Exercices — Symétries axiale et centrale (avec corrigés)
20 exercices progressifs sur les axes de symétrie, les centres de symétrie, les images de points et de figures, ainsi que les propriétés de conservation des longueurs, des angles, de l’alignement et du parallélisme.
Exercice 1 — Reconnaître une symétrie axiale
Compléter : une symétrie axiale est une transformation géométrique définie par rapport à une ________ appelée axe de symétrie.
Corrigé :
Une symétrie axiale est définie par rapport à une :
\[
\text{droite}
\]
appelée axe de symétrie.
Exercice 2 — Reconnaître une symétrie centrale
Compléter : une symétrie centrale est une transformation géométrique définie par rapport à un ________ appelé centre de symétrie.
Corrigé :
Une symétrie centrale est définie par rapport à un :
\[
\text{point}
\]
appelé centre de symétrie.
Exercice 3 — Image d’un point par symétrie axiale
On considère un point \(A\) et son image \(A'\) par symétrie axiale d’axe \((d)\).
Quelle propriété vérifie l’axe \((d)\) par rapport au segment \([AA']\) ?
Quelle propriété vérifie l’axe \((d)\) par rapport au segment \([AA']\) ?
Corrigé :
L’axe \((d)\) est la médiatrice du segment \([AA']\).
Cela signifie qu’il est perpendiculaire à \([AA']\) et qu’il coupe ce segment en son milieu.
Cela signifie qu’il est perpendiculaire à \([AA']\) et qu’il coupe ce segment en son milieu.
Exercice 4 — Image d’un point par symétrie centrale
On considère un point \(A\) et son image \(A'\) par symétrie centrale de centre \(O\).
Quelle propriété vérifie le point \(O\) par rapport au segment \([AA']\) ?
Quelle propriété vérifie le point \(O\) par rapport au segment \([AA']\) ?
Corrigé :
Le point \(O\) est le milieu du segment \([AA']\).
Exercice 5 — Vrai ou faux
Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse :
1. Une symétrie axiale conserve les longueurs.
2. Une symétrie centrale conserve les angles.
3. L’image d’une droite par une symétrie est toujours une droite.
1. Une symétrie axiale conserve les longueurs.
2. Une symétrie centrale conserve les angles.
3. L’image d’une droite par une symétrie est toujours une droite.
Corrigé :
1. Vrai.
2. Vrai.
3. Vrai.
2. Vrai.
3. Vrai.
Exercice 6 — Axe de symétrie d’une figure simple
Combien un rectangle non carré possède-t-il d’axes de symétrie ?
Corrigé :
Un rectangle non carré possède :
\[
2
\]
axes de symétrie : les droites passant par le centre et parallèles à ses côtés.
Exercice 7 — Axe de symétrie d’un carré
Combien un carré possède-t-il d’axes de symétrie ?
Corrigé :
Un carré possède :
\[
4
\]
axes de symétrie : ses deux diagonales et les deux droites passant par les milieux de côtés opposés.
Exercice 8 — Centre de symétrie
Un parallélogramme possède-t-il un centre de symétrie ? Si oui, lequel ?
Corrigé :
Oui. Un parallélogramme possède un centre de symétrie : c’est le point d’intersection de ses diagonales.
Exercice 9 — Image d’un segment
Par symétrie axiale, quelle est l’image d’un segment \([AB]\) ?
Corrigé :
L’image du segment \([AB]\) est le segment joignant les images des points \(A\) et \(B\).
Si \(A'\) et \(B'\) sont les images de \(A\) et \(B\), alors l’image de \([AB]\) est : \[ [A'B'] \]
Si \(A'\) et \(B'\) sont les images de \(A\) et \(B\), alors l’image de \([AB]\) est : \[ [A'B'] \]
Exercice 10 — Longueur conservée
On sait que \(AB=6\) cm. Quelle est la longueur de l’image \(A'B'\) du segment \([AB]\) par symétrie centrale ?
Corrigé :
Une symétrie centrale conserve les longueurs, donc :
\[
A'B'=AB=6\text{ cm}
\]
Exercice 11 — Alignement conservé
Si les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés, que peut-on dire de leurs images \(A'\), \(B'\) et \(C'\) par une symétrie axiale ?
Corrigé :
Une symétrie axiale conserve l’alignement.
Donc les points \(A'\), \(B'\) et \(C'\) sont également alignés.
Donc les points \(A'\), \(B'\) et \(C'\) sont également alignés.
Exercice 12 — Parallélisme conservé
Une droite \((d_1)\) est parallèle à une droite \((d_2)\). Que peut-on dire de leurs images par une symétrie centrale ?
Corrigé :
Une symétrie centrale conserve le parallélisme.
Donc les images de \((d_1)\) et \((d_2)\) sont encore parallèles.
Donc les images de \((d_1)\) et \((d_2)\) sont encore parallèles.
