Vision Espace
6EME • MATHS — Learna
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Fiche de révision — La vision dans l’espace (6e) • Niveau dur
Savoir passer du 2D au 3D : vues (dessus/face/côté), patrons, dénombrement (cubes, faces visibles, surface). Méthodes robustes + pièges.
1) Vocabulaire-clé (indispensable)
Cube unité
Le “petit cube” de référence (souvent côté 1 cm) qu’on empile.
Assemblage de cubes
Solid formé de plusieurs cubes collés par des faces (cubes cachés possibles).
Vue de dessus
Empreinte au sol : positions occupées (au moins 1 cube par case).
Vue de face / vue de côté
Silhouette : souvent la hauteur maximale visible sur chaque “colonne” alignée.
Patron
Dessin à plat qui reconstitue la surface extérieure après pliage.
Faces visibles
Faces extérieures non collées à une autre face et tournées vers l’extérieur.
Piège n°1 : une vue ne donne pas forcément le nombre de cubes (elle peut cacher).
2) La clé : la “grille de hauteurs”
Représentation la plus fiable
On imagine une grille au sol. À chaque case, on associe une hauteur (nombre de cubes empilés).
Hauteur 0 : case vide • Hauteur 1 : 1 cube • Hauteur 3 : 3 cubes empilés.
Vue de dessus
  • Montre les cases de hauteur ≥ 1.
  • Ne donne pas toujours les hauteurs (sauf si indiquées).
Vue de face / côté
  • Donne des contraintes sur les hauteurs (souvent des maxima visibles).
  • Une colonne haute peut cacher une colonne plus basse derrière.
Piège n°2 : deux assemblages différents peuvent avoir les mêmes vues. D’où les questions “minimum / maximum”.
3) Reconstruire un assemblage à partir des vues (méthode dur)
Méthode en 6 étapes
  1. Placer l’empreinte : à partir de la vue de dessus, marquer toutes les cases occupées.
  2. Poser 1 cube sur chaque case occupée (c’est le minimum de départ).
  3. Lire la vue de face : sur chaque “colonne de face”, imposer une hauteur minimale (si la vue exige 3, il faut au moins un empilement de 3 dans cette colonne).
  4. Lire la vue de côté : même principe sur les colonnes de côté.
  5. Vérifier les cachés : une hauteur peut être augmentée si elle reste cachée derrière une plus grande dans la direction de vue.
  6. Conclure selon la question : minimum / maximum / “donner un assemblage possible”.
Minimum de cubes
  • 1 cube par case occupée, puis on augmente seulement si c’est imposé.
  • On évite d’ajouter des cubes “inutiles” (non imposés par les vues).
Maximum de cubes
  • On profite des cubes cachés : on peut ajouter derrière sans changer une silhouette.
  • On respecte toujours les hauteurs visibles (les maxima).
Réflexe : pour décider si on peut “ajouter”, demander : “Est-ce que ça change une vue ?” Si non (car caché), c’est parfois possible.
4) Dénombrement : trois questions différentes
A) Compter les cubes
Si les hauteurs sont connues :
\[ N=\sum (\text{hauteurs}) \]
C’est la méthode la plus simple et la plus sûre.
B) Compter les faces visibles
Méthode puissante (assemblages complexes) :
\[ F = 6N - 2C \]
\(N\) = cubes, \(C\) = contacts “face contre face” (chaque contact cache 2 faces).
C) Surface apparente
Si l’aire d’une face vaut \(a\), alors :
\[ S = F \times a \]
Si cube unité : \(a=1\) (en unité d’aire), donc \(S=F\).
Comment calculer \(C\) (contacts) sans se tromper ?
  • Contacts verticaux : dans une colonne de hauteur \(h\), il y a \(h-1\) contacts.
  • Contacts horizontaux entre deux colonnes voisines \(h_1\) et \(h_2\) : il y a \(\min(h_1,h_2)\) contacts (un par étage commun).
Piège n°3 : oublier des contacts horizontaux (c’est la source n°1 d’erreurs).
5) Patrons : réussir (et détecter les faux)
Patron du cube : conditions nécessaires
  • 6 carrés identiques.
  • Carrés reliés par des côtés (pas par un point).
  • Au pliage : pas de chevauchement, et le cube doit se fermer complètement.
Test rapide (très dur mais efficace)
  1. Choisir une face “centre” (base).
  2. Imaginer les 4 faces voisines qui se relèvent (comme des murs).
  3. Vérifier où se place la 6e face (le “toit”) : elle doit fermer sans recouvrir une autre face.
Beaucoup de patrons échouent car le “toit” tombe sur un mur déjà occupé.
Piège n°4 : patron d’un assemblage = patron de la surface extérieure seulement (on ne dessine jamais des faces collées à l’intérieur).
6) Mini-exemples flash (niveau dur)
Exemple 1 — Colonne de 4 cubes
Combien de faces visibles ?
\[ N=4,\ C=4-1=3,\ F=6\times4-2\times3=18 \]
Exemple 2 — Deux colonnes voisines (3 et 2)
Contacts horizontaux ?
\[ \min(3,2)=2 \]
Exemple 3 — Hauteurs sur une grille
\(\begin{matrix}2&1\\3&0\end{matrix}\) → nombre de cubes ?
\[ 2+1+3+0=6 \]
Exemple 4 — Minimum
Vue de dessus : 5 cases occupées. Minimum de cubes ?
\[ 5 \text{ cubes (sauf vue imposant plus)} \]
Checklist finale + pièges (à relire avant contrôle)
Checklist
  • Je sais dire ce que donne chaque vue (dessus/face/côté).
  • Je sais parler en “hauteurs” sur une grille.
  • Je distingue : nombre de cubes / faces visibles / surface apparente.
  • Je connais \(F=6N-2C\) et comment compter \(C\).
  • Je sais vérifier un patron avec le test base/murs/toit.
  • Je sais répondre à “minimum / maximum” sans me faire piéger.
Pièges
  • Confondre “empreinte” (dessus) et “nombre total”.
  • Oublier les cubes cachés (derrière) dans les vues.
  • Compter les faces visibles sans enlever 2 faces par contact.
  • Oublier les contacts horizontaux (min des hauteurs).
  • Dessiner dans un patron des faces internes (interdit).