \((0;+\infty)\)). \[ I_2=\left[\ln(x)\right]_1^e=\ln(e)-\ln(1)=1-0=1. \]
3) Primitive de \(2e^{2x}\) : \(F(x)=e^{2x}\) (car \((e^{2x})'=2e^{2x}\)). \[ I_3=\left[e^{2x}\right]_0^1=e^2-1. \]
Exercice 2 — Propriétés : calcul malin
On sait que \(\displaystyle \int_0^4 f(x)\,dx=6\) et \(\displaystyle \int_0^4 g(x)\,dx=-2\). Calculer : \[ A=\int_0^4 (3f(x)-2g(x))\,dx,\qquad B=\int_4^0 f(x)\,dx,\qquad C=\int_0^2 f(x)\,dx + \int_2^4 f(x)\,dx. \]
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1) Linéarité : \[ A=3\int_0^4 f(x)\,dx - 2\int_0^4 g(x)\,dx=3\cdot 6 -2\cdot(-2)=18+4=22. \]
2) Bornes inversées : \[ B=\int_4^0 f(x)\,dx=-\int_0^4 f(x)\,dx=-6. \]
3) Additivité : \[ C=\int_0^4 f(x)\,dx=6. \]
Exercice 3 — Aire sous une courbe (fonction positive)
Soit \(f(x)=x^2+1\). On considère la région située sous la courbe \(y=f(x)\), au-dessus de l’axe des abscisses, entre \(x=0\) et \(x=3\).
1) Justifier que l’aire demandée est \(\displaystyle \int_0^3 (x^2+1)\,dx\).
2) Calculer cette aire.
3) Donner une valeur approchée au centième.
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1) Sur \([0;3]\), \(x^2+1\ge 1>0\), donc l’aire géométrique = intégrale.
2) Primitive : \(F(x)=\dfrac{x^3}{3}+x\). \[ \mathcal{A}=\left[\frac{x^3}{3}+x\right]_0^3=\left(\frac{27}{3}+3\right)-0=9+3=12. \]
3) \(\mathcal{A}=12{,}00\) (unité d’aire).
Exercice 4 — Aire signée et valeur absolue (piège Bac)
On considère \(f(x)=x-1\) sur \([0 ; 3]\).
1) Calculer \(I=\displaystyle \int_0^3 (x-1)\,dx\).
2) Déterminer l’aire géométrique \(A=\displaystyle \int_0^3 |x-1|\,dx\).
3) Expliquer pourquoi \(A\neq |I|\) n’est pas impossible ici (et donner la bonne interprétation).
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1) Primitive : \(\dfrac{x^2}{2}-x\). \[ I=\left[\frac{x^2}{2}-x\right]_0^3=\left(\frac{9}{2}-3\right)-0=\frac{3}{2}. \]
2) \(x-1=0\) en \(x=1\). Sur \([0;1]\), \(x-1\le 0\) donc \(|x-1|=1-x\). Sur \([1;3]\), \(x-1\ge 0\) donc \(|x-1|=x-1\). \[ A=\int_0^1 (1-x)\,dx + \int_1^3 (x-1)\,dx. \] Calcul : \[ \int_0^1 (1-x)\,dx=\left[x-\frac{x^2}{2}\right]_0^1=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}, \] \[ \int_1^3 (x-1)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-x\right]_1^3=\left(\frac{9}{2}-3\right)-\left(\frac{1}{2}-1\right)=\frac{3}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)=2. \] Donc \(\boxed{A=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}}\).
3) \(I=\dfrac{3}{2}\) est une aire signée : l’aire négative (sur \([0;1]\)) “retire” de l’aire positive. \(A=\dfrac{5}{2}\) est l’aire géométrique totale, sans compensation.
Exercice 5 — Aire entre deux courbes (découpage obligatoire)
On considère \(f(x)=x^2\) et \(g(x)=2x\).
1) Résoudre \(x^2=2x\) et en déduire les points d’intersection.
2) Sur quel intervalle \(g(x)\ge f(x)\) ? Justifier.
3) Calculer l’aire comprise entre les deux courbes sur \([0 ; 2]\).
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1) \(x^2=2x \iff x(x-2)=0 \iff x=0\) ou \(x=2\). Intersections : \((0;0)\) et \((2;4)\).
2) Comparer \(g-f=2x-x^2=x(2-x)\). Sur \([0;2]\), on a \(x\ge 0\) et \(2-x\ge 0\), donc \(g-f\ge 0\) ⇒ \(g\ge f\).
3) Aire : \[ A=\int_0^2 (g(x)-f(x))\,dx=\int_0^2 (2x-x^2)\,dx. \] Primitive : \(x^2-\dfrac{x^3}{3}\). \[ A=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2= \left(4-\frac{8}{3}\right)-0=\frac{4}{3}. \] \(\boxed{A=\dfrac{4}{3}}\) (unité d’aire).
Exercice 6 — Encadrement d’une intégrale (raisonnement Bac)
Soit \(f\) continue sur \([0 ; 2]\) et telle que, pour tout \(x\in[0;2]\), \[ 1 \le f(x) \le 3. \]
1) Encadrer \(\displaystyle \int_0^2 f(x)\,dx\).
2) En déduire un encadrement de la valeur moyenne de \(f\) sur \([0 ; 2]\).
