Exercices — La vision dans l’espace (6e) • Niveau dur
Vues (dessus/face/côté), assemblages de cubes, patrons, dénombrement (cubes, faces visibles, surface).
Corrigés détaillés à ouvrir/fermer. Niveau dur : cubes cachés + méthode \(6N-2C\) + “minimum/maximum”.
Rappels express (à utiliser dans les solutions)
- Grille de hauteurs : chaque case au sol a une hauteur \(h\) (nombre de cubes empilés).
- Nombre de cubes : \(N=\sum(\text{hauteurs})\).
- Faces visibles : \(F=6N-2C\) où \(C\) = nombre de contacts face-à-face.
- Contacts verticaux : dans une colonne de hauteur \(h\) → \(h-1\).
- Contacts horizontaux : entre colonnes voisines \(h_1,h_2\) → \(\min(h_1,h_2)\).
- Surface apparente : \(S=F \times a\) (si cube unité : \(a=1\) donc \(S=F\)).
- Vues : dessus = empreinte ; face/côté = silhouettes (cachés possibles).
- Patron : uniquement la surface extérieure, pas de faces internes.
Exercice 1 — Grille de hauteurs (dur) : cubes + faces visibles
On considère une grille \(3\times 2\) (3 colonnes, 2 lignes). Les hauteurs (en nombre de cubes) sont :
\[
\begin{matrix}
2 & 1 & 0 \\
3 & 1 & 2
\end{matrix}
\]
Les cases sont voisines si elles partagent un côté.
1) Calculer le nombre total de cubes \(N\). 2) Calculer le nombre total de contacts verticaux. 3) Calculer le nombre total de contacts horizontaux. 4) En déduire le nombre de faces visibles \(F\). (On suppose le cube unité.)
1) Calculer le nombre total de cubes \(N\). 2) Calculer le nombre total de contacts verticaux. 3) Calculer le nombre total de contacts horizontaux. 4) En déduire le nombre de faces visibles \(F\). (On suppose le cube unité.)
Correction détaillée
1) Nombre de cubes
\[
N = 2+1+0+3+1+2 = 9
\]
2) Contacts verticaux
Dans chaque colonne de hauteur \(h\), contacts = \(h-1\) (si \(h\ge 1\)).
\[
(2-1)+(1-1)+(0)+(3-1)+(1-1)+(2-1)=1+0+0+2+0+1=4
\]
Donc \(C_v=4\).
3) Contacts horizontaux
On compte les contacts entre cases voisines (à gauche/droite, et haut/bas) :
Ligne du haut : entre 2 et 1 → \(\min(2,1)=1\) ; entre 1 et 0 → \(\min(1,0)=0\). Ligne du bas : entre 3 et 1 → \(\min(3,1)=1\) ; entre 1 et 2 → \(\min(1,2)=1\). Entre lignes (verticalement dans la grille) : colonne 1 : entre 2 et 3 → \(\min(2,3)=2\) ; colonne 2 : entre 1 et 1 → 1 ; colonne 3 : entre 0 et 2 → 0.
Total : \[ C_h = (1+0)+(1+1)+(2+1+0)=1+2+3=6 \]
Ligne du haut : entre 2 et 1 → \(\min(2,1)=1\) ; entre 1 et 0 → \(\min(1,0)=0\). Ligne du bas : entre 3 et 1 → \(\min(3,1)=1\) ; entre 1 et 2 → \(\min(1,2)=1\). Entre lignes (verticalement dans la grille) : colonne 1 : entre 2 et 3 → \(\min(2,3)=2\) ; colonne 2 : entre 1 et 1 → 1 ; colonne 3 : entre 0 et 2 → 0.
Total : \[ C_h = (1+0)+(1+1)+(2+1+0)=1+2+3=6 \]
4) Faces visibles
Contacts totaux \(C = C_v + C_h = 4 + 6 = 10\).
\[
F = 6N - 2C = 6\times 9 - 2\times 10 = 54 - 20 = 34
\]
Donc 34 faces visibles.
Contrôle : plus il y a de contacts, plus on enlève de faces (2 par contact).
Exercice 2 — Même vues, plusieurs assemblages (minimum / maximum)
Une vue de dessus montre 4 cases occupées formant un carré \(2\times 2\).
