Longueurs
6EME • MATHS — Learna
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Exercices — Les longueurs (6e) • Niveau difficile
Conversions • périmètres de polygones • cercle / disque • rayon / diamètre • \(\pi\) • problèmes complets. Corrigés détaillés à ouvrir/fermer.
Méthodes à appliquer
  • Avant tout calcul : convertir dans la même unité.
  • Périmètre polygone : somme de tous les côtés du contour.
  • Rectangle : \(P=2(L+l)\). Carré : \(P=4c\).
  • Cercle (circonférence) : \(C=\pi d\) ou \(C=2\pi r\), avec \(\pi \approx 3,14\).
  • Rayon/diamètre : \(d=2r\).
  • Réponse : une valeur + l’unité (et \(\approx\) si c’est une approximation).
Exercice 1 — Conversions (difficile)
Effectuer les conversions demandées.
  1. \(3,45\ \text{m}\) en cm.
  2. \(2\,750\ \text{mm}\) en m.
  3. \(0,84\ \text{km}\) en m.
  4. \(125\ \text{cm}\) en m.
  5. \(6,2\ \text{m}\) en mm.
  6. \(3\,600\ \text{m}\) en km.
Correction détaillée
  • 1) \(3,45\ \text{m} = 345\ \text{cm}\) (×100).
  • 2) \(2\,750\ \text{mm} = 2,75\ \text{m}\) (÷1 000).
  • 3) \(0,84\ \text{km} = 840\ \text{m}\) (×1 000).
  • 4) \(125\ \text{cm} = 1,25\ \text{m}\) (÷100).
  • 5) \(6,2\ \text{m} = 6\,200\ \text{mm}\) (×1 000).
  • 6) \(3\,600\ \text{m} = 3,6\ \text{km}\) (÷1 000).
Astuce : m → cm : ×100 ; m → mm : ×1 000 ; km → m : ×1 000.
Exercice 2 — Périmètres de polygones (difficile)
Calculer le périmètre. Convertir si nécessaire pour avoir une seule unité.
  1. Triangle : \(a=6,8\ \text{cm}\), \(b=9,5\ \text{cm}\), \(c=12,7\ \text{cm}\).
  2. Rectangle : \(L=2,4\ \text{m}\) et \(l=90\ \text{cm}\). Donner le périmètre en cm.
  3. Carré : côté \(c=0,75\ \text{m}\). Donner le périmètre en cm.
  4. Polygone : côtés \(35\ \text{mm}\), \(4,2\ \text{cm}\), \(0,08\ \text{m}\), \(12\ \text{mm}\). Donner en mm.
Correction détaillée
1) Triangle
\[ P = 6,8 + 9,5 + 12,7 = 29,0\ \text{cm} \]
2) Rectangle
\(2,4\ \text{m} = 240\ \text{cm}\). \[ P=2(L+l)=2(240+90)=2\times 330=660\ \text{cm} \]
3) Carré
\(0,75\ \text{m} = 75\ \text{cm}\). \[ P=4c=4\times 75=300\ \text{cm} \]
4) Polygone (tout en mm)
\(4,2\ \text{cm}=42\ \text{mm}\). \(0,08\ \text{m}=80\ \text{mm}\). \[ P=35+42+80+12=169\ \text{mm} \]
Exercice 3 — Cercles : rayon, diamètre, circonférence
Utiliser \(\pi \approx 3,14\). Donner une valeur approchée (écrire \(\approx\)).
  1. Diamètre \(d=12\ \text{cm}\). Calculer \(C\).
  2. Rayon \(r=7\ \text{cm}\). Calculer \(C\).
  3. Diamètre \(d=2,5\ \text{m}\). Calculer \(C\) en m.
  4. Rayon \(r=45\ \text{mm}\). Calculer \(C\) en mm.
Correction détaillée
  • 1) \(C=\pi d \approx 3,14\times 12 = 37,68\ \text{cm}\).
