Nombres Entiers Decimaux
6EME • MATHS — Learna
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Exercices — Nombres entiers et décimaux (6e) • Niveau difficile
Objectif : maîtriser la numération, la comparaison, les encadrements, les arrondis et les fractions décimales. Corrigés détaillés à ouvrir/fermer.
Méthodes à appliquer
  • Comparer : partie entière → dixièmes → centièmes → millièmes (ajouter des zéros si besoin).
  • Encadrer : toujours écrire “plus petit < nombre < plus grand”.
  • Arrondir : regarder le chiffre juste après le rang demandé.
  • Fractions décimales : /10 → 1 chiffre ; /100 → 2 chiffres ; /1 000 → 3 chiffres.
Exercice 1 — Décomposer (sans se tromper)
Décomposer les nombres suivants comme une somme (ex : \(45\,920 = 40\,000 + 5\,000 + 900 + 20\)).
  1. \(508\,040\)
  2. \(70\,005\)
  3. \(9\,090\,009\)
  4. \(300\,300\)
Correction détaillée
1) \(508\,040 = 500\,000 + 8\,000 + 40\).
2) \(70\,005 = 70\,000 + 5\).
3) \(9\,090\,009 = 9\,000\,000 + 90\,000 + 9\).
4) \(300\,300 = 300\,000 + 300\).
Piège : on n’écrit pas “+ 0” inutilement, mais on ne “perd” jamais une position.
Exercice 2 — Tableau de numération (analyse fine)
Pour chaque nombre, donner : (a) la partie entière, (b) le chiffre des dixièmes, (c) le chiffre des centièmes, (d) le chiffre des millièmes.
  1. \(17,806\)
  2. \(0,409\)
  3. \(205,04\)
  4. \(9,0007\)
Correction détaillée
  • 1) \(17,806\) → partie entière \(17\), dixièmes \(8\), centièmes \(0\), millièmes \(6\).
  • 2) \(0,409\) → partie entière \(0\), dixièmes \(4\), centièmes \(0\), millièmes \(9\).
  • 3) \(205,04\) → partie entière \(205\), dixièmes \(0\), centièmes \(4\), millièmes \(0\) (on peut écrire \(205,040\)).
  • 4) \(9,0007\) → partie entière \(9\), dixièmes \(0\), centièmes \(0\), millièmes \(0\).
    Le 7 est au rang des dix-millièmes.
Piège : dans \(9,0007\), les millièmes valent 0, même si on “voit” un 7 plus loin.
Exercice 3 — Comparaisons en chaîne
Classer dans l’ordre croissant (du plus petit au plus grand). Justifier par la méthode “virgules alignées”.
\(7,2\) ; \(7,19\) ; \(7,021\) ; \(7,201\) ; \(7,0209\) ; \(7,210\)
Correction détaillée
On écrit tous les nombres avec le même nombre de chiffres après la virgule (4 chiffres par exemple) :
  • \(7,2 = 7,2000\)
  • \(7,19 = 7,1900\)
  • \(7,021 = 7,0210\)
  • \(7,201 = 7,2010\)
  • \(7,0209\) (déjà 4 chiffres)
  • \(7,210 = 7,2100\)
On compare maintenant comme des entiers : 0209 < 0210 < 1900 < 2000 < 2010 < 2100.
Ordre croissant : \[ 7,0209 < 7,021 < 7,0210? \text{(c'est le même)} \quad \Rightarrow \quad 7,0209 < 7,021 < 7,19 < 7,2 < 7,201 < 7,210 \]
Remarque : \(7,021 = 7,0210\). Écrire des zéros aide à comparer sans piège.
Exercice 4 — Encadrements successifs (précision)
Pour le nombre \(x = 48,736\), donner :
  1. un encadrement par deux entiers consécutifs
  2. un encadrement au dixième
  3. un encadrement au centième
  4. un encadrement au millième
Correction détaillée
  • Entiers : \(48 < 48,736 < 49\)
  • Au dixième : \(48,7 < 48,736 < 48,8\)
  • Au centième : \(48,73 < 48,736 < 48,74\)
  • Au millième : \(48,735 < 48,736 < 48,737\)
Astuce : au millième, on encadre avec les deux millièmes voisins.
Exercice 5 — Arrondir (niveau +++)
Pour chaque nombre, donner l’arrondi : (a) à l’unité, (b) au dixième, (c) au centième. Justifier en indiquant le chiffre “qui décide”.
  1. \(19,949\)
  2. \(0,995\)
  3. \(204,050\)
  4. \(7,4444\)
Correction détaillée
1) \(19,949\)
  • Unité : dixième = 9 → \(19,949 \approx 20\)
  • Dixième : centième = 4 → \(19,949 \approx 19,9\)
  • Centième : millième = 9 → \(19,949 \approx 19,95\)
2) \(0,995\)
  • Unité : dixième = 9 → \(0,995 \approx 1\)
  • Dixième : centième = 9 → \(0,995 \approx 1,0\)
  • Centième : millième = 5 → \(0,995 \approx 1,00\)
Piège : arrondir peut faire “passer” à l’entier suivant.