Vue de face : hauteurs visibles (de gauche à droite) : 2 puis 2.
Vue de côté : hauteurs visibles (de l’avant vers l’arrière) : 2 puis 2.
1) Donner un assemblage possible en indiquant les hauteurs dans la grille \(2\times 2\). 2) Quel est le minimum de cubes possible ? 3) Quel est le maximum de cubes possible ? (justifier)
1) Donner un assemblage possible en indiquant les hauteurs dans la grille \(2\times 2\). 2) Quel est le minimum de cubes possible ? 3) Quel est le maximum de cubes possible ? (justifier)
Correction (raisonnement)
1) Un assemblage possible
Comme les vues imposent hauteur 2 partout (silhouettes 2 et 2), une solution simple :
\[
\begin{matrix}
2 & 2\\
2 & 2
\end{matrix}
\]
2) Minimum
Pour avoir en face 2 et 2, il faut que dans chaque “colonne de face” il existe au moins une pile de hauteur 2.
Et pour avoir en côté 2 et 2, pareil dans chaque “colonne de côté”.
Le minimum consiste à placer des 2 de façon à satisfaire les deux vues. Ici, on ne peut pas mettre une seule pile de 2 par ligne sans laisser une case occupée à hauteur 1 (mais vue de dessus impose juste occupée, pas hauteur).
Or si une case est occupée, elle peut être hauteur 1. Les vues (face/côté) ne voient que le maximum sur chaque alignement.
Une grille minimale possible : \[ \begin{matrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{matrix} \] Face : chaque colonne a max 2 ; Côté : chaque rangée a max 2 ; Dessus : 4 cases occupées. Donc minimum : \[ N_{\min}=2+1+1+2=6 \]
Le minimum consiste à placer des 2 de façon à satisfaire les deux vues. Ici, on ne peut pas mettre une seule pile de 2 par ligne sans laisser une case occupée à hauteur 1 (mais vue de dessus impose juste occupée, pas hauteur).
Or si une case est occupée, elle peut être hauteur 1. Les vues (face/côté) ne voient que le maximum sur chaque alignement.
Une grille minimale possible : \[ \begin{matrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{matrix} \] Face : chaque colonne a max 2 ; Côté : chaque rangée a max 2 ; Dessus : 4 cases occupées. Donc minimum : \[ N_{\min}=2+1+1+2=6 \]
3) Maximum
Les vues imposent des maxima visibles 2 sur chaque direction : aucune pile ne peut dépasser 2 (sinon vue face ou côté montrerait 3).
Donc chaque case occupée a hauteur ≤ 2. Avec 4 cases occupées, maximum :
\[
\begin{matrix}
2 & 2\\
2 & 2
\end{matrix}
\Rightarrow N_{\max}=8
\]
Idée-clé : une vue donne souvent des maxima, donc des cases peuvent être plus basses sans changer la vue.
Exercice 3 — Reconstruire (dur) : vues → grille de hauteurs
Vue de dessus : les cases occupées (X) dans une grille \(3\times 3\) sont :
Ligne 1 : X X . Ligne 2 : X . X Ligne 3 : . X X
Vue de face (de gauche à droite) : 3 ; 2 ; 2 Vue de côté (de l’avant vers l’arrière) : 2 ; 3 ; 2
Donner une grille de hauteurs possible (avec les plus petites hauteurs possibles).
Ligne 1 : X X . Ligne 2 : X . X Ligne 3 : . X X
Vue de face (de gauche à droite) : 3 ; 2 ; 2 Vue de côté (de l’avant vers l’arrière) : 2 ; 3 ; 2
Donner une grille de hauteurs possible (avec les plus petites hauteurs possibles).
Correction (une solution minimale)
On place 1 sur toutes les cases occupées puis on impose les maxima demandés par les vues.
Une solution minimale possible (les “.” = 0) :
\[
\begin{matrix}
3 & 1 & 0\\
1 & 0 & 2\\
0 & 2 & 1
\end{matrix}
\]
Vérification :
- Face (colonnes) : max col1 = 3 ; col2 = 2 ; col3 = 2.
- Côté (lignes) : max ligne1 = 3 ? Attention : “avant” = ligne1 → max = 3, mais la vue côté attend 2 ; 3 ; 2.