  • 2) \(C=2\pi r \approx 2\times 3,14\times 7 = 43,96\ \text{cm}\).
  • 3) \(C=\pi d \approx 3,14\times 2,5 = 7,85\ \text{m}\).
  • 4) \(C=2\pi r \approx 2\times 3,14\times 45 = 282,6\ \text{mm}\).
Contrôle rapide : la circonférence est un peu plus que 3 fois le diamètre (car \(\pi \approx 3,14\)).
Exercice 4 — Retrouver \(d\) ou \(r\) à partir de \(C\) (dur)
On utilise \(\pi \approx 3,14\). On cherche une valeur approchée.
  1. Un cercle a une circonférence \(C \approx 31,4\ \text{cm}\). Trouver son diamètre \(d\).
  2. Un cercle a une circonférence \(C \approx 62,8\ \text{cm}\). Trouver son rayon \(r\).
  3. Une roue a une circonférence \(C \approx 188,4\ \text{cm}\). Trouver \(d\) puis \(r\).
Correction détaillée
Rappel
\(C=\pi d \Rightarrow d \approx \dfrac{C}{\pi}\) et \(C=2\pi r \Rightarrow r \approx \dfrac{C}{2\pi}\).
  • 1) \(d \approx \dfrac{31,4}{3,14}=10\ \text{cm}\).
  • 2) \(r \approx \dfrac{62,8}{2\times 3,14}=\dfrac{62,8}{6,28}=10\ \text{cm}\).
  • 3) \(d \approx \dfrac{188,4}{3,14}=60\ \text{cm}\), donc \(r=\dfrac{60}{2}=30\ \text{cm}\).
Exercice 5 — Problèmes complets (dur)
Problème A — Clôture + portail
Un terrain rectangulaire mesure \(25\ \text{m}\) sur \(18\ \text{m}\). On pose une clôture tout autour sauf un portail de \(3,5\ \text{m}\). Quelle longueur de clôture faut-il ?
Problème B — Piste circulaire
Une piste est un cercle de rayon \(r=35\ \text{m}\). 1) Quelle distance pour 1 tour ? 2) Quelle distance pour 3 tours ?
Problème C — Corde autour d’un disque
On veut entourer un disque de diamètre \(d=48\ \text{cm}\) avec une corde. On ajoute \(12\ \text{cm}\) pour faire un nœud. Quelle longueur de corde faut-il (en cm) ?
Correction détaillée
A) Clôture + portail
Périmètre du rectangle : \[ P=2(L+l)=2(25+18)=2\times 43=86\ \text{m} \] On enlève le portail : \[ 86-3,5=82,5\ \text{m} \]
Réponse : \(82,5\ \text{m}\)
B) Piste circulaire
\[ C=2\pi r \approx 2\times 3,14\times 35 = 219,8\ \text{m} \] Pour 3 tours : \[ 3\times 219,8 = 659,4\ \text{m} \]
Réponses : \(219,8\ \text{m}\) ; \(659,4\ \text{m}\)
C) Corde + nœud
Circonférence : \[ C=\pi d \approx 3,14\times 48 = 150,72\ \text{cm} \] Avec le nœud : \[ 150,72 + 12 = 162,72\ \text{cm} \]
Réponse : \(162,72\ \text{cm}\) (≈ \(162,7\ \text{cm}\))
Défi (bonus) — Pièges d’unités
Une roue a un diamètre de \(0,7\ \text{m}\). 1) Calculer sa circonférence en m. 2) Convertir cette circonférence en cm. (On utilise \(\pi \approx 3,14\).)
Correction
1) \(C=\pi d \approx 3,14\times 0,7 = 2,198\ \text{m}\). 2) \(2,198\ \text{m} = 219,8\ \text{cm}\) (×100).
Réponses : \(2,198\ \text{m}\) ; \(219,8\ \text{cm}\)