3) \(204,050\)
  • Unité : dixième = 0 → \(204,050 \approx 204\)
  • Dixième : centième = 5 → \(204,050 \approx 204,1\)
  • Centième : millième = 0 → \(204,050 \approx 204,05\)
4) \(7,4444\)
  • Unité : dixième = 4 → \(7,4444 \approx 7\)
  • Dixième : centième = 4 → \(7,4444 \approx 7,4\)
  • Centième : millième = 4 → \(7,4444 \approx 7,44\)
Exercice 6 — Fractions décimales ↔ décimaux (difficile)
1) Écrire sous forme de fraction décimale, puis sous forme décimale. 2) Écrire sous forme décimale, puis sous forme de fraction décimale.
1) Fraction → décimal
  1. \(\dfrac{7}{100}\)
  2. \(\dfrac{305}{1\,000}\)
  3. \(\dfrac{4}{10\,000}\)
  4. \(\dfrac{1\,200}{100}\)
2) Décimal → fraction décimale
  1. \(0,08\)
  2. \(12,375\)
  3. \(3,004\)
  4. \(40,5\)
Correction détaillée
1) Fraction → décimal
  • \(\dfrac{7}{100} = 0,07\)
  • \(\dfrac{305}{1\,000} = 0,305\)
  • \(\dfrac{4}{10\,000} = 0,0004\)
  • \(\dfrac{1\,200}{100} = 12,00 = 12\)
2) Décimal → fraction décimale
  • \(0,08 = \dfrac{8}{100}\)
  • \(12,375 = \dfrac{12\,375}{1\,000}\)
  • \(3,004 = \dfrac{3\,004}{1\,000}\)
  • \(40,5 = \dfrac{405}{10}\)
Méthode : le dénominateur est \(10^n\) où \(n\) est le nombre de chiffres après la virgule.
Exercice 7 — Problème complet (difficile)
Une athlète réalise quatre sauts : \(4,78\) m ; \(4,805\) m ; \(4,8\) m ; \(4,799\) m.
  1. Classer ces performances dans l’ordre décroissant.
  2. Donner la meilleure performance arrondie au centième.
  3. Encadrer \(4,799\) au millième puis au centième.
Correction détaillée
1) On aligne les virgules (3 chiffres après la virgule) : \(4,780\) ; \(4,805\) ; \(4,800\) ; \(4,799\).
Ordre décroissant : \[ 4,805 > 4,8 > 4,799 > 4,78 \]
2) Meilleure = \(4,805\). Arrondi au centième : on regarde le millième (5) → on augmente le centième : \[ 4,805 \approx 4,81 \]
3) Encadrements :
  • Au millième : \(4,798 < 4,799 < 4,800\)
  • Au centième : \(4,79 < 4,799 < 4,80\)
Exercice 8 — Chasse aux erreurs (niveau difficile)
Un élève affirme :
  1. “\(0,5\) est plus petit que \(0,48\) car 5 < 48.”
  2. “\(12,040 = 12,4\).”
  3. “\(\dfrac{3}{100} = 0,3\).”
  4. “\(7,099\) arrondi au dixième donne \(7,0\).”
Dire si chaque phrase est vraie ou fausse, puis corriger.
Correction détaillée
  • 1) Faux. \(0,5 = 0,50\) donc \(0,50 > 0,48\).
  • 2) Faux. \(12,040 = 12,04\) (pas \(12,4\)).
  • 3) Faux. \(\dfrac{3}{100} = 0,03\).
  • 4) Faux. Au dixième, on regarde le centième : \(7,099\) → centième = 9 donc \(7,099 \approx 7,1\).
Idée clé : toujours comparer avec le même nombre de chiffres après la virgule.
Défi (bonus) — Trouver un nombre qui respecte tout
Trouver un nombre décimal \(n\) tel que :
  • \(3,4 < n < 3,5\)
  • arrondi au dixième : \(n \approx 3,5\)
  • le chiffre des centièmes est 2
Une solution + explication
On veut \(n\) entre \(3,4\) et \(3,5\), avec centièmes = 2 : donc \(n\) commence par \(3,42\_\).
Pour que l’arrondi au dixième soit \(3,5\), il faut que le centième soit \(\ge 5\) quand on arrondit au dixième… mais ici le centième est 2, donc impossible avec \(3,42\_\).
Conclusion : il n’existe aucun nombre \(n\) qui respecte les 3 conditions en même temps.
Pourquoi c’est intéressant ? Ça oblige à comprendre exactement ce qui “décide” un arrondi.