Exercice 13 — Triangle et symétrie axiale
On considère un triangle \(ABC\) et son image \(A'B'C'\) par symétrie axiale.
Comparer les longueurs \(AB\) et \(A'B'\), puis les angles \(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{A'B'C'}\).
Comparer les longueurs \(AB\) et \(A'B'\), puis les angles \(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{A'B'C'}\).
Corrigé :
Une symétrie axiale conserve les longueurs et les mesures d’angles.
Donc : \[ A'B'=AB \] et \[ \widehat{A'B'C'}=\widehat{ABC} \]
Donc : \[ A'B'=AB \] et \[ \widehat{A'B'C'}=\widehat{ABC} \]
Exercice 14 — Demi-tour
À quelle transformation simple peut-on assimiler une symétrie centrale ?
Corrigé :
Une symétrie centrale est équivalente à un demi-tour, c’est-à-dire une rotation de :
\[
180^\circ
\]
Exercice 15 — Figure avec centre de symétrie
Citer deux figures usuelles qui possèdent un centre de symétrie.
Corrigé :
Par exemple :
- le parallélogramme ;
- le rectangle ;
- le losange ;
- le carré ;
- le cercle (son centre).
- le parallélogramme ;
- le rectangle ;
- le losange ;
- le carré ;
- le cercle (son centre).
Exercice 16 — Figure avec axe(s) de symétrie
Citer deux figures usuelles qui possèdent au moins un axe de symétrie.
Corrigé :
Par exemple :
- le carré ;
- le rectangle ;
- le losange ;
- le cercle ;
- le triangle isocèle ;
- le triangle équilatéral.
- le carré ;
- le rectangle ;
- le losange ;
- le cercle ;
- le triangle isocèle ;
- le triangle équilatéral.
Exercice 17 — Construction par symétrie centrale
Décrire la construction de l’image d’un point \(A\) par symétrie centrale de centre \(O\).
Corrigé :
Pour construire l’image \(A'\) de \(A\) par symétrie centrale de centre \(O\) :
1. tracer la droite \((AO)\) ;
2. placer le point \(A'\) sur cette droite, de l’autre côté de \(O\) ;
3. vérifier que : \[ OA=OA' \] Ainsi, \(O\) est le milieu de \([AA']\).
1. tracer la droite \((AO)\) ;
2. placer le point \(A'\) sur cette droite, de l’autre côté de \(O\) ;
3. vérifier que : \[ OA=OA' \] Ainsi, \(O\) est le milieu de \([AA']\).
Exercice 18 — Construction par symétrie axiale
Décrire la construction de l’image d’un point \(A\) par symétrie axiale d’axe \((d)\).
Corrigé :
Pour construire l’image \(A'\) de \(A\) par symétrie axiale d’axe \((d)\) :
1. tracer la perpendiculaire à \((d)\) passant par \(A\) ;
2. noter \(H\) son point d’intersection avec \((d)\) ;
3. placer \(A'\) de l’autre côté de \((d)\) de façon que : \[ HA=HA' \] Ainsi, \((d)\) est la médiatrice de \([AA']\).
1. tracer la perpendiculaire à \((d)\) passant par \(A\) ;
2. noter \(H\) son point d’intersection avec \((d)\) ;
3. placer \(A'\) de l’autre côté de \((d)\) de façon que : \[ HA=HA' \] Ainsi, \((d)\) est la médiatrice de \([AA']\).
Exercice 19 — Raisonnement
Expliquer pourquoi l’image d’un cercle par une symétrie est encore un cercle.
Corrigé :
Une symétrie conserve les distances.
Or un cercle est l’ensemble des points situés à une même distance d’un centre donné.
Comme les distances sont conservées, l’image d’un cercle est encore un cercle.
Or un cercle est l’ensemble des points situés à une même distance d’un centre donné.
Comme les distances sont conservées, l’image d’un cercle est encore un cercle.
Exercice 20 — Problème final
On considère un segment \([AB]\) de longueur \(8\) cm. Son image par symétrie centrale de centre \(O\) est \([A'B']\).
1. Quelle est la longueur de \([A'B']\) ?
2. Si \(O\) est le milieu de \([AA']\) et que \(OA=3\) cm, quelle est la longueur de \(AA'\) ?
1. Quelle est la longueur de \([A'B']\) ?
2. Si \(O\) est le milieu de \([AA']\) et que \(OA=3\) cm, quelle est la longueur de \(AA'\) ?
Corrigé :
1. Une symétrie centrale conserve les longueurs, donc :
\[
A'B'=AB=8\text{ cm}
\]
2. Comme \(O\) est le milieu de \([AA']\), on a :
\[
OA=OA'=3\text{ cm}
\]
donc :
\[
AA'=OA+OA'=3+3=6\text{ cm}
\]