Nombres Entiers Decimaux

Cours — Les nombres entiers et décimaux (6e)

Objectifs : lire/écrire des nombres, placer sur une droite graduée, comparer, encadrer, arrondir, comprendre la valeur des chiffres (unités, dizaines, centièmes…), passer des fractions décimales aux décimaux.

Un nombre peut représenter une quantité (ex : 18 élèves), une mesure (ex : 2,45 m), ou une position sur une droite graduée. En 6e, on travaille surtout :

les entiers : \(0, 1, 2, 3, \dots\)
les décimaux : \(1,2\) ; \(3,05\) ; \(12,408\) ; etc.

Important : en français, on écrit la virgule pour séparer la partie entière et la partie décimale : \(12,5\) (et pas 12.5).

1) Les nombres entiers

Un nombre entier s’écrit sans virgule : \(0, 7, 15, 128, 3\,000, 45\,920\)… On peut le décomposer en utilisant la valeur de chaque chiffre (unités, dizaines, centaines…).

Décomposition

Exemple : \(45\,920\)

\(4\) dizaines de milliers \(= 40\,000\)
\(5\) milliers \(= 5\,000\)
\(9\) centaines \(= 900\)
\(2\) dizaines \(= 20\)
\(0\) unités \(= 0\)

Donc : \(\;45\,920 = 40\,000 + 5\,000 + 900 + 20\).

Écriture en lettres (méthode)

On repère les « paquets » : milliers, millions, etc.
On lit chaque paquet comme un nombre classique.
On ajoute le mot mille, million(s)…

Exemple : \(12\,304\) se lit : douze mille trois cent quatre.

2) Les nombres décimaux : comprendre la virgule

Un nombre décimal s’écrit avec une virgule. Il est composé de :

la partie entière (à gauche de la virgule)
la partie décimale (à droite de la virgule)

Exemple : pour \(12,408\) → partie entière \(= 12\), partie décimale \(= 408\).

Valeur des chiffres après la virgule

Après la virgule, chaque position a un nom : dixièmes, centièmes, millièmes, etc.

Exemple : \(12,408\)

\(4\) est le chiffre des dixièmes → \(0,4\)
\(0\) est le chiffre des centièmes → \(0,00\)
\(8\) est le chiffre des millièmes → \(0,008\)

Donc : \(\;12,408 = 12 + 0,4 + 0,008\).

Attention : \(12,4\) et \(12,40\) représentent la même valeur (zéro ajouté à droite).

3) Tableau de numération (méthode sûre)

Pour écrire / lire un décimal sans se tromper, on peut utiliser un tableau de numération.

…	Centaines	Dizaines	Unités	Virgule	Dixièmes	Centièmes	Millièmes	…
	1	2	3	,	4	0	8

Ici : \(123,408\). On voit immédiatement le rôle de chaque chiffre.

Astuce : aligne toujours les virgules quand tu compares, additionnes ou soustrais des décimaux.

4) Fractions décimales et écriture décimale

Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est \(10\), \(100\), \(1\,000\), etc. Elle correspond à un nombre décimal.

Exemples directs

\(\dfrac{7}{10} = 0,7\)
\(\dfrac{25}{100} = 0,25\)
\(\dfrac{408}{1\,000} = 0,408\)

Passer d’une fraction décimale au décimal

On place la virgule en comptant le nombre de zéros du dénominateur :

/10 → 1 chiffre après la virgule
/100 → 2 chiffres après la virgule
/1 000 → 3 chiffres après la virgule

\(\dfrac{3}{100} = 0,03\) (on ajoute un zéro si nécessaire).

Attention : \(0,03\) n’est pas \(0,3\). Dans \(0,03\), le 3 est un centième.

5) Placer un nombre sur une droite graduée

Pour placer un nombre, on repère l’intervalle entre deux entiers, puis on découpe. Exemple : placer \(3,7\).

On repère \(3\) et \(4\).
Entre 3 et 4, on découpe en 10 parts égales (dixièmes).
\(3,7\) est au 7e dixième après 3.

Même idée pour \(3,42\) : on découpe d’abord en dixièmes, puis le bon dixième en centièmes.

6) Comparer des nombres : méthode infaillible

Pour comparer deux nombres, on peut utiliser : la droite graduée (le plus à droite est le plus grand) ou une méthode écrite.

Méthode écrite (avec virgules alignées)

Comparer d’abord les parties entières.
Si elles sont égales, comparer les dixièmes, puis centièmes, etc.
Si besoin, ajouter des zéros à droite : \(2,5 = 2,50 = 2,500\).

Exemples

\(12,4\) et \(12,37\) : parties entières égales (12), on compare \(4\) dixièmes à \(3\) dixièmes → \(12,4 > 12,37\).
\(7,09\) et \(7,1\) : écrire \(7,1 = 7,10\) → \(7,09 < 7,10\).

Piège classique : \(3,12\) est plus grand que \(3,2\) ? Non : \(3,2 = 3,20\) donc \(3,12 < 3,20\).

7) Encadrer et intercaler

Encadrer un nombre, c’est trouver deux nombres : un plus petit et un plus grand.

Encadrement par deux entiers

Exemple : \(5,73\) est entre 5 et 6 : \[ 5 < 5,73 < 6 \]

Encadrement au dixième

Au dixième, \(5,73\) est entre \(5,7\) et \(5,8\) : \[ 5,7 < 5,73 < 5,8 \]

Intercaler (trouver un nombre entre deux nombres)

Entre \(2,4\) et \(2,5\), on peut choisir \(2,45\). Entre \(7,09\) et \(7,1\), on peut choisir \(7,095\).

8) Arrondir un nombre décimal

Arrondir, c’est donner une valeur proche, plus simple à lire/utiliser. Règle : on regarde le chiffre juste après le rang d’arrondi.

Règle d’arrondi

Si le chiffre suivant est \(0,1,2,3,4\) → on garde le chiffre (on ne change rien).
Si le chiffre suivant est \(5,6,7,8,9\) → on augmente le chiffre d’1.

Exemple : \(12,476\)

À l’unité : regarder le dixième (4) → \(12,476 \approx 12\)
Au dixième : regarder le centième (7) → \(12,476 \approx 12,5\)
Au centième : regarder le millième (6) → \(12,476 \approx 12,48\)

Attention aux passages

Exemple : \(3,99\) arrondi à l’unité : le dixième vaut 9 → on augmente 3 → \(3,99 \approx 4\).

À retenir : l’arrondi utilise le symbole \(\approx\) (environ).

9) Écritures équivalentes (très utile)

On peut ajouter ou supprimer des zéros à droite de la partie décimale sans changer la valeur :

\(6,2 = 6,20 = 6,200\)
\(15,040 = 15,04\) (on peut supprimer des zéros à droite)

Mais : on ne supprime pas les zéros « utiles » au début : \(0,03\) ne devient pas \(0,3\).

Synthèse — Checklist

Je sais distinguer entier et décimal.
Je sais lire la valeur des chiffres (unités, dixièmes, centièmes…).
Je sais comparer des décimaux (virgules alignées + zéros si besoin).
Je sais encadrer un décimal par des entiers, des dixièmes, des centièmes.
Je sais arrondir à l’unité, au dixième, au centième.

Phrase clé : “Après la virgule : dixièmes, centièmes, millièmes… et j’aligne toujours les virgules.”