Vision Espace
6EME • MATHS — Learna
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Cours — La vision dans l’espace (6e) • Niveau dur
Lire et construire des assemblages de cubes, interpréter des vues (dessus/face/côté), fabriquer des patrons et réussir les problèmes de dénombrement (cubes, faces visibles, surface).
Objectif : passer d’une représentation 2D à un objet 3D (et inversement), sans se faire piéger. Réflexe : repérer les “hauteurs” (empilements) et distinguer cubes / faces visibles.
1) Vocabulaire indispensable
Cube unité
Un cube “de référence” (souvent côté 1 cm). On l’empile pour construire l’objet.
Assemblage de cubes
Objet formé de plusieurs cubes collés par des faces (attention : cubes “cachés” possibles).
Vues
  • Vue de dessus : ce qu’on voit en regardant d’en haut.
  • Vue de face : ce qu’on voit en regardant de devant.
  • Vue de côté : ce qu’on voit de la droite ou de la gauche.
Patron
Figure plane qui, après pliage, reconstitue la surface d’un solide (ici : cubes/prismes).
Face visible / cachée
Une face est visible si elle n’est pas collée à une autre face et si elle est tournée vers l’observateur.
Piège : la vue de dessus montre l’“empreinte” au sol (positions), pas directement le nombre total de cubes.
2) Comprendre les vues : empreinte et hauteurs
Idée-clé
Un assemblage de cubes peut être décrit par une grille au sol : chaque case contient une hauteur (nombre de cubes empilés sur cette case).
Exemple : si une case a hauteur 3, cela signifie “3 cubes l’un sur l’autre”.
Vue de dessus
  • Indique quelles cases sont occupées (au moins 1 cube).
  • Ne donne pas toujours les hauteurs (sauf si elles sont écrites).
  • Ne montre pas les cubes “derrière” d’autres cubes : on voit le “toit”.
Vue de face / côté
  • Donne une silhouette : des “colonnes” de hauteur.
  • Attention : si deux colonnes sont alignées dans la direction de vue, la plus grande peut cacher l’autre.
  • Souvent, la vue donne la hauteur maximale sur chaque position alignée.
Réflexe dur : dans une vue, une colonne peut cacher une autre colonne située derrière : la vue ne donne pas toujours le nombre de cubes, mais des maxima.
3) Reconstruire un assemblage à partir des vues
Méthode (niveau dur)
  1. Commencer par la vue de dessus : placer toutes les cases occupées.
  2. Utiliser la vue de face et la vue de côté pour imposer des hauteurs minimales (au moins).
  3. Vérifier les “cachés” : certaines hauteurs peuvent être augmentées sans changer une vue (piège).
  4. Si on demande le minimum de cubes : choisir les plus petites hauteurs compatibles.
  5. Si on demande le maximum de cubes : choisir les plus grandes hauteurs possibles sans contredire les vues.
Très important : “minimum” et “maximum” ne donnent pas le même assemblage !
Minimum de cubes (principe)
Dans chaque case occupée (vue de dessus), on met au moins 1 cube. Puis on augmente seulement quand c’est obligé par une vue (face/côté).
Maximum de cubes (principe)
On peut empiler “derrière” si c’est caché par une colonne plus haute dans la direction de vue, tant que les silhouettes restent identiques.
4) Dénombrement : cubes, faces visibles, surface apparente
A) Compter les cubes
Si on connaît les hauteurs d’une grille : on additionne toutes les hauteurs.
\[ \text{Nombre total de cubes} = \sum (\text{hauteurs de toutes les cases}) \]
C’est la méthode la plus sûre quand les hauteurs sont connues.
B) Compter les faces visibles (méthode robuste)
Chaque cube a 6 faces. Quand deux cubes sont collés, ils “cachent” 2 faces (une face de chaque cube).
\[ \text{Faces visibles} = 6N - 2C \]
où \(N\) = nombre de cubes, \(C\) = nombre de contacts “face contre face” entre cubes.
Comment trouver \(C\) (contacts) ?
  • Contacts verticaux : dans une colonne de hauteur \(h\), il y a \(h-1\) contacts.
  • Contacts horizontaux : entre deux colonnes voisines de hauteurs \(h_1\) et \(h_2\), il y a \(\min(h_1, h_2)\) contacts (cube à cube sur chaque étage commun).
Cette méthode est puissante pour les assemblages complexes (niveau dur).
C) Surface apparente (si cube unité de côté 1)
Si le cube unité a des faces d’aire \(1\ \text{unité}^2\), alors la surface apparente = nombre de faces visibles. Sinon, on multiplie par l’aire d’une face.
\[ \text{Surface apparente} = (\text{faces visibles}) \times (\text{aire d’une face}) \]
5) Patrons (niveau dur) : construire et vérifier
Règles de base (patron d’un cube)
  • Un cube a 6 faces : le patron doit avoir 6 carrés identiques.
  • Les carrés doivent être reliés par des côtés (pas seulement par un point).
  • Après pliage : aucune face ne doit se superposer, et toutes doivent fermer le cube.
Test rapide “dur” pour savoir si un patron marche
  1. Choisir une face “base”.
  2. Imaginer le pliage des 4 faces autour (comme des “murs”).
  3. Vérifier si la 6e face (le “toit”) peut se fermer sans chevauchement.
Beaucoup de patrons “presque bons” échouent car le “toit” se retrouve au mauvais endroit.
Piège : un assemblage de cubes n’a pas un seul patron unique : on peut en avoir plusieurs, mais ils doivent correspondre à la surface extérieure.
6) Exemples guidés (niveau dur)
Exemple A — Faces visibles avec contacts
Une colonne de 4 cubes (empilés). Combien de faces visibles ?
Solution
\(N=4\). Contacts verticaux : \(4-1=3\). Donc \[ \text{faces visibles}=6N-2C=6\times 4-2\times 3=24-6=18 \] (On peut vérifier : 4 cubes empilés font un “pavé” 1×1×4 : 18 faces visibles.)
Exemple B — Deux colonnes voisines
Deux colonnes voisines de hauteurs 3 et 2 (collées sur le côté). Combien de contacts horizontaux ?
Solution
Contacts horizontaux = \(\min(3,2)=2\) (deux étages communs).
Exemple C — Total des cubes via hauteurs
Une grille 2×2 avec hauteurs : \[ \begin{matrix} 2 & 1\\ 3 & 0 \end{matrix} \] Combien de cubes ?
Solution
Total = \(2+1+3+0=6\) cubes.
Exemple D — Minimum vs maximum
Si la vue de dessus montre 4 cases occupées, quel est le minimum de cubes ?
Solution
Minimum = 4 cubes (1 cube par case occupée), sauf si une vue impose une hauteur > 1.
Synthèse — Checklist “vision dans l’espace”
  • Vue de dessus = positions occupées (empreinte), pas le nombre total de cubes.
  • Face/côté = silhouettes, souvent des maxima (cubes cachés possibles).
  • Compter les cubes : additionner les hauteurs si elles sont connues.
  • Faces visibles : \(6N-2C\) (contacts face-à-face).
  • Contacts verticaux : dans une colonne \(h\) → \(h-1\).
  • Contacts horizontaux entre deux colonnes voisines \(h_1,h_2\) → \(\min(h_1,h_2)\).
  • Surface apparente = faces visibles × aire d’une face.
  • Patron d’un cube : 6 carrés, reliés par des côtés, pliage sans chevauchement.
  • Attention “minimum vs maximum” : vues identiques ne garantissent pas un seul assemblage.