- Face : col1 max = 3 ; col2 max = 2 ; col3 max = 2 ✓
- Côté : ligne1 max = 2 ; ligne2 max = 3 ; ligne3 max = 2 ✓
- Dessus : toutes les cases non nulles sont exactement celles annoncées ✓
Remarque : il peut exister plusieurs grilles possibles. On demandait une solution minimale.
Exercice 4 — Faces visibles (dur) : méthode “par contacts”
Un assemblage est composé :
- d’une colonne A de hauteur 3,
- collée à une colonne B voisine de hauteur 2 (contact sur un côté),
- et une colonne C de hauteur 1 collée à B (de l’autre côté de B).
Correction détaillée
1) Nombre de cubes
\[
N = 3+2+1 = 6
\]
2) Contacts
Contacts verticaux :
\[
(3-1)+(2-1)+(1-1)=2+1+0=3
\]
Contacts horizontaux :
Entre A(3) et B(2) : \(\min(3,2)=2\) Entre B(2) et C(1) : \(\min(2,1)=1\) Donc \(C_h=3\).
Total \(C = 3+3 = 6\).
Entre A(3) et B(2) : \(\min(3,2)=2\) Entre B(2) et C(1) : \(\min(2,1)=1\) Donc \(C_h=3\).
Total \(C = 3+3 = 6\).
3) Faces visibles
\[
F = 6N - 2C = 6\times 6 - 2\times 6 = 36 - 12 = 24
\]
Réponse : 24 faces visibles.
Exercice 5 — Patrons (dur) : vrai / faux et justification
On propose 4 “patrons” dessinés à plat (non fournis ici). Pour chaque patron, on veut savoir :
“Peut-il former un cube ?”
Comme on n’a pas le dessin, tu dois donner une méthode de vérification utilisable sur n’importe quel patron et citer 3 erreurs qui rendent un patron impossible.
Comme on n’a pas le dessin, tu dois donner une méthode de vérification utilisable sur n’importe quel patron et citer 3 erreurs qui rendent un patron impossible.
Correction (méthode attendue)
Méthode de vérification
- Vérifier qu’il y a 6 carrés identiques.
- Vérifier que les carrés sont reliés par des côtés (pas seulement par un point).
- Choisir un carré “base”, relever mentalement les 4 carrés voisins (“murs”).
- Vérifier que le 6e carré (“toit”) se ferme sans chevauchement.
3 erreurs classiques
- Il n’y a pas 6 carrés (ou ils ne sont pas tous de la même taille).
- Deux carrés ne sont reliés que par un point (pas un côté).
- Au pliage, le “toit” arrive sur un mur : chevauchement (patron impossible).
Bonus : si 4 carrés sont en ligne, ça peut marcher ou non selon la position des deux autres :
il faut tester le “toit”.
Défi (bonus) — Surface apparente (très dur)
On construit un “escalier” de cubes :
1) Calculer \(N\). 2) Calculer \(C\) (contacts verticaux + horizontaux). 3) Calculer \(F\). 4) Si le cube a des faces d’aire \(4\ \text{cm}^2\), calculer la surface apparente \(S\).
- colonne 1 : hauteur 1
- colonne 2 (voisine) : hauteur 2
- colonne 3 (voisine) : hauteur 3
- colonne 4 (voisine) : hauteur 4
1) Calculer \(N\). 2) Calculer \(C\) (contacts verticaux + horizontaux). 3) Calculer \(F\). 4) Si le cube a des faces d’aire \(4\ \text{cm}^2\), calculer la surface apparente \(S\).
Correction détaillée
1) Nombre de cubes
\[
N = 1+2+3+4 = 10
\]
2) Contacts
Contacts verticaux :
\[
(1-1)+(2-1)+(3-1)+(4-1)=0+1+2+3=6
\]
Contacts horizontaux entre colonnes voisines :
\[
\min(1,2)+\min(2,3)+\min(3,4)=1+2+3=6
\]
Total :
\[
C = 6+6 = 12
\]
3) Faces visibles
\[
F = 6N - 2C = 6\times 10 - 2\times 12 = 60 - 24 = 36
\]
4) Surface apparente
Aire d’une face = \(4\ \text{cm}^2\). Donc :
\[
S = F \times 4 = 36\times 4 = 144\ \text{cm}^2
\]
Réponse : \(144\ \text{cm}^2\).