Cours — Les longueurs (6e)
Mesurer et convertir • périmètres • cercle et disque • diamètre, rayon • nombre \(\pi\) • résoudre des problèmes.
Objectif : être capable de calculer une longueur “autour” (périmètre) et de faire les bonnes conversions.
À retenir : le périmètre, c’est la longueur du contour.
Pour un cercle, le périmètre s’appelle aussi la circonférence.
1) Unités de longueur et conversions
Unités (du plus grand au plus petit)
\[
\text{km} \; \rightarrow \; \text{hm} \; \rightarrow \; \text{dam} \; \rightarrow \; \text{m} \; \rightarrow \; \text{dm} \; \rightarrow \; \text{cm} \; \rightarrow \; \text{mm}
\]
Chaque “pas” vers la droite multiplie par 10. Chaque “pas” vers la gauche divise par 10.
Exemples rapides
- \(3,2\ \text{m} = 320\ \text{cm}\) (×100)
- \(450\ \text{mm} = 45\ \text{cm}\) (÷10)
- \(1,8\ \text{km} = 1\,800\ \text{m}\) (×1 000)
Erreur fréquente
Ne pas confondre “m” et “cm” : \(2\ \text{m} \neq 2\ \text{cm}\).
\(2\ \text{m} = 200\ \text{cm}\).
2) Périmètre : définition
Le périmètre d’une figure est la somme des longueurs de tous ses côtés (ou de son contour).
On l’exprime dans une unité de longueur (cm, m…).
Périmètre d’un polygone (méthode)
- Repérer tous les côtés du contour.
- Vérifier que les longueurs sont dans la même unité.
- Additionner.
Rectangle
Longueur \(L\), largeur \(l\).
\[
P = 2(L+l)
\]
On additionne les 2 longueurs et les 2 largeurs.
Carré
Côté \(c\).
\[
P = 4c
\]
Les 4 côtés sont égaux.
Triangle
Côtés \(a\), \(b\), \(c\).
\[
P = a+b+c
\]
Piège : si une longueur est en m et l’autre en cm, on convertit d’abord
sinon l’addition n’a pas de sens.
3) Cercle et disque : vocabulaire
Cercle
Le cercle est la ligne (le contour rond).
Le périmètre du cercle s’appelle la circonférence.
Disque
Le disque, c’est la surface remplie à l’intérieur du cercle.
Dans ce chapitre, on parle surtout de longueur (périmètre du cercle).
Rayon et diamètre
- Rayon : segment du centre au cercle. Noté \(r\).
- Diamètre : segment qui passe par le centre et relie deux points du cercle. Noté \(d\).
\[
d = 2r \qquad \text{et} \qquad r = \dfrac{d}{2}
\]
4) Le nombre \(\pi\)
\(\pi\) est un nombre spécial qui apparaît dès qu’on travaille avec des cercles.
Il représente le rapport “circonférence ÷ diamètre”.
Définition
\[
\pi = \dfrac{\text{circonférence}}{\text{diamètre}}
\]
Donc \(\text{circonférence} = \pi \times \text{diamètre}\).
Valeur approchée
\[
\pi \approx 3,14
\]
On utilise souvent \(3,14\) en 6e.
Important : \(\pi\) n’est pas exactement 3,14 : c’est une approximation.
5) Périmètre du cercle (circonférence)
Formules
\[
C = \pi \times d
\qquad\text{ou}\qquad
C = 2\pi r
\]
On choisit la formule selon ce qu’on connaît : diamètre \(d\) ou rayon \(r\).
Exemple 1 (avec diamètre)
Un cercle a un diamètre \(d=10\ \text{cm}\).
\[
C = \pi d \approx 3,14 \times 10 = 31,4\ \text{cm}
\]
Réponse : \(31,4\ \text{cm}\)
Exemple 2 (avec rayon)
Un cercle a un rayon \(r=6\ \text{cm}\).
\[
C = 2\pi r \approx 2\times 3,14 \times 6 = 37,68\ \text{cm}
\]
Réponse : \(37,68\ \text{cm}\) (≈ \(37,7\ \text{cm}\))
Conseil : annoncer si on donne une valeur approchée (symbole \(\approx\)).
6) Résoudre des problèmes de périmètres (méthode)
Méthode en 4 étapes
- Comprendre : quelle longueur cherche-t-on ? (contour total ? cercle ? rectangle ?)
- Données : lister les longueurs utiles (et convertir si besoin).
- Choisir la formule : somme des côtés, \(2(L+l)\), \(4c\), \(\pi d\) ou \(2\pi r\).
- Calculer et donner l’unité. Indiquer \(\approx\) si nécessaire.
Problème A
Un jardin rectangulaire mesure \(18\ \text{m}\) de long et \(12\ \text{m}\) de large.
On veut poser une clôture tout autour. Quelle longueur de clôture faut-il ?
\[
P = 2(L+l)=2(18+12)=2\times 30=60\ \text{m}
\]
Réponse : \(60\ \text{m}\)
Problème B
Une piste circulaire a un rayon de \(20\ \text{m}\).
Quelle distance parcourt-on en faisant un tour ?
\[
C = 2\pi r \approx 2\times 3,14\times 20 = 125,6\ \text{m}
\]
Réponse : \(125,6\ \text{m}\)
Piège : ne pas confondre diamètre et rayon.
Si on te donne le rayon, n’utilise pas \(\pi d\) sans d’abord calculer \(d=2r\).
Synthèse — Checklist
- Je connais les unités km, m, cm, mm et je sais convertir.
- Je sais calculer un périmètre en additionnant les côtés (même unité).
- Rectangle : \(P=2(L+l)\). Carré : \(P=4c\).
- Je sais la différence : cercle (contour) / disque (surface).
- Je connais rayon \(r\), diamètre \(d\) et la relation \(d=2r\).
- Je sais utiliser \(\pi \approx 3,14\).
- Cercle : \(C=\pi d\) ou \(C=2\pi r\).
- Je donne l’unité et j’utilise \(\approx\) si c’est une approximation.