Exercices premium HARD — Racine carrée
Carrés parfaits • encadrements • comparaisons • applications géométriques.
Niveau 19–20/20 : pièges de raisonnement, rédaction courte exigée.
Consignes
- Toute comparaison doit être justifiée.
- Pour les encadrements, écrire les carrés parfaits utilisés.
- En géométrie, donner le résultat exact puis un encadrement.
Exercice 1 — Carrés parfaits
Dire si les nombres suivants sont des carrés parfaits :
\[
36 \quad;\quad 49 \quad;\quad 72 \quad;\quad 121 \quad;\quad 150
\]
Si oui, donner leur racine carrée.
✅ Corrigé
\(36=6^2\) → carré parfait, \(\sqrt{36}=6\).
\(49=7^2\) → carré parfait, \(\sqrt{49}=7\).
\(72\) n’est pas un carré parfait.
\(121=11^2\) → carré parfait, \(\sqrt{121}=11\).
\(150\) n’est pas un carré parfait.
Exercice 2 — Calculs directs
Calculer :
\[
\sqrt{81} \quad;\quad \sqrt{1} \quad;\quad \sqrt{144} \quad;\quad \sqrt{0}
\]
puis expliquer pourquoi \(\sqrt{(-7)^2}=7\).
✅ Corrigé
\(\sqrt{81}=9\), \(\sqrt{1}=1\), \(\sqrt{144}=12\), \(\sqrt{0}=0\).
\(\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=7\) car la racine carrée est toujours positive.
Exercice 3 — Encadrer des racines
Encadrer entre deux entiers consécutifs :
\[
\sqrt{20} \quad;\quad \sqrt{45} \quad;\quad \sqrt{90}
\]
✅ Corrigé
\(16<20<25\) donc \(4<\sqrt{20}<5\).
\(36<45<49\) donc \(6<\sqrt{45}<7\).
\(81<90<100\) donc \(9<\sqrt{90}<10\).
Exercice 4 — Comparer (sans calculatrice)
Comparer :
\[
\sqrt{50} \ \square \ 7
\qquad
\sqrt{70} \ \square \ 8
\qquad
\sqrt{45} \ \square \ \sqrt{50}
\]
✅ Corrigé
\(49<50\) donc \(\sqrt{50}>7\).
\(64<70\) donc \(\sqrt{70}>8\).
\(45<50\) donc \(\sqrt{45}<\sqrt{50}\).
Exercice 5 — Comparaisons (pièges)
Comparer et justifier :
\[
\sqrt{18} \ \square \ 4{,}2
\qquad
3\sqrt{5} \ \square \ 7
\]
✅ Corrigé
\(4{,}2^2=17{,}64<18\) donc \(\sqrt{18}>4{,}2\).
\((3\sqrt{5})^2=9\times5=45<49=7^2\) donc \(3\sqrt{5}<7\).
Exercice 6 — Géométrie (Pythagore)
Un triangle rectangle a pour côtés de l’angle droit \(6\) cm et \(8\) cm.
- Calculer la longueur de l’hypoténuse (valeur exacte).
- Donner une valeur approchée au dixième.
✅ Corrigé
\(c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\).
Valeur approchée : \(10{,}0\) cm.
Exercice 7 — Diagonale d’un carré
Un carré a pour côté \(5\) cm.
- Exprimer la longueur de sa diagonale (exacte).
- Encadrer cette longueur.
✅ Corrigé
Diagonale : \(d=5\sqrt{2}\).
Comme \(1{,}4^2<2<1{,}5^2\), on a \(7<5\sqrt{2}<7{,}5\).
✅ Bilan
Si tu maîtrises les exercices 3 à 5 sans erreur,
tu maîtrises les racines carrées au niveau excellent de 4e.