Fiche de révision — Les longueurs (6e)
Conversions • périmètres • cercle et disque • rayon/diamètre • \(\pi\) • problèmes.
Fiche complète : formules, méthodes, exemples, pièges.
1) Unités de longueur + conversions
Échelle des unités
\[
\text{km} \rightarrow \text{hm} \rightarrow \text{dam} \rightarrow \text{m} \rightarrow \text{dm} \rightarrow \text{cm} \rightarrow \text{mm}
\]
Aller vers la droite : \(\times 10\) à chaque étape.
Aller vers la gauche : \(\div 10\) à chaque étape.
Conversions rapides (classiques)
- \(1\ \text{m} = 100\ \text{cm}\)
- \(1\ \text{cm} = 10\ \text{mm}\)
- \(1\ \text{km} = 1\,000\ \text{m}\)
Exemples
- \(2,5\ \text{m} = 250\ \text{cm}\)
- \(480\ \text{mm} = 48\ \text{cm}\)
- \(3\,600\ \text{m} = 3,6\ \text{km}\)
Piège : avant d’additionner des longueurs, on met tout dans la même unité.
2) Périmètre : définition + formules
Définition
Le périmètre est la longueur du contour.
Pour un polygone : on additionne les longueurs des côtés du contour.
Rectangle
\[
P = 2(L+l)
\]
On additionne une longueur et une largeur, puis on multiplie par 2.
Carré
\[
P = 4c
\]
4 côtés égaux.
Triangle
\[
P = a+b+c
\]
Somme des 3 côtés.
Réflexe : vérifier que le contour est complet (ne pas oublier un côté).
3) Cercle et disque : mots importants
Cercle
Le cercle, c’est le contour “rond”.
Son périmètre s’appelle circonférence.
Disque
Le disque, c’est la surface à l’intérieur du cercle.
Ici, on travaille surtout la longueur (périmètre du cercle).
Rayon \(r\) et diamètre \(d\)
- \(r\) : du centre au cercle.
- \(d\) : traverse le cercle et passe par le centre.
\[
d=2r \qquad\text{et}\qquad r=\dfrac{d}{2}
\]
Piège : si on te donne le rayon, ne confonds pas avec le diamètre.
Exemple : si \(r=6\), alors \(d=12\).
4) Le nombre \(\pi\)
Définition (idée)
\(\pi\) relie la circonférence d’un cercle à son diamètre :
\[
\pi = \dfrac{\text{circonférence}}{\text{diamètre}}
\]
Valeur approchée (6e)
\[
\pi \approx 3,14
\]
On utilise souvent \(3,14\) pour les calculs.
Piège : \(\pi\) n’est pas “égal” à 3,14, c’est une approximation : on écrit \(\approx\).
5) Périmètre du cercle : formules + méthode
Formules
\[
C=\pi d
\qquad\text{ou}\qquad
C=2\pi r
\]
Choisir selon l’information donnée (diamètre \(d\) ou rayon \(r\)).
Méthode express
- Identifier si on a \(r\) ou \(d\).
- Si besoin, convertir : \(d=2r\) ou \(r=\dfrac{d}{2}\).
- Appliquer la formule.
- Donner l’unité et indiquer \(\approx\) si c’est une valeur approchée.
Exemple (diamètre)
\(d=10\ \text{cm}\)
\[
C \approx 3,14\times 10 = 31,4\ \text{cm}
\]
Exemple (rayon)
\(r=6\ \text{cm}\)
\[
C \approx 2\times 3,14\times 6 = 37,68\ \text{cm}
\]
On peut arrondir : \(37,7\ \text{cm}\).
6) Problèmes types (méthodes + réponses)
Type A — Clôture (rectangle)
Un jardin \(18\ \text{m}\) par \(12\ \text{m}\).
Longueur de clôture ?
Voir la méthode / réponse
\(P=2(L+l)=2(18+12)=2\times 30=60\ \text{m}\).
Réponse : \(60\ \text{m}\)
Type B — Piste (cercle)
Rayon \(r=20\ \text{m}\).
Distance pour un tour ?
Voir la méthode / réponse
\(C=2\pi r \approx 2\times 3,14\times 20=125,6\ \text{m}\).
Réponse : \(125,6\ \text{m}\)
Type C — Conversion + périmètre
Un rectangle de \(2,4\ \text{m}\) par \(90\ \text{cm}\).
Donner le périmètre en cm.
Voir la méthode / réponse
\(2,4\ \text{m}=240\ \text{cm}\).
\(P=2(240+90)=2\times 330=660\ \text{cm}\).
Réponse : \(660\ \text{cm}\)
Type D — Attention rayon/diamètre
Un cercle a un diamètre \(d=14\ \text{cm}\).
Quelle circonférence ?
Voir la méthode / réponse
\(C=\pi d \approx 3,14\times 14=43,96\ \text{cm}\).
Réponse : \(43,96\ \text{cm}\) (≈ \(44,0\ \text{cm}\))
Astuce : pour vérifier un résultat :
une circonférence doit être “un peu plus que 3 fois le diamètre” car \(\pi \approx 3,14\).
7) Pièges à éviter
- Ne pas additionner des longueurs dans des unités différentes (convertir avant).
- Ne pas confondre cercle (contour) et disque (surface).
- Ne pas confondre rayon \(r\) et diamètre \(d\) : \(d=2r\).
- Pour un cercle : utiliser \(C=\pi d\) ou \(C=2\pi r\), pas une autre formule.
- Écrire \(\approx\) quand on utilise \(\pi \approx 3,14\).
Checklist finale
- Je sais convertir km ↔ m ↔ cm ↔ mm.
- Je sais calculer le périmètre d’un polygone (somme des côtés).
- Je connais \(P=2(L+l)\) pour un rectangle et \(P=4c\) pour un carré.
- Je connais rayon/diamètre et \(d=2r\).
- Je sais utiliser \(\pi \approx 3,14\).
- Je sais calculer la circonférence : \(C=\pi d\) ou \(C=2\pi r\).
- Je donne l’unité et une valeur approchée si besoin.