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1) Encadrement : \[ 1\cdot(2-0)\le \int_0^2 f(x)\,dx \le 3\cdot(2-0) \quad\Rightarrow\quad \boxed{2 \le \int_0^2 f(x)\,dx \le 6}. \]
2) Valeur moyenne : \[ f_{\text{moy}}=\frac{1}{2-0}\int_0^2 f(x)\,dx=\frac{1}{2}\int_0^2 f(x)\,dx. \] Donc en divisant l’encadrement par 2 : \[ \boxed{1 \le f_{\text{moy}} \le 3}. \]
Exercice 7 — Modélisation : distance parcourue (accumulation)
Un mobile se déplace sur une droite. Sa vitesse (en m/s) est donnée, pour \(t\in[0 ; 5]\), par : \[ v(t)=2t+1. \]
1) Justifier que la distance parcourue entre 0 s et 5 s vaut \(\displaystyle \int_0^5 v(t)\,dt\).
2) Calculer cette distance.
3) Donner une interprétation physique du résultat (unité).
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1) La vitesse est la dérivée de la position : la distance parcourue est l’intégrale de \(v\) si \(v\ge 0\). Ici \(v(t)=2t+1\ge 1>0\) sur \([0;5]\).
2) \[ d=\int_0^5 (2t+1)\,dt=\left[t^2+t\right]_0^5=25+5=30. \]
3) \(\boxed{d=30}\) mètres. (Unité : m, car \(v\) est en m/s et \(t\) en s.)
Exercice 8 — Aire et paramètre (niveau 19–20/20)
On considère la fonction \(f_a(x)=x^2-ax\) où \(a\) est un réel. On note \(A(a)\) l’aire géométrique comprise entre la courbe de \(f_a\) et l’axe des abscisses sur \([0 ; 2]\).
1) Étudier le signe de \(f_a(x)\) sur \([0 ; 2]\) en fonction de \(a\).
2) Exprimer \(A(a)\) à l’aide d’une intégrale avec valeur absolue : \(\displaystyle A(a)=\int_0^2 |f_a(x)|\,dx\).
3) Calculer \(A(a)\) explicitement dans les cas \(a\le 0\), \(0\le a\le 2\) et \(a\ge 2\).
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1) Factorisation : \[ f_a(x)=x^2-ax=x(x-a). \] Sur \([0;2]\), \(x\ge 0\). Le signe dépend donc de \(x-a\). Le point \(x=a\) est un zéro (s’il appartient à \([0;2]\)).
Cas 1 : \(a\le 0\). Alors, pour tout \(x\in[0;2]\), \(x-a\ge x\ge 0\) donc \(f_a(x)\ge 0\). Donc \(A(a)=\int_0^2 (x^2-ax)\,dx\).
Cas 2 : \(0\le a\le 2\). Alors \(a\in[0;2]\) : sur \([0;a]\), \(x-a\le 0\) donc \(f_a(x)\le 0\). Sur \([a;2]\), \(x-a\ge 0\) donc \(f_a(x)\ge 0\). Donc \[ A(a)=\int_0^a (ax-x^2)\,dx+\int_a^2 (x^2-ax)\,dx. \]
Cas 3 : \(a\ge 2\). Alors, pour tout \(x\in[0;2]\), on a \(x-a\le 0\) donc \(f_a(x)\le 0\). Donc \(A(a)=\int_0^2 (ax-x^2)\,dx\).
2) & 3) Calculs. On utilise : \[ \int_0^2 (x^2-ax)\,dx=\left[\frac{x^3}{3}-\frac{a}{2}x^2\right]_0^2=\frac{8}{3}-2a, \] \[ \int_0^2 (ax-x^2)\,dx=\left[\frac{a}{2}x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2=2a-\frac{8}{3}. \]
Résultats (forme finale)
• Si \(a\le 0\) : \[ \boxed{A(a)=\frac{8}{3}-2a}. \]
• Si \(0\le a\le 2\) : \[ A(a)=\int_0^a (ax-x^2)\,dx+\int_a^2 (x^2-ax)\,dx. \] Calcul : \[ \int_0^a (ax-x^2)\,dx=\left[\frac{a}{2}x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^a=\frac{a^3}{2}-\frac{a^3}{3}=\frac{a^3}{6}, \] \[ \int_a^2 (x^2-ax)\,dx=\left[\frac{x^3}{3}-\frac{a}{2}x^2\right]_a^2 =\left(\frac{8}{3}-2a\right)-\left(\frac{a^3}{3}-\frac{a^3}{2}\right) =\frac{8}{3}-2a+\frac{a^3}{6}. \] Donc \[ \boxed{A(a)=\frac{8}{3}-2a+\frac{a^3}{3}}. \]
• Si \(a\ge 2\) : \[ \boxed{A(a)=2a-\frac{8}{3}}. \]
Contrôle rapide
Pour \(a=0\) : \(f_a(x)=x^2\) ⇒ aire \(=\int_0^2 x^2 dx=\dfrac{8}{3}\) (ok).
Pour \(a=2\) : \(f_a(x)=x(x-2)\) (négative sur \([0;2]\) sauf aux bornes) ⇒ aire \(=\int_0^2 (2x-x^2)\,dx=\dfrac{4}{3}\). La formule \(a\ge2\) donne \(2a-\dfrac{8}{3}=\dfrac{4}{3}\) (ok).