Cours — Symétries axiale et centrale
Comprendre les deux grandes symétries du plan, construire l’image d’un point ou d’une figure, et utiliser leurs propriétés.
Symétrie axiale
Axe
Symétrie centrale
Centre
Construction
Propriétés
1) La symétrie axiale
\[
\text{La symétrie axiale utilise une droite appelée axe de symétrie.}
\]
Si \(A'\) est l’image de \(A\), alors l’axe de symétrie est la médiatrice du segment \([AA']\).
2) Axe de symétrie
- L’axe est une droite.
- Le point et son image sont à la même distance de l’axe.
- Le segment reliant un point à son image est perpendiculaire à l’axe.
3) Construire l’image d’un point par symétrie axiale
- Tracer la perpendiculaire à l’axe passant par le point.
- Mesurer la distance du point à l’axe.
- Reporter la même distance de l’autre côté.
4) Figures possédant des axes de symétrie
| Figure | Nombre d’axes de symétrie |
|---|---|
| Segment | 1 |
| Rectangle | 2 |
| Carré | 4 |
| Cercle | Une infinité |
5) La symétrie centrale
\[
\text{La symétrie centrale utilise un point appelé centre de symétrie.}
\]
Si \(A'\) est l’image de \(A\), alors le centre \(O\) est le milieu du segment \([AA']\).
6) Propriété fondamentale
\[
OA = OA'
\]
En symétrie centrale, le centre est le milieu du segment reliant un point à son image.
7) Construire l’image d’un point par symétrie centrale
- Tracer la droite passant par le point et le centre.
- Mesurer la distance entre le point et le centre.
- Reporter la même distance de l’autre côté du centre.
8) Comparer les deux symétries
| Type | Élément utilisé | À retenir |
|---|---|---|
| Symétrie axiale | Une droite | L’axe est la médiatrice de \([AA']\) |
| Symétrie centrale | Un point | Le centre est le milieu de \([AA']\) |
9) Exemple simple
Dans un parallélogramme, le point d’intersection des diagonales est un centre de symétrie.
Les sommets opposés sont alors images l’un de l’autre par symétrie centrale.
10) Erreurs fréquentes
| Erreur | Correction |
|---|---|
| Confondre axe et centre | L’axe est une droite, le centre est un point |
| Placer l’image “à vue” | Il faut mesurer ou construire précisément |
| Oublier la perpendicularité en symétrie axiale | Le segment \([AA']\) est perpendiculaire à l’axe |
11) À retenir
- La symétrie axiale utilise une droite appelée axe.
- La symétrie centrale utilise un point appelé centre.
- En symétrie axiale, l’axe est la médiatrice de \([AA']\).
- En symétrie centrale, le centre est le milieu de \([AA']\).
- Les symétries conservent les longueurs et la forme des figures.