Exercices corrigés — Les Longueurs (6e)
Cette page propose des exercices corrigés de mathématiques en 6ème sur Les Longueurs. Tu vas t’entraîner sur notions essentielles du chapitre, méthodes attendues en 6ème, exemples guidés, exercices d’application avec des questions progressives et des corrections pour vérifier chaque étape.
Exercices — Les longueurs (6e) • Niveau difficile
Conversions • périmètres de polygones • cercle / disque • rayon / diamètre • \(\pi\) • problèmes complets.
Corrigés détaillés à ouvrir/fermer.
Méthodes à appliquer
- Avant tout calcul : convertir dans la même unité.
- Périmètre polygone : somme de tous les côtés du contour.
- Rectangle : \(P=2(L+l)\). Carré : \(P=4c\).
- Cercle (circonférence) : \(C=\pi d\) ou \(C=2\pi r\), avec \(\pi \approx 3,14\).
- Rayon/diamètre : \(d=2r\).
- Réponse : une valeur + l’unité (et \(\approx\) si c’est une approximation).
Exercice 1 — Conversions (difficile)
Effectuer les conversions demandées.
- \(3,45\ \text{m}\) en cm.
- \(2\,750\ \text{mm}\) en m.
- \(0,84\ \text{km}\) en m.
- \(125\ \text{cm}\) en m.
- \(6,2\ \text{m}\) en mm.
- \(3\,600\ \text{m}\) en km.
Correction détaillée
- 1) \(3,45\ \text{m} = 345\ \text{cm}\) (×100).
- 2) \(2\,750\ \text{mm} = 2,75\ \text{m}\) (÷1 000).
- 3) \(0,84\ \text{km} = 840\ \text{m}\) (×1 000).
- 4) \(125\ \text{cm} = 1,25\ \text{m}\) (÷100).
- 5) \(6,2\ \text{m} = 6\,200\ \text{mm}\) (×1 000).
- 6) \(3\,600\ \text{m} = 3,6\ \text{km}\) (÷1 000).
Astuce : m → cm : ×100 ; m → mm : ×1 000 ; km → m : ×1 000.
Exercice 2 — Périmètres de polygones (difficile)
Calculer le périmètre. Convertir si nécessaire pour avoir une seule unité.
- Triangle : \(a=6,8\ \text{cm}\), \(b=9,5\ \text{cm}\), \(c=12,7\ \text{cm}\).
- Rectangle : \(L=2,4\ \text{m}\) et \(l=90\ \text{cm}\). Donner le périmètre en cm.
- Carré : côté \(c=0,75\ \text{m}\). Donner le périmètre en cm.
- Polygone : côtés \(35\ \text{mm}\), \(4,2\ \text{cm}\), \(0,08\ \text{m}\), \(12\ \text{mm}\). Donner en mm.
Correction détaillée
1) Triangle
\[
P = 6,8 + 9,5 + 12,7 = 29,0\ \text{cm}
\]
2) Rectangle
\(2,4\ \text{m} = 240\ \text{cm}\).
\[
P=2(L+l)=2(240+90)=2\times 330=660\ \text{cm}
\]
3) Carré
\(0,75\ \text{m} = 75\ \text{cm}\).
\[
P=4c=4\times 75=300\ \text{cm}
\]
4) Polygone (tout en mm)
\(4,2\ \text{cm}=42\ \text{mm}\).
\(0,08\ \text{m}=80\ \text{mm}\).
\[
P=35+42+80+12=169\ \text{mm}
\]
Exercice 3 — Cercles : rayon, diamètre, circonférence
Utiliser \(\pi \approx 3,14\). Donner une valeur approchée (écrire \(\approx\)).
- Diamètre \(d=12\ \text{cm}\). Calculer \(C\).
- Rayon \(r=7\ \text{cm}\). Calculer \(C\).
- Diamètre \(d=2,5\ \text{m}\). Calculer \(C\) en m.
- Rayon \(r=45\ \text{mm}\). Calculer \(C\) en mm.
Correction détaillée
- 1) \(C=\pi d \approx 3,14\times 12 = 37,68\ \text{cm}\).
- 2) \(C=2\pi r \approx 2\times 3,14\times 7 = 43,96\ \text{cm}\).
- 3) \(C=\pi d \approx 3,14\times 2,5 = 7,85\ \text{m}\).
- 4) \(C=2\pi r \approx 2\times 3,14\times 45 = 282,6\ \text{mm}\).
Contrôle rapide : la circonférence est un peu plus que 3 fois le diamètre
(car \(\pi \approx 3,14\)).
Exercice 4 — Retrouver \(d\) ou \(r\) à partir de \(C\) (dur)
On utilise \(\pi \approx 3,14\). On cherche une valeur approchée.
- Un cercle a une circonférence \(C \approx 31,4\ \text{cm}\). Trouver son diamètre \(d\).
- Un cercle a une circonférence \(C \approx 62,8\ \text{cm}\). Trouver son rayon \(r\).
- Une roue a une circonférence \(C \approx 188,4\ \text{cm}\). Trouver \(d\) puis \(r\).
Correction détaillée
Rappel
\(C=\pi d \Rightarrow d \approx \dfrac{C}{\pi}\)
et \(C=2\pi r \Rightarrow r \approx \dfrac{C}{2\pi}\).
- 1) \(d \approx \dfrac{31,4}{3,14}=10\ \text{cm}\).
- 2) \(r \approx \dfrac{62,8}{2\times 3,14}=\dfrac{62,8}{6,28}=10\ \text{cm}\).
- 3) \(d \approx \dfrac{188,4}{3,14}=60\ \text{cm}\), donc \(r=\dfrac{60}{2}=30\ \text{cm}\).
Exercice 5 — Problèmes complets (dur)
Problème A — Clôture + portail
Un terrain rectangulaire mesure \(25\ \text{m}\) sur \(18\ \text{m}\).
On pose une clôture tout autour sauf un portail de \(3,5\ \text{m}\).
Quelle longueur de clôture faut-il ?
Problème B — Piste circulaire
Une piste est un cercle de rayon \(r=35\ \text{m}\).
1) Quelle distance pour 1 tour ?
2) Quelle distance pour 3 tours ?
Problème C — Corde autour d’un disque
On veut entourer un disque de diamètre \(d=48\ \text{cm}\) avec une corde.
On ajoute \(12\ \text{cm}\) pour faire un nœud.
Quelle longueur de corde faut-il (en cm) ?
Correction détaillée
A) Clôture + portail
Périmètre du rectangle :
\[
P=2(L+l)=2(25+18)=2\times 43=86\ \text{m}
\]
On enlève le portail :
\[
86-3,5=82,5\ \text{m}
\]
Réponse : \(82,5\ \text{m}\)
B) Piste circulaire
\[
C=2\pi r \approx 2\times 3,14\times 35 = 219,8\ \text{m}
\]
Pour 3 tours :
\[
3\times 219,8 = 659,4\ \text{m}
\]
Réponses : \(219,8\ \text{m}\) ; \(659,4\ \text{m}\)
C) Corde + nœud
Circonférence :
\[
C=\pi d \approx 3,14\times 48 = 150,72\ \text{cm}
\]
Avec le nœud :
\[
150,72 + 12 = 162,72\ \text{cm}
\]
Réponse : \(162,72\ \text{cm}\) (≈ \(162,7\ \text{cm}\))
Défi (bonus) — Pièges d’unités
Une roue a un diamètre de \(0,7\ \text{m}\).
1) Calculer sa circonférence en m.
2) Convertir cette circonférence en cm.
(On utilise \(\pi \approx 3,14\).)
Correction
1) \(C=\pi d \approx 3,14\times 0,7 = 2,198\ \text{m}\).
2) \(2,198\ \text{m} = 219,8\ \text{cm}\) (×100).
Réponses : \(2,198\ \text{m}\) ; \(219,8\ \text{cm}\)
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