Exercices corrigés — Racine carrée (4e)
Cette page propose des exercices corrigés de mathématiques en 4ème sur Racine carrée. Tu vas t’entraîner sur notions essentielles du chapitre, méthodes attendues en 4ème, exemples guidés, exercices d’application avec des questions progressives et des corrections pour vérifier chaque étape.
Exercices premium HARD — Racine carrée
Carrés parfaits • encadrements • comparaisons • applications géométriques.
Niveau 19–20/20 : pièges de raisonnement, rédaction courte exigée.
Consignes
- Toute comparaison doit être justifiée.
- Pour les encadrements, écrire les carrés parfaits utilisés.
- En géométrie, donner le résultat exact puis un encadrement.
Exercice 1 — Carrés parfaits
Dire si les nombres suivants sont des carrés parfaits :
\[
36 \quad;\quad 49 \quad;\quad 72 \quad;\quad 121 \quad;\quad 150
\]
Si oui, donner leur racine carrée.
✅ Corrigé
\(36=6^2\) → carré parfait, \(\sqrt{36}=6\).
\(49=7^2\) → carré parfait, \(\sqrt{49}=7\).
\(72\) n’est pas un carré parfait.
\(121=11^2\) → carré parfait, \(\sqrt{121}=11\).
\(150\) n’est pas un carré parfait.
Exercice 2 — Calculs directs
Calculer :
\[
\sqrt{81} \quad;\quad \sqrt{1} \quad;\quad \sqrt{144} \quad;\quad \sqrt{0}
\]
puis expliquer pourquoi \(\sqrt{(-7)^2}=7\).
✅ Corrigé
\(\sqrt{81}=9\), \(\sqrt{1}=1\), \(\sqrt{144}=12\), \(\sqrt{0}=0\).
\(\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=7\) car la racine carrée est toujours positive.
Exercice 3 — Encadrer des racines
Encadrer entre deux entiers consécutifs :
\[
\sqrt{20} \quad;\quad \sqrt{45} \quad;\quad \sqrt{90}
\]
✅ Corrigé
\(16<20<25\) donc \(4<\sqrt{20}<5\).
\(36<45<49\) donc \(6<\sqrt{45}<7\).
\(81<90<100\) donc \(9<\sqrt{90}<10\).
Exercice 4 — Comparer (sans calculatrice)
Comparer :
\[
\sqrt{50} \ \square \ 7
\qquad
\sqrt{70} \ \square \ 8
\qquad
\sqrt{45} \ \square \ \sqrt{50}
\]
✅ Corrigé
\(49<50\) donc \(\sqrt{50}>7\).
\(64<70\) donc \(\sqrt{70}>8\).
\(45<50\) donc \(\sqrt{45}<\sqrt{50}\).
Exercice 5 — Comparaisons (pièges)
Comparer et justifier :
\[
\sqrt{18} \ \square \ 4{,}2
\qquad
3\sqrt{5} \ \square \ 7
\]
✅ Corrigé
\(4{,}2^2=17{,}64<18\) donc \(\sqrt{18}>4{,}2\).
\((3\sqrt{5})^2=9\times5=45<49=7^2\) donc \(3\sqrt{5}<7\).
Exercice 6 — Géométrie (Pythagore)
Un triangle rectangle a pour côtés de l’angle droit \(6\) cm et \(8\) cm.
- Calculer la longueur de l’hypoténuse (valeur exacte).
- Donner une valeur approchée au dixième.
✅ Corrigé
\(c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\).
Valeur approchée : \(10{,}0\) cm.
Exercice 7 — Diagonale d’un carré
Un carré a pour côté \(5\) cm.
- Exprimer la longueur de sa diagonale (exacte).
- Encadrer cette longueur.
✅ Corrigé
Diagonale : \(d=5\sqrt{2}\).
Comme \(1{,}4^2<2<1{,}5^2\), on a \(7<5\sqrt{2}<7{,}5\).
✅ Bilan
Si tu maîtrises les exercices 3 à 5 sans erreur,
tu maîtrises les racines carrées au niveau excellent de 4